Standardbasis

Grundidee der Standardbasis

Eine Standardbasis, auch natürliche Basis, Einheitsbasis oder kanonische Basis genannt, ist in der linearen Algebra eine besondere Basis eines Vektorraums. Sie ist nicht beliebig gewählt, sondern ergibt sich in bestimmten Vektorräumen direkt aus deren Konstruktion.

Eine Basis eines Vektorraums ist eine Familie von Vektoren, mit der sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt. Die dabei auftretenden Koeffizienten heißen Koordinaten des Vektors bezüglich dieser Basis. Ein einzelnes Element der Basis heißt Basisvektor.

Jeder Vektorraum besitzt eine Basis, meist sogar viele verschiedene Basen. Im Allgemeinen ist aber keine davon besonders ausgezeichnet. Bei der Anschauungsebene könnte man zum Beispiel Verschiebungen nach rechts und nach oben als Basis wählen, doch Begriffe wie „Einheit“, „rechts“ und „oben“ beruhen auf Konventionen. Auch der zweidimensionale Vektorraum der zweimal differenzierbaren Funktionen f: R -> R mit f(x)+f''(x)=0 für alle x in R hat etwa Sinus und Cosinus als mögliche Basis, aber diese Wahl ist nicht gegenüber allen anderen ausgezeichnet.

Standardbasis in K hoch n

Die wichtigsten Beispiele für Standardbasen treten in den Standardräumen R^n mit n in N auf. Die Elemente von R^n sind n-Tupel reeller Zahlen. Unter allen Basen von R^n ist diejenige ausgezeichnet, bei der die Koordinaten eines Vektors genau seinen Tupel-Komponenten entsprechen.

Diese Standardbasis besteht aus den Vektoren e_1, ..., e_n mit e_1=(1,0,0,...,0), e_2=(0,1,0,...,0) bis e_n=(0,0,0,...,1). Jeder dieser Basisvektoren hat also an genau einer Stelle den Eintrag 1 und sonst nur Einträge 0.

Dasselbe gilt allgemeiner für den Vektorraum K^n über einem beliebigen Körper K. Auch dort sind die Standard-Basisvektoren e_1=(1,0,...,0), ..., e_n=(0,...,0,1). Die Standardbasis des R^2 besteht zum Beispiel aus e_1=(1,0) und e_2=(0,1). Andere zweidimensionale Vektorräume können zwar isomorph zu R^2 sein, besitzen aber deshalb nicht automatisch eine Standardbasis; entsprechend ist auch kein bestimmter Isomorphismus zu R^2 ausgezeichnet.

Bezeichnungen und Eigenschaften

Für Standard-Basisvektoren ist die Schreibweise e_1, e_2, ... weit verbreitet. Im dreidimensionalen Raum R^3 werden die Standard-Basisvektoren in den angewandten Naturwissenschaften manchmal auch mit i, j, k bezeichnet: i=e_1=(1,0,0)^T, j=e_2=(0,1,0)^T und k=e_3=(0,0,1)^T.

Der Raum R^n besitzt neben seiner Vektorraumstruktur weitere Eigenschaften. Bezüglich des Standardskalarprodukts ist die Standardbasis eine Orthonormalbasis. Das bedeutet: Die Basisvektoren stehen senkrecht aufeinander und haben jeweils die Länge 1.

Standardbasis im Matrizenraum

Auch die Menge K^{m x n} aller m-mal-n-Matrizen über einem Körper K bildet mit Matrizenaddition und Skalarmultiplikation einen Vektorraum. Die Standardbasis dieses Matrizenraums besteht aus den Standardmatrizen E_ij.

Eine Standardmatrix E_ij hat genau einen Eintrag gleich 1, nämlich an der Stelle (i,j), und alle anderen Einträge sind 0. Für den Raum der 2-mal-2-Matrizen bilden zum Beispiel die vier Matrizen E_11=((1,0),(0,0)), E_12=((0,1),(0,0)), E_21=((0,0),(1,0)) und E_22=((0,0),(0,1)) die Standardbasis.

Unendlichdimensionale Beispiele

Standardbasen gibt es auch in bestimmten unendlichdimensionalen Vektorräumen. Ist K ein Körper und M eine beliebige, auch unendliche Menge, dann bilden die endlichen formalen Linearkombinationen von Elementen aus M einen Vektorraum. In diesem Vektorraum ist M selbst eine Basis und wird als Standardbasis bezeichnet.

Eine äquivalente Sichtweise verwendet Abbildungen f: M -> K, für die f(x)=0 für fast alle x in M gilt. Für jedes m in M definiert man e_m: M -> K durch e_m(x)=1, falls x=m, und e_m(x)=0, falls x ungleich m ist. Die Familie {e_m}_{m in M} bildet dann eine Basis dieses Vektorraums und heißt ebenfalls Standardbasis.

Der Vektorraum aller Abbildungen f: M -> K besitzt dagegen, sofern M unendlich ist, keine Standardbasis. Auch Polynomringe über Körpern liefern ein Beispiel: Im Polynomring R[X] sind die Elemente definitionsgemäß endliche Linearkombinationen der Monome 1, X, X^2, X^3 usw. Diese Monome bilden daher die Standardbasis von R[X].

Kanonische Bedeutung

Der Begriff „kanonisch“ wird allgemein bei Konstruktionen verwendet, die durch eine universelle Eigenschaft bestimmt sind. Für Standardbasen lässt sich das so formulieren: Sei K ein Körper und M eine beliebige Menge. Gesucht ist ein K-Vektorraum U zusammen mit einer Abbildung f: M -> U, sodass für jeden K-Vektorraum X und jede Abbildung g: M -> X genau eine lineare Abbildung h: U -> X existiert mit g=h o f.

In einem solchen Paar (U,f) heißt f kanonische Abbildung oder universelle Lösung von M bezüglich des Vergissfunktors, der jedem K-Vektorraum seine zugrunde liegende Menge zuordnet. Die zuvor beschriebenen Vektorräume mit Standardbasis besitzen genau diese universelle Eigenschaft: Das Bild von M unter der kanonischen Abbildung besteht genau aus den Vektoren der kanonischen Basis.

Aus der Existenz einer solchen universellen Lösung folgt, dass die Zuordnung von M zu U einen Funktor ergibt, der linksadjungiert zum Vergissfunktor ist. Ein solcher Funktor heißt freier Funktor.