Lineare Abbildung

Grundidee und Definition

Eine lineare Abbildung (auch lineare Transformation oder Vektorraumhomomorphismus) ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen V und W über demselben Körper K. Sie ist wichtig, weil sie die Rechenstruktur von Vektorräumen erhält: Man darf Vektoren vor oder nach der Abbildung addieren und mit Skalaren multiplizieren.

Für f: V → W muss für alle x, y ∈ V und a ∈ K gelten:

• Homogenität: f(ax) = af(x). • Additivität: f(x + y) = f(x) + f(y).

Zusammengefasst lautet die Bedingung f(ax + y) = af(x) + f(y). Gleichwertig ist: Der Graph von f ist ein Untervektorraum des direkten Produkts V × W.

Anschaulich bleibt ein Additionsdreieck erhalten: Aus v₃ = v₁ + v₂ folgt f(v₃) = f(v₁) + f(v₂). Ebenso bleibt jede Skalierung erhalten: f(λv) = λf(v). Verletzt eine Abbildung eine dieser Bedingungen, ist sie nicht linear.

Bild, Kern und wichtige Folgen

Das Bild im(f) = f(V) ist die Menge aller Bildvektoren f(v) mit v ∈ V. Es ist ein Untervektorraum von W.

Der Kern ker(f) besteht aus allen Vektoren v ∈ V, die auf den Nullvektor von W abgebildet werden: f(v) = 0. Er ist ein Untervektorraum von V. Die Abbildung f ist genau dann injektiv, wenn ker(f) nur den Nullvektor enthält.

Jede lineare Abbildung bildet den Nullvektor auf den Nullvektor ab: f(0_V) = 0_W. Außerdem gilt der Homomorphiesatz: Der Faktorraum V/ker(f) ist isomorph zu im(f).

Beispiele

Für V = W = ℝ besitzt jede lineare Abbildung die Form f(x) = mx mit m ∈ ℝ.

Jede m×n-Matrix A definiert durch f(x) = Ax eine lineare Abbildung ℝⁿ → ℝᵐ. Umgekehrt lässt sich jede lineare Abbildung von ℝⁿ nach ℝᵐ auf diese Weise durch eine Matrix darstellen.

Auch die Ableitung ist linear: Ist I ⊂ ℝ ein offenes Intervall, dann ist D: C¹(I, ℝ) → C⁰(I, ℝ), f ↦ f′, eine lineare Abbildung. Dabei ist C¹(I, ℝ) der Vektorraum der stetig differenzierbaren und C⁰(I, ℝ) der Vektorraum der stetigen Funktionen.

Ein geometrisches Beispiel ist die Streckung f(x,y) = (2x,y): Sie verdoppelt die x-Komponente und ist additiv sowie homogen. Auch eine Achsenspiegelung, etwa an der y-Achse, ist linear.

Basen, Matrizen und Dimension

Bei endlichdimensionalen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung bereits durch die Bilder einer Basis eindeutig bestimmt. Ist B = {b₁, …, bₙ} eine Basis von V und werden b₁, …, bₙ auf beliebige Vektoren w₁, …, wₙ ∈ W abgebildet, so gibt es genau eine lineare Abbildung f: V → W mit f(bⱼ) = wⱼ.

Für v = ∑ⱼ₌₁ⁿ vⱼbⱼ gilt dann f(v) = ∑ⱼ₌₁ⁿ vⱼf(bⱼ) = ∑ⱼ₌₁ⁿ vⱼwⱼ. Die Abbildung ist genau dann injektiv, wenn w₁, …, wₙ linear unabhängig sind; sie ist genau dann surjektiv, wenn diese Bildvektoren W aufspannen.

Sind dim V = n und dim W = m sowie Basen B = {b₁, …, bₙ} und B′ = {b′₁, …, b′ₘ} gewählt, beschreibt eine m×n-Matrix M_B′^B(f) die Abbildung. Ihre j-te Spalte enthält die Koordinaten von f(bⱼ) bezüglich B′. Für den Koordinatenvektor v gilt [f(v)]_{B′} = M_B′^B(f)[v]_B.

Der Dimensionssatz lautet: dim V = dim ker(f) + dim im(f).

Unendliche Räume und besondere Abbildungen

In der Funktionalanalysis heißen lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen meist lineare Operatoren. Solche Räume tragen oft zusätzlich eine Norm und sind vollständig; dann heißen sie Banachräume. Anders als im endlichdimensionalen Fall ist Stetigkeit hier bedeutsam. Zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen mit euklidischer Norm ist jede lineare Abbildung stetig.

Bei unendlichdimensionalen Banachräumen genügt es nicht, Operatoren nur über eine Basis zu untersuchen: Eine Basis hat nach dem baireschen Kategoriensatz überabzählbar viele Elemente; ihre Existenz lässt sich nur mit dem Auswahlaxiom begründen. Verwendet werden daher etwa Orthonormalbasen oder Schauderbasen. Bestimmte Operatoren, zum Beispiel Hilbert-Schmidt-Operatoren, können mit „unendlich großen Matrizen“ und unendlichen Linearkombinationen dargestellt werden.

Ein Monomorphismus ist eine injektive lineare Abbildung; bei einer Darstellungsmatrix sind dann die Spaltenvektoren linear unabhängig. Ein Epimorphismus ist surjektiv; dann ist der Rang der Matrix gleich dim W. Ein Isomorphismus ist bijektiv, also bei passender Darstellung durch eine reguläre Matrix beschrieben. Ein Endomorphismus hat die Form f: V → V und besitzt eine quadratische Matrix. Ein Automorphismus ist ein bijektiver Endomorphismus, also zugleich Isomorphismus; seine Matrix ist regulär.

Vektorraum der Abbildungen und Verallgemeinerung

Die Menge L(V,W), auch Hom_K(V,W), aller linearen Abbildungen von V nach W ist selbst ein Vektorraum über K. Für lineare Abbildungen f und g sowie λ ∈ K werden Addition und Skalarmultiplikation punktweise definiert: (f + g)(x) = f(x) + g(x) und (λf)(x) = λf(x).

Bei dim V = n und dim W = m ist die Zuordnung f ↦ M_C^B(f) ein Isomorphismus von L(V,W) zum Matrizenraum K^{m×n}. Deshalb gilt dim L(V,W) = m·n. Im Spezialfall V = W bilden die linearen Selbstabbildungen mit der Verkettung als Multiplikation eine assoziative Algebra L(V).

Eine lineare Abbildung ist ein Spezialfall einer affinen Abbildung. Ersetzt man in ihrer Definition den Körper durch einen Ring, erhält man einen Modulhomomorphismus.