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Spiegelung Punkt an Ebene über Lotgerade
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 28 Zeilen
- [Musik] Wie muss man sich das vorstellen? Wo wird der Punkt hingespiegelt? Sagen wir mal, der Strich ist eure Ebene. Von der
- Seite natürlich, logisch. Orange ist mal der normalen Vektor. Der steht ja senkrecht auf der Ebene drauf. Das hier ist der Punkt, den ihr spiegeln wollt.
- Jetzt geht ihr vom Punkt zur Ebene. Wie? Ihr schnappt euch den normalen Vektor von der Ebene und legt den so oft an den Punkt an, bis ihr auf der Ebene
- einschlagt. Wenn ihr noch mal genauso weit in die andere Richtung geht, habt ihr euren gespiegelten Punkt. Die Punkte sind jetzt also durch eine Gerade
- verbunden, die nennt sich Lotgerade. Der Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene nennt sich Lotfußpunkt. Nur falls euer Lehrer mal wieder mit Fachworten um
- sich schmeißt. Jo, das Ganze machen wir jetzt mal noch kurz Schritt für Schritt mit Formeln. Aber ihr sollt es ja am Ende auch rechnen können. Nicht banisch
- werden, geht ratzfatz. Schritt 1: Den normalen Vektor von der Ebene rauskriegen. Wenn ihr eine Ebene in normalen Form habt, ist das ja ganz
- easy. Das was vor der Klammer steht, eine Ebene in Koordinatenform, kein Problem. das was vor den Xen steht und bei Parameterform einfach das
- Kreuzprodukt aus beiden Richtungsvektoren. Auch nur kleiner Aufwand. Ab zu Schritt 2. Die Lotgrade aufstellen. Ihr geht ja jetzt vom Punkt
- P in Richtung vom normalenvektor, bis ihr die Ebene trefft. Das blaue hier ist die Lotgerade. Die Gerade hat dann diese Form. Vektor P + R mal Vektor N. Vektor
- P ist einfach der Punkt, den ihr spiegeln wollt und Vektor N ist der normalen Vektor der Ebene, weil die Gerade soll ja in die gleiche Richtung
- zeigen wie der normalen Vektor, damit sie am Ende senkrecht in die Ebene einschlägt. Weiter mit dem Schritt 3, Schnittpunkt berechnen. Ob ihr den Punkt
- wirklich braucht, steht in der Aufgabe drinne. Was ihr aber auf jeden Fall braucht, die Anzahl, wie oft man den normalen Vektor vom Punkt ausgehen muss,
- bis man halt auf der Ebene ist. Hier in unserem Beispiel wäre es jetzt zweimal. In unserer geradengleichung der Lotgerade wäre das das R. Wenn ich also
- zweimal den normalen Vektor gehen muss, damit ich bei der Ebene bin, wäre r = 2. Wie kriegen wir das aber raus? Wir schneiden die Lotgrade mit der Ebene.
- Wenn ihr gar keine Ahnung habt, wie man das machen soll, dann zieht euch unser Video dazu rein. Link ist in der Beschreibung. Noch mal ein kurz, wir
- nehmen unsere Ebene in Koordinatenform. Wenn es eine andere Form hat, dann müsst ihr sie in Koordinatenform bringen. Schafft ihr. In die Ebene setzt ihr
- einzeln jede Koordinate von der Geraden ein. Die sieht ja so aus, wenn man sie in Koordinaten schreibt. X1 ist die erste Komponente von p + r mal die erste
- Koordinate vom normalen Vektor. Also ihr betrachtet quasi die Zeilen in dieser Schreibweise. Für x2 und 3 halt das Ganze mit den zweiten und dritten
- Koordinaten von p und n. Die XE setzt man jetzt einfach in die Koordinatenform ein. Wenn ihr das macht, kriegt ihr eine Gleichung mit R und Zahlen raus und
- damit kriegt ihr irgendein R. Wie gesagt, wenn dir das zu schnell ging, guckt ihr unser separates Video dazu an. Was sagt uns noch mal dieses R? Wenn ihr
- das R jetzt in eure Gerade einsetzt, kriegt ihr genau den Schnittpunkt raus. Wir haben ja gesagt, R ist, wie oft man den normalen Vektor vom Punkt ausgehen
- muss, bis man auf der Ebene ist. Puh, hartes Stück Arbeit. Gott sei Dank ist der hier dann brutal einfach. Unser Schritt 4, den Spiegelpunkt ausrechnen.
- Wir haben ja gesagt, der gespiegelte Punkt liegt gleich weit weg vom Spiegel wie der normale, nur auf der anderen Seite halt. Heißt ja genau, wenn wir vom
- normalen den doppelten Abstand rüber gehen, haben wir den gespiegelten Punkt. Also in die Gerade einfach zweimal das R von oben einsetzen. Zack, habt ihr den
- Punkt. Boah, das war jetzt ordentlich trocken. Deshalb zum Üben gleich mal eine Aufgabe. Spiegelt den Punkt 537 an der Ebene x1 + X2 + X3 = 6. Das kriegt
- ihr hin, ganz sicher. Lösung wie immer im verlinkten Video. Ansonsten müssen wir an dieser Stelle noch mal auf unsere anderen Kanäle hinweisen. Seit Mitte
- September gibt's auch Nachrilfe in Biophysik und Chemie. Unbedingt abchecken. In dem Sinne, haut rein und macht's gut. Tcho.
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