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Matrix-Vektor-Produkt
Das Matrix-Vektor-Produkt kann als Spezialfall einer Matrizenmultiplikation angesehen werden, bei der die zweite Matrix aus nur einer Spalte besteht.
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Grundidee und Definition
Das Matrix-Vektor-Produkt ist in der linearen Algebra die Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor. Es ist nur definiert, wenn die Spaltenzahl der Matrix gleich der Anzahl der Vektorkomponenten ist. Hat die Matrix A m Zeilen und n Spalten, also A∈K^{m×n}, und hat der Vektor x n Komponenten, also x∈K^n, dann ist das Ergebnis y=A·x ein Spaltenvektor mit m Komponenten, y∈K^m.
Für K, meist die reellen oder komplexen Zahlen, ist die Multiplikation eine Abbildung K^{m×n}×K^n→K^m, (A,x)↦y=A·x. Die i-te Komponente des Ergebnisvektors lautet y_i=∑{j=1}^{n}a{ij}·x_j. Sie ist das Standardskalarprodukt der i-ten Zeile von A mit dem Vektor x. Häufig schreibt man Ax statt A·x.
Das Produkt ist ein Spezialfall der Matrizenmultiplikation: Der Vektor kann als Matrix mit genau einer Spalte betrachtet werden. Umgekehrt entsteht ein Matrixprodukt, indem man das Matrix-Vektor-Produkt für jede Spalte der zweiten Matrix berechnet.
Rechenbeispiel
Für A=((3,2,1),(1,0,2)) und x=(1,0,4)^T ist das Produkt definiert, weil A drei Spalten und x drei Komponenten besitzt. Da A zwei Zeilen hat, besitzt der Ergebnisvektor zwei Komponenten.
Die erste Zeile liefert 3·1+2·0+1·4=7. Die zweite Zeile liefert 1·1+0·0+2·4=9. Damit gilt: A·x=(7,9)^T.
Wichtige Rechenregeln
Für A∈K^{l×m}, B∈K^{m×n} und x∈K^n gilt die Assoziativität A·(B·x)=(A·B)·x.
Mit einem Skalar a∈K ist das Produkt verträglich: a(A·x)=(aA)·x=A·(ax).
Außerdem gelten die Distributivgesetze: (A+B)·x=A·x+B·x und A·(x+y)=A·x+A·y.
Algorithmus und Aufwand
Zur Berechnung wird der Ergebnisvektor zunächst mit m Nullen initialisiert. Dann wird für jede Zeile i der Matrix über alle Spalten j gelaufen und jeweils A(i,j)·x(j) zur Komponente y(i) addiert. So entsteht für jede Zeile die zugehörige Produktsumme.
Die Reihenfolge der beiden Schleifen kann vertauscht werden. Der Rechenaufwand liegt bei O(m·n) arithmetischen Operationen, bei quadratischen Matrizen mit m=n also bei O(n²). Bei Bandmatrizen, dünnbesetzten Matrizen oder Toeplitz-Matrizen kann ihre Struktur eine effizientere Multiplikation ermöglichen.
Anwendungen
Ein lineares Gleichungssystem in Matrixform A·x=b enthält auf der linken Seite ein Matrix-Vektor-Produkt. Iterative numerische Verfahren wie das Verfahren der konjugierten Gradienten und allgemeine Krylow-Unterraum-Verfahren verwenden wiederholt solche Produkte. Auch die Potenzmethode zur Bestimmung des betragsgrößten Eigenwerts beruht darauf.
Jede lineare Abbildung f:V→W zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen über demselben Körper kann nach Wahl von Basen durch ihre Abbildungsmatrix M_f beschrieben werden. Für die Koordinaten eines Vektors gilt dann y=M_f·x. Damit lassen sich unter anderem Drehungen um den Ursprung, Spiegelungen an einer Ursprungsebene und Axonometrien in geeigneten Koordinaten darstellen. Auch diskrete Faltungen wie die diskrete Fourier-Transformation sowie die Input-Output-Analyse in den Wirtschaftswissenschaften können als Matrix-Vektor-Produkt realisiert werden.