Funktionalanalysis

Gegenstand und Grundideen

Die Funktionalanalysis untersucht unendlichdimensionale topologische Vektorräume und Abbildungen auf solchen Räumen. Sie verbindet Analysis, Topologie und Algebra. Ihr Ziel ist, abstrakte Aussagen zu entwickeln, die auf unterschiedliche konkrete Probleme übertragen werden können. Besonders wichtig ist sie als mathematischer Rahmen für die Quantenmechanik und für die Untersuchung partieller Differentialgleichungen.

Ein Funktional ist eine Abbildung, die Vektoren, etwa Funktionen, auf skalare Größen abbildet. Beispiele sind Folgengrenzwert, Norm, bestimmtes Integral und Distribution. Ein Operator bildet dagegen Vektoren auf Vektoren ab. In der Funktionalanalysis betrachtet man Operatoren vor allem auf Räumen mit algebraischer und topologischer Struktur, zum Beispiel auf topologischen, metrischen oder normierten Vektorräumen. Beispiele sind Differentiation, unbestimmtes Integral, quantenmechanische Observable und Shift-Operatoren für Folgen.

Begriffe der Analysis wie Stetigkeit und Ableitung werden auf Funktionale und Operatoren übertragen. Zugleich verallgemeinert man Ergebnisse der linearen Algebra, etwa den Spektralsatz, auf topologisch lineare Räume wie Hilberträume.

Topologische und normierte Räume

Grundlage sind Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen. Ein topologischer Vektorraum ist dadurch gekennzeichnet, dass die Vektorraumverknüpfungen stetig sind. Wichtige speziellere Klassen sind lokalkonvexe topologische Vektorräume und Fréchet-Räume. Zentrale Aussagen in diesem Gebiet sind der Satz von Hahn-Banach, der Satz von Baire und der Satz von Banach-Steinhaus. Sie sind unter anderem für die Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen und für die Fredholm-Theorie bedeutsam.

Ein normierter Vektorraum ist ein wichtiger Spezialfall eines lokalkonvexen topologischen Vektorraums. Ist er zusätzlich vollständig, heißt er Banachraum. Vollständigkeit bedeutet hier, dass die durch die Norm beschriebene Struktur keine „Lücken“ für Grenzwerte von Cauchy-Folgen besitzt. Ein Hilbertraum ist ein noch speziellerer Raum: Seine Norm wird von einem Skalarprodukt erzeugt. Hilberträume sind grundlegend für die mathematische Formulierung der Quantenmechanik. Ein zentraler Untersuchungsgegenstand sind stetige lineare Operatoren auf Banach- und Hilberträumen.

Hilbert-, Banach- und Dualräume

Hilberträume lassen sich vollständig klassifizieren: Zu jeder Mächtigkeit einer Orthonormalbasis gibt es, bis auf Isomorphie, genau einen Hilbertraum zu einem Körper. Da endlichdimensionale Hilberträume bereits zur linearen Algebra gehören und jeder Morphismus zwischen Hilberträumen in Morphismen von Hilberträumen mit abzählbarer Orthonormalbasis zerlegt werden kann, stehen vor allem Hilberträume mit abzählbarer Orthonormalbasis und ihre Morphismen im Mittelpunkt. Diese Hilberträume sind isomorph zum Folgenraum ℓ²: dem Raum aller Folgen, bei denen die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist.

Banachräume sind wesentlich komplexer. Im unendlichdimensionalen Fall lassen sich Basen des Typs einer Hamelbasis nicht konstruktiv angeben; sie sind stets überabzählbar. Die Verallgemeinerung von Orthonormalbasen führt zur Schauderbasis, doch nicht jeder Banachraum besitzt eine solche Basis.

Für jede reelle Zahl p ≥ 1 gibt es den Lᵖ-Raum aller Lebesgue-messbaren Funktionen, deren p-te Potenz des Betrags ein endliches Integral hat. Genau für p = 2 ist dieser Raum ein Hilbertraum.

Wichtig ist außerdem der Dualraum eines normierten Raums: Er besteht aus allen stetigen linearen Funktionen vom Raum in seinen Skalarkörper, also in die reellen oder komplexen Zahlen. Der Bidualraum muss nicht isomorph zum ursprünglichen Raum sein. Es gibt aber immer einen natürlichen Monomorphismus vom Raum in seinen Bidualraum. Ist dieser Monomorphismus surjektiv, so heißt der Banachraum reflexiv. Die Fréchet-Ableitung verallgemeinert den Ableitungsbegriff auf Funktionen zwischen Banachräumen; die Ableitung an einem Punkt ist dann eine stetige lineare Abbildung.

Operatoren und Banachalgebren

Stetige lineare Operatoren zwischen Banach- oder Hilberträumen verallgemeinern die Matrizen der linearen Algebra. Die Diagonalisierung einer Matrix als direkte Summe von Streckungen von Eigenvektoren wird zum Spektralsatz für selbstadjungierte oder normale Operatoren auf Hilberträumen erweitert. In der mathematischen Formulierung der Quantenmechanik entsprechen Eigenvektoren den quantenmechanischen Zuständen und Operatoren den quantenmechanischen Observablen.

Da Produkte von Operatoren wieder Operatoren sind, bilden sie Operatoralgebren. Mit der Operatornorm sind diese Algebren Banachräume. Für Operatoren A und B gilt die multiplikative Dreiecksungleichung ‖A ∘ B‖ ≤ ‖A‖‖B‖. Dies führt zum Begriff der Banachalgebra. Besonders zugängliche Vertreter sind C*-Algebren und Von-Neumann-Algebren.

Für eine lokalkompakte Gruppe G verwendet man den Banachraum L¹(G) der bezüglich des Haarmaßes integrierbaren Funktionen. Mit der Faltung als Multiplikation wird L¹(G) zu einer Banachalgebra. Dadurch entsteht die Harmonische Analyse als funktionalanalytischer Zugang zur Theorie lokalkompakter Gruppen. Die Fourier-Transformation erscheint dabei als Spezialfall der Gelfand-Transformation aus der Theorie der Banachalgebren.

Partielle Differentialgleichungen

Für partielle Differentialgleichungen bietet die Funktionalanalysis einen geeigneten Lösungsrahmen. Solche Gleichungen haben häufig die Form Du = f. Die gesuchte Funktion u und die rechte Seite f sind Funktionen auf einem Gebiet Ω ⊂ ℝⁿ; D ist ein Differentialausdruck. Zusätzlich legen Randbedingungen fest, wie sich u auf dem Rand ∂Ω verhalten soll.

Ein Beispiel ist der Laplace-Operator D = ∂²/∂x₁² + … + ∂²/∂xₙ². Weitere wichtige Beispiele stammen aus der Wellengleichung und der Wärmeleitungsgleichung. Zunächst kann man einen Differentialausdruck als Operator zwischen Räumen klassisch differenzierbarer Funktionen auffassen, beim Laplace-Operator etwa zwischen zweimal stetig differenzierbaren Funktionen und stetigen Funktionen auf Ω. Für eine umfassende Lösungstheorie reichen solche Räume jedoch nicht aus.

Mit schwachen Ableitungen und der Distributionstheorie lassen sich Differentialausdrücke als Operatoren zwischen Sobolew-Räumen auffassen. Sobolew-Räume bestehen aus geeigneten L²-Funktionen. In diesem Rahmen kann man in wichtigen Fällen Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen beweisen. Untersucht werden auch die Abhängigkeit der Lösung von f und ihre Regularität, also ihre Glattheit in Abhängigkeit von der Glattheit von f. Die Betrachtung kann auf allgemeinere Räume wie Distributionsräume erweitert werden.

Ist f die Delta-Distribution und findet man dafür eine Fundamentallösung, dann lassen sich in manchen Fällen durch Faltung Lösungen für beliebige rechte Seiten konstruieren. Praktisch bestimmt man Lösungen oft näherungsweise, etwa mit der Finite-Elemente-Methode, besonders wenn keine geschlossene Lösung angegeben werden kann. Funktionalanalytische Methoden sind auch für die Konstruktion solcher Näherungen und die Bestimmung ihrer Approximationsgüte wesentlich.