Transponierte Matrix

Grundidee und Definition

Die transponierte Matrix entsteht aus einer gegebenen Matrix durch Vertauschen der Rollen von Zeilen und Spalten. Die erste Zeile der transponierten Matrix entspricht der ersten Spalte der Ausgangsmatrix, die zweite Zeile der zweiten Spalte und so weiter. Anschaulich wird die Matrix an ihrer Hauptdiagonale gespiegelt.

Für einen Körper K und A = (aᵢⱼ) ∈ Kᵐˣⁿ gilt: Aᵀ = (aⱼᵢ) ∈ Kⁿˣᵐ. Eine m×n-Matrix wird durch Transponieren also zu einer n×m-Matrix. Die Hauptdiagonale besteht aus a₁₁, a₂₂, …, aₖₖ mit k = min{m,n}. Neben Aᵀ werden auch Aᵗ oder A′ als Schreibweisen verwendet.

Ein Zeilenvektor wird zu einem Spaltenvektor und umgekehrt. Zum Beispiel gilt: (2 4 6)ᵀ = (2, 4, 6)ᵀ als Spaltenvektor. Für eine 3×2-Matrix gilt: ((1,4),(8,−2),(−3,5))ᵀ = ((1,8,−3),(4,−2,5)). Bei quadratischen Matrizen bleibt die Größe erhalten, aber die Einträge außerhalb der Hauptdiagonale werden gespiegelt, etwa ((2,3),(4,5))ᵀ = ((2,4),(3,5)).

Wichtige Rechenregeln

Die Transponierung ist linear und selbstinvers: Zweimaliges Transponieren liefert wieder die Ausgangsmatrix, (Aᵀ)ᵀ = A.

Für Matrizen A und B gleichen Typs sowie einen Skalar c gilt:

• (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ;
• (A₁ + A₂ + … + Aₙ)ᵀ = A₁ᵀ + A₂ᵀ + … + Aₙᵀ;
• (c·A)ᵀ = c·Aᵀ.

Beim Produkt kehrt sich die Reihenfolge um. Für A ∈ Kᵐˣⁿ und B ∈ Kⁿˣˡ gilt: ( A·B )ᵀ = Bᵀ·Aᵀ. Für mehrere Matrizen folgt: (A₁·A₂·…·Aₙ)ᵀ = Aₙᵀ·…·A₂ᵀ·A₁ᵀ.

Ist A regulär, also invertierbar, dann ist auch Aᵀ regulär und es gilt: (A⁻¹)ᵀ = (Aᵀ)⁻¹. Diese Matrix wird gelegentlich mit A⁻ᵀ bezeichnet. Für das Matrixexponential einer reellen oder komplexen quadratischen Matrix gilt exp(Aᵀ) = (exp A)ᵀ. Entsprechend gilt für den Matrixlogarithmus einer regulären reellen oder komplexen Matrix ln(Aᵀ) = (ln A)ᵀ.

Die Transpositionsabbildung A ↦ Aᵀ von Kᵐˣⁿ nach Kⁿˣᵐ ist bijektiv, linear und selbstinvers. Zwischen den Matrizenräumen ist sie ein Isomorphismus. Für m = n ist sie in GL(n,K) und im Matrizenring Kⁿˣⁿ ein Antiautomorphismus, weil sie die Reihenfolge von Produkten umkehrt. Falls m = n und Kᵐ ein Raum mit Skalarprodukt ist, ist sie positiv, aber nicht vollständig positiv.

Bei einer Blockmatrix werden zunächst die Blöcke an der Hauptdiagonale gespiegelt und anschließend alle Blöcke selbst transponiert: ((Aᵢⱼ))ᵀ = (Aⱼᵢᵀ).

Kenngrößen und Skalarprodukte

Viele wichtige Kenngrößen ändern sich durch Transponierung nicht. Für den Rang gilt: rang(Aᵀ) = rang(A). Die Spaltenvektoren von A spannen das Bild der Abbildung x ↦ Ax auf; die Zeilenvektoren von A spannen das Bild von x ↦ Aᵀx auf. Die Dimensionen dieser beiden Bilder stimmen stets überein.

Für eine quadratische Matrix ist die Spur, also die Summe der Hauptdiagonalelemente, unverändert: spur(Aᵀ) = spur(A). Auch die Determinante bleibt erhalten: det(Aᵀ) = det(A). Dies folgt aus der Leibniz-Formel, deren Summe über alle Permutationen σ der symmetrischen Gruppe Sₙ läuft und deren Terme das Vorzeichen sgn(σ) enthalten.

Daraus folgt außerdem, dass eine quadratische Matrix und ihre Transponierte dasselbe charakteristische Polynom und dieselben Eigenwerte besitzen: χ₍Aᵀ₎(λ) = det(λI − Aᵀ) = det(λI − A) = χ₍A₎(λ), σ(Aᵀ) = σ(A). Eigenvektoren und Eigenräume müssen jedoch nicht übereinstimmen. Jede quadratische Matrix ist ähnlich zu ihrer Transponierten: Es gibt eine reguläre, sogar symmetrisch wählbare Matrix S mit Aᵀ = S⁻¹AS. Daher besitzen beide dasselbe Minimalpolynom und, wenn das charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt, auch dieselbe jordansche Normalform.

Für die euklidische Norm eines reellen Vektors gilt ‖x‖₂ = √(xᵀx). Für reelle oder komplexe Matrizen bleiben Frobeniusnorm und Spektralnorm erhalten: ‖Aᵀ‖F = ‖A‖F und ‖Aᵀ‖₂ = ‖A‖₂. Zeilensummen- und Spaltensummennorm vertauschen sich: ‖Aᵀ‖∞ = ‖A‖₁ und ‖Aᵀ‖₁ = ‖A‖∞.

Das Standardskalarprodukt reeller Vektoren ist ⟨x,y⟩ = xᵀy. Für A ∈ Rᵐˣⁿ gilt die Verschiebungseigenschaft: ⟨Ax,y⟩ = ⟨x,Aᵀy⟩. Beim Frobenius-Skalarprodukt gilt: ⟨A,B⟩F = spur(AᵀB) = spur(BAᵀ) = spur(ABᵀ) = ⟨Aᵀ,Bᵀ⟩F.

Spezielle Matrizen

Die Transponierung dient zur Definition und Charakterisierung verschiedener Matrizenklassen:

• Eine symmetrische Matrix erfüllt Aᵀ = A.
• Eine schiefsymmetrische Matrix erfüllt Aᵀ = −A.
• Eine hermitesche komplexe quadratische Matrix erfüllt Aᵀ = Ā.
• Eine schiefhermitesche Matrix erfüllt Aᵀ = −Ā.
• Eine orthogonale Matrix erfüllt Aᵀ = A⁻¹.
• Eine reelle normale Matrix kommutiert mit ihrer Transponierten: AᵀA = AAᵀ.

Für jede reelle Matrix sind die Gram-Matrizen AᵀA und AAᵀ symmetrisch und positiv semidefinit. Das dyadische Produkt zweier Vektoren x und y ist die Matrix xyᵀ.

Bilinearformen und Abbildungen

Eine Bilinearform b: V×W → K auf endlichdimensionalen Vektorräumen wird bezüglich Basen durch eine Darstellungsmatrix A_b = (b(vᵢ,wⱼ))ᵢⱼ beschrieben. Sind x und y die Koordinatenvektoren von v und w, dann gilt: b(v,w) = xᵀA_by.

Bei einem Basiswechsel mit Matrizen S ∈ Kᵐˣᵐ und T ∈ Kⁿˣⁿ verändert sich die Darstellungsmatrix nach A_b′ = SᵀA_bT. Zwei quadratische Matrizen A und B sind genau dann kongruent, also A = SᵀBS mit regulärem S, wenn sie dieselbe Bilinearform bezüglich gegebenenfalls verschiedener Basen darstellen.

Für eine lineare Abbildung f: V → W ist die duale Abbildung f*: W* → V* durch f*(φ) = φ ∘ f definiert. Bezüglich zugehöriger Dualbasen ist ihre Abbildungsmatrix die transponierte Matrix der ursprünglichen Abbildung: A_f* = A_fᵀ.

In endlichdimensionalen reellen Skalarprodukträumen ist die adjungierte Abbildung f*: W → V durch ⟨f(v),w⟩ = ⟨v,f*(w)⟩ charakterisiert. Bezüglich Orthonormalbasen gilt ebenfalls A_f* = A_fᵀ. Für reelle Matrizen ist daher die adjungierte Matrix A* gerade Aᵀ. Das Konzept wird in der Funktionalanalysis auf adjungierte Operatoren zwischen unendlichdimensionalen Hilberträumen verallgemeinert.

Permutationen und Verallgemeinerungen

Eine Transponierung lässt sich auch als Permutation auffassen. Schreibt man in eine m×n-Matrix zeilenweise die Zahlen 1 bis m·n und liest sie anschließend spaltenweise ab, entsteht eine Permutation π mit π(n(i−1)+j) = i + m(j−1) für i = 1,…,m und j = 1,…,n.

Die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen dieser Permutation sind: |inv(π)| = (m über 2)(n über 2), sgn(π) = (−1)^((m über 2)(n über 2)). Solche Permutationen werden in der Zahlentheorie beispielsweise im Lemma von Zolotareff verwendet.

Die Theorie lässt sich auf Matrizen mit Einträgen aus einem Ring, gegebenenfalls mit Eins, erweitern. Ein Großteil der Eigenschaften bleibt erhalten. In beliebigen Ringen müssen Spaltenrang und Zeilenrang jedoch nicht übereinstimmen. Die Produktformel und die Darstellung der Determinante gelten nur in kommutativen Ringen.