Spiegelungsmatrix

Begriff und Grundidee

Eine Spiegelungsmatrix ist in der linearen Algebra eine Matrix, die eine Spiegelung darstellt. Ein Vektor wird gespiegelt, indem man die Matrix mit dem Vektor multipliziert. Besonders einfach ist die Spiegelung an einer Geraden durch den Ursprung, einer sogenannten Ursprungsgeraden. Diese Spiegelung ist eine lineare Abbildung.

Ursprungsgeraden in der Ebene

Hat die Spiegelungsgerade g den Neigungswinkel α, dann besitzt die zugehörige Spiegelungsmatrix bezüglich der Standardbasis die Form

S_g = ((cos(2α), sin(2α)), (sin(2α), −cos(2α))).

Die beiden Spalten erhält man aus den Bildern der kanonischen Einheitsvektoren e₁ = (1,0)ᵀ und e₂ = (0,1)ᵀ. Da die Spiegelung linear ist, reichen diese Bilder zur Bestimmung der gesamten Matrix aus. Bei der Spiegelung von e₁ entspricht die Änderung einer Drehung um 2α gegen den Uhrzeigersinn:

φ_g(e₁) = (cos(2α), sin(2α))ᵀ.

Für den zweiten Einheitsvektor ergibt sich nach der Drehung und der Umkehrung des Richtungssinns:

φ_g(e₂) = (sin(2α), −cos(2α))ᵀ.

Für die x-Achse ist α = 0. Daher lautet ihre Spiegelungsmatrix

S = ((1,0), (0,−1)).

Bei dieser Spiegelung bleibt die erste Koordinate erhalten, während die zweite ihr Vorzeichen wechselt.

Darstellung mit einem Normalenvektor

Eine Gerade durch den Ursprung kann auch durch einen Normaleneinheitsvektor n beschrieben werden. Ein Normalenvektor steht senkrecht auf der Geraden; als Einheitsvektor hat er die Länge 1. Die Gerade besitzt dann die Gleichung nᵀx = 0. Ihre Spiegelungsmatrix ist

S_g = I₂ − 2nnᵀ,

wobei I₂ die 2×2-Einheitsmatrix und nnᵀ das äußere Produkt von n mit seinem transponierten Vektor ist.

Der Ausdruck nᵀx gibt die Länge der Orthogonalprojektion von x auf n an. Für die Spiegelung wird der doppelte Anteil in Normalenrichtung von x abgezogen:

φ_g(x) = x − 2(nᵀx)n = (I₂ − 2nnᵀ)x.

Im Herleitungstext des Artikels erscheint an einzelnen Stellen die Reihenfolge nᵀn; die zuvor angegebene Matrixform lautet jedoch I₂ − 2nnᵀ.

Für die x-Achse ist n = e₂ = (0,1)ᵀ. Dann gilt

nnᵀ = ((0,0), (0,1))

und somit erneut

S_g = ((1,0), (0,1)) − 2((0,0), (0,1)) = ((1,0), (0,−1)).

Beliebige Geraden in der Ebene

Eine Gerade, die nicht durch den Ursprung verlaufen muss, sei durch

g = a⃗ + r·u⃗

gegeben. Dabei ist a⃗ ihr Stützvektor und u⃗ ihr Richtungsvektor. Die Spiegelung eines Vektors v⃗ erfolgt in zwei Verschiebungsschritten:

• Zuerst wird die Gerade um −a⃗ zum Ursprung verschoben. Entsprechend setzt man v⃗′ = v⃗ − a⃗. Dieser verschobene Vektor wird an der Ursprungsgeraden g* = r·u⃗ gespiegelt:

q⃗′ = S_g(v⃗′) = S_g(v⃗ − a⃗).

• Anschließend wird das Ergebnis um den Stützvektor zurückverschoben:

q⃗ = q⃗′ + a⃗.

Insgesamt wird also zuerst der Stützvektor abgezogen, dann die Spiegelungsmatrix angewendet und zuletzt der Stützvektor wieder addiert.

Höhere Dimensionen und Eigenschaften

Das Verfahren mit einem Normaleneinheitsvektor lässt sich auf höhere Dimensionen übertragen. Im ℝ³ stellt

S = I₃ − 2nnᵀ

eine Spiegelung an der durch nᵀx = 0 beschriebenen Ebene durch den Ursprung dar. Allgemein kann für n > 3 die Abbildung

y = (Iₙ − 2nnᵀ)x

als Spiegelung an der Hyperebene nᵀx = 0 im ℝⁿ verstanden werden. Eine Hyperebene ist dabei die höherdimensionale Entsprechung einer Ebene und hat eine Dimension weniger als der umgebende Raum. Matrizen der Form

S = Iₙ − 2nnᵀ

heißen in der numerischen Mathematik Householder-Matrizen.

Spiegelungsmatrizen sind orthogonal und symmetrisch. Orthogonal bedeutet, dass die transponierte Matrix zugleich die inverse Matrix ist; symmetrisch bedeutet Sᵀ = S. Außerdem haben Spiegelungsmatrizen die Determinante −1.