Charakteristisches Polynom

Begriff und Definition

Das charakteristische Polynom ist ein grundlegendes Hilfsmittel der linearen Algebra. Es ist für quadratische Matrizen und für Endomorphismen, also lineare Abbildungen eines endlichdimensionalen Vektorraums in sich selbst, definiert. Es beschreibt wichtige Eigenschaften der Matrix beziehungsweise der Abbildung und ermöglicht insbesondere die Bestimmung ihrer Eigenwerte.

Für eine quadratische n×n-Matrix A über einem Körper K lautet die Definition

χ_A(λ) := det(λE_n − A).

Dabei ist E_n die n-dimensionale Einheitsmatrix, det die Determinante und λE_n − A die charakteristische Matrix. χ_A ist ein normiertes Polynom n-ten Grades aus K[λ], das heißt, sein führender Koeffizient ist 1.

Manchmal wird stattdessen det(A − λE_n) als charakteristisches Polynom definiert. Bei ungeradem n unterscheidet sich diese Variante durch den Faktor −1 und ist dann nicht normiert.

Für einen n-dimensionalen K-Vektorraum V und einen Endomorphismus φ: V → V gilt

χ_φ(λ) = det(λ·id_V − φ) = χ_A(λ),

wobei A eine Darstellungsmatrix von φ bezüglich einer beliebigen Basis ist. Das Ergebnis ist von der gewählten Basis unabhängig. Die Gleichung χ_A(λ) = 0 wird gelegentlich Säkulargleichung genannt.

Eigenwerte und zentrale Eigenschaften

Die Eigenwerte einer Matrix sind genau die Nullstellen ihres charakteristischen Polynoms. Für λ ∈ K sind folgende Aussagen gleichbedeutend:

• λ ist ein Eigenwert von A. • Es gibt einen Vektor x ≠ 0 mit Ax = λx. • Es gibt einen Vektor x ≠ 0 mit (λE − A)x = 0. • Der Kern von λE − A enthält einen Vektor ungleich null. • Die durch λE − A beschriebene lineare Abbildung ist nicht injektiv. • λE − A ist nicht invertierbar. • det(λE − A) = 0. • χ_A(λ) = 0.

Weitere wichtige Eigenschaften sind:

• Ähnliche Matrizen besitzen dasselbe charakteristische Polynom. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht: Gleiche charakteristische Polynome garantieren nicht, dass zwei Matrizen ähnlich sind. • A und ihre transponierte Matrix haben dasselbe charakteristische Polynom. • Nach dem Satz von Cayley-Hamilton ist eine Matrix selbst eine Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms: χ_A(A) = 0. Dabei bedeutet 0 die Nullmatrix beziehungsweise Nullabbildung. • Das Minimalpolynom einer linearen Abbildung teilt ihr charakteristisches Polynom. Das Minimalpolynom ist das normierte Polynom kleinsten Grades, das beim Einsetzen der Abbildung die Nullabbildung ergibt. • Für eine m×n-Matrix A und eine n×m-Matrix B gilt χ_AB(λ)·λⁿ = χ_BA(λ)·λᵐ. Diese Beziehung folgt durch Determinantenberechnung an geeigneten Blockmatrizen und aus der Regel, dass die Determinante einer dreieckigen Blockmatrix das Produkt der Determinanten ihrer Diagonalblöcke ist.

Berechnungsbeispiel

Für die Matrix

A = ((1, 0, 1), (2, 2, 1), (4, 2, 1))

wird zunächst die charakteristische Matrix gebildet. Dann ergibt sich

χ_A(λ) = det((λ−1, 0, −1), (−2, λ−2, −1), (−4, −2, λ−1)) = λ³ − 4λ² − λ + 4 = (λ − 1)(λ + 1)(λ − 4).

Die Nullstellen sind 1, −1 und 4; daher sind dies die Eigenwerte von A. Jede Nullstelle besitzt die Multiplizität 1. In diesem Beispiel stimmt das charakteristische Polynom deshalb mit dem Minimalpolynom überein.

Koeffizienten über Spuren

Schreibt man das charakteristische Polynom als

χ_A(λ) = λⁿ + c_{n−1}λⁿ⁻¹ + … + c₁λ + c₀,

lassen sich seine Koeffizienten mithilfe der Spuren von A, A², …, Aⁿ bestimmen. Die Spur ist die Summe der Diagonaleinträge: tr(A) := Σᵢ₌₁ⁿ aᵢᵢ.

Die Koeffizienten c_{n−1}, …, c₀ sind die Lösung des linearen Gleichungssystems

M·(c_{n−1}, c_{n−2}, …, c₀)ᵀ = (−tr A, −tr A², …, −tr Aⁿ)ᵀ,

wobei M eine linke untere Dreiecksmatrix ist. In ihrer k-ten Zeile stehen tr(A^{k−1}), tr(A^{k−2}), …, tr(A) und anschließend k auf der Diagonale. Dieses System ist eine kompakte, äquivalente Form des Algorithmus von Faddejew-Leverrier. Wegen der Dreiecksform kann es durch Vorwärtseinsetzen gelöst werden. Für 1 ≤ k ≤ n gilt rekursiv

c_{n−k} = −(1/k) Σᵢ₌₁ᵏ tr(Aⁱ)·c_{n−k+i}.

Durch die Cramersche Regel oder unabhängig davon durch die Plemelj-Smithies-Formeln erhält man außerdem

c_{n−k} = ((−1)ᵏ/k!) det D_k,

wobei D_k die k×k-Matrix ist, deren erste Spalte tr A, tr A², …, tr Aᵏ enthält, deren Hauptdiagonale stets tr A enthält und deren obere Nebendiagonale von k−1 bis 1 absteigt; die übrigen Einträge oberhalb davon sind 0.

Eine äquivalente Darstellung verwendet die vollständigen Bell-Polynome ℬ_k:

c_{n−k} = ((−1)ᵏ/k!) ℬ_k(0!·tr A, −1!·tr A², 2!·tr A³, …, (−1)^{k−1}(k−1)!·tr Aᵏ).

Unabhängig von der gewählten Darstellung gelten stets die Spezialfälle

c_n = 1, c_{n−1} = −tr A, c₀ = (−1)ⁿ det A.

Formeln für kleine Dimensionen und Algorithmen

Aus den Bell-Polynomen folgen für kleine Dimensionen direkt verwendbare Formeln. Für n = 1 gilt

χ_A(λ) = λ − tr A.

Für n = 2 gilt wegen ℬ₂(x₁,x₂) = x₁² + x₂:

χ_A(λ) = λ² − tr(A)·λ + 1/2·((tr A)² − tr A²).

Für n = 3 gilt wegen ℬ₃(x₁,x₂,x₃) = x₁³ + 3x₁x₂ + x₃:

χ_A(λ) = λ³ − tr(A)·λ² + 1/2·((tr A)² − tr A²)·λ − 1/6·((tr A)³ − 3·tr A·tr A² + 2·tr A³).

Zur automatisierten Berechnung der Koeffizienten, etwa in Computerprogrammen, können insbesondere der Algorithmus von Faddejew-Leverrier und der Algorithmus von Samuelson-Berkowitz verwendet werden.