Rang (Lineare Algebra)

Begriff und Definition

Der Rang beschreibt bei einer Matrix oder einer linearen Abbildung, wie viele voneinander unabhängige Richtungen sie erfasst. Übliche Schreibweisen sind rang(f) und rg(f), seltener rank(f) und rk(f).

Für eine Matrix A ist der Zeilenraum ZR(A) die lineare Hülle ihrer Zeilenvektoren, also die Menge aller Linearkombinationen dieser Zeilen. Seine Dimension heißt Zeilenrang und entspricht der maximalen Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren. Entsprechend werden der Spaltenraum SR(A) als lineare Hülle der Spaltenvektoren und der Spaltenrang definiert.

Bei Matrizen mit Elementen aus einem Körper sind Zeilenrang und Spaltenrang immer gleich. Diese gemeinsame natürliche Zahl heißt Rang der Matrix.

Vektorsysteme und lineare Abbildungen

Der Rang eines endlichen Systems von Vektoren ist die Dimension seiner linearen Hülle. Er gibt somit an, wie viele Vektoren des Systems höchstens linear unabhängig sein können.

Für eine lineare Abbildung f ist der Rang als Dimension ihres Bildes definiert:

rang(f) = dim(Bild(f)).

Das Bild besteht aus allen Vektoren, die durch f als Funktionswerte erreicht werden. Eine lineare Abbildung und ihre zugehörige Abbildungsmatrix besitzen stets denselben Rang.

Berechnung mit dem Gauß-Verfahren

Zur Berechnung des Ranges wird eine Matrix mit dem gaußschen Eliminationsverfahren in eine äquivalente Matrix in Zeilenstufenform gebracht. Der Rang ist anschließend gleich der Anzahl der Zeilen, die nicht ausschließlich aus Nullen bestehen. Alternativ kann die Matrix in Spaltenstufenform umgeformt werden; dann entspricht der Rang der Anzahl der Spaltenvektoren, die nicht null sind.

Beispiele:

• A = ((1,2,3),(0,5,4),(0,10,2)) wird zu ((1,2,3),(0,5,4),(0,0,−6)). Es bleiben drei von null verschiedene Zeilen, also gilt rang(A) = 3.

• B = ((1,2,3),(0,6,4),(0,3,2)) wird zu ((1,2,3),(0,6,4),(0,0,0)). Es bleiben zwei von null verschiedene Zeilen, also gilt rang(B) = 2.

• C = ((2,3),(0,1),(4,−1)) wird zu ((2,3),(0,1),(0,0)). Daher gilt rang(C) = 2.

Normalform und quadratische Matrizen

Jede Matrix kann durch das für die Rangberechnung verwendete Verfahren in eine gleich große Normalform überführt werden. Diese enthält in der oberen linken Ecke eine Einheitsmatrix E, deren Größe dem Rang entspricht; alle übrigen Einträge sind null. Für eine Matrix M lässt sich die Transformation als LMR = N schreiben. Dabei sind L und R reguläre, also invertierbare Matrizen, und N ist die Normalform.

Im Artikel wird die Matrix M = ((−1,0,0),(−3,3,−1)) mit L = ((1,0),(−2,1)) und R = ((−1,0,0),(0,1,−1),(1,2,−3)) in die Normalform N = ((1,0,0),(0,1,0)) überführt. L und R sind regulär, weil det(L) = 1 und det(R) = 1, also beide Determinanten ungleich null sind.

Bei einer quadratischen Matrix stimmen Zeilen- und Spaltenzahl überein. Ist ihr Rang gleich dieser Zahl, besitzt sie vollen Rang und ist regulär beziehungsweise invertierbar. Eine quadratische Matrix hat genau dann vollen Rang, wenn ihre Determinante ungleich null ist. Gleichwertig dazu ist keiner ihrer Eigenwerte null.

Wichtige Eigenschaften und Folgerungen

Für m,n,l ∈ ℕ gelten folgende Regeln:

• Nur die Nullmatrix 0ₘ,ₙ hat Rang 0. Die n×n-Einheitsmatrix Eₙ besitzt den vollen Rang n.

• Für jede m×n-Matrix A gilt rang(A) ≤ min{m,n}. Gleichheit bedeutet, dass A vollen Rang hat.

• Transponieren verändert den Rang nicht: rang(A) = rang(Aᵀ). Für eine reelle Matrix A haben außerdem die zugehörigen Gram-Matrizen denselben Rang: rang(A) = rang(AᵀA) = rang(AAᵀ) = rang(Aᵀ).

• Der Rang ist subadditiv. Für zwei m×n-Matrizen A und B gilt rang(A+B) ≤ rang(A) + rang(B).

• Die Rangungleichungen von Sylvester lauten für eine m×n-Matrix A und eine n×l-Matrix B:

rang(A) + rang(B) − n ≤ rang(A·B) ≤ min{rang(A), rang(B)}.

• Nach der Bedingung von Fontené, Rouché und Frobenius ist das lineare Gleichungssystem A·x = b genau dann lösbar, wenn b im Spaltenraum SR(A) liegt. Gleichwertig dazu ist rang(A) = rang(A|b), wobei (A|b) die um b erweiterte Matrix ist.

• Eine lineare Abbildung mit Abbildungsmatrix A ∈ K^(m×n) ist genau dann injektiv, also eindeutig bezüglich ihrer Urbilder, wenn A vollen Spaltenrang besitzt: rang(A) = n.

• Sie ist genau dann surjektiv, also erreicht jedes Element des Zielraums, wenn A vollen Zeilenrang besitzt: rang(A) = m.

• Sie ist genau dann bijektiv, also injektiv und surjektiv, wenn ihre Abbildungsmatrix regulär ist. Dann existiert die Umkehrabbildung mit der Matrix A⁻¹. Dies ist genau dann möglich, wenn A quadratisch ist, also m = n gilt, und rang(A) = m = n ist.

• Der Rangsatz verbindet Rang und Defekt. Der Defekt def(f) ist die Dimension des Kerns einer linearen Abbildung. Für eine lineare Abbildung f von einem n-dimensionalen Vektorraum V in einen m-dimensionalen Vektorraum W gilt:

dim V = rang(f) + def(f).