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Hauptdiagonale
Die Hauptdiagonale einer Matrix besteht in der Mathematik aus denjenigen Elementen der Matrix, die auf einer gedachten diagonal von links oben unter 45° …
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Bedeutung und Definition
Die Hauptdiagonale einer Matrix ist die gedachte Linie, die von links oben unter 45° nach rechts unten verläuft. Zu ihr gehören genau die Matrixeinträge, bei denen Zeilenindex und Spaltenindex gleich sind.
Für eine m×n-Matrix A bestehen die Hauptdiagonalelemente aus a_{k,k} mit 1 ≤ k ≤ min{m,n}. Die Hauptdiagonale enthält also so viele Einträge, wie die kleinere der beiden Zahlen m und n angibt. Diagonalen parallel zu ihr heißen Nebendiagonalen. Die von rechts oben nach links unten verlaufende Diagonale heißt Gegendiagonale.
Beispiele
Bei der Matrix
(1 4 2 1; 3 0 3 1; 5 1 2 0; 4 1 2 3)
besteht die Hauptdiagonale aus den Einträgen 1, 0, 2 und 3.
In den gezeigten quadratischen und nichtquadratischen Matrizen sind die Hauptdiagonalelemente durch rote Einsen markiert: Sie stehen jeweils an den Positionen (1,1), (2,2), (3,3) und bei einer 4×4-Matrix zusätzlich an Position (4,4).
Verwendung bei besonderen Matrizen
Eine quadratische Matrix heißt Diagonalmatrix, wenn nur ihre Elemente auf der Hauptdiagonale von null verschieden sind. Haben alle diese Elemente den Wert eins, heißt sie Einheitsmatrix.
Die Summe aller Hauptdiagonalelemente wird Spur der Matrix genannt. Eine symmetrische Matrix ist bezüglich ihrer Hauptdiagonale symmetrisch: Die Einträge auf beiden Seiten dieser Diagonale entsprechen einander.
Rolle bei Determinanten
Die Hauptdiagonale ist wichtig für die Berechnung der Determinante, einer Zahl, die zu einer quadratischen Matrix gehört.
Bei einer 2×2-Matrix ist die Determinante das Produkt der Hauptdiagonalelemente minus das Produkt der Gegendiagonalelemente. Bei einer 3×3-Matrix kann die Regel von Sarrus verwendet werden; dabei werden Haupt-, Neben- und Gegendiagonalen betrachtet. Bei einer Dreiecksmatrix beliebiger Größe ist die Determinante direkt das Produkt der Hauptdiagonalelemente.
Der Begriff „Nebendiagonale“ ist nicht einheitlich definiert. Er kann parallele Diagonalen oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonale meinen, aber auch eine von rechts oben nach links unten verlaufende Gegendiagonale.