Durchmesser

Grundbegriff und Geometrie

Der Durchmesser eines Kreises in der euklidischen Ebene oder einer Kugel im euklidischen Raum ist der größte Abstand zweier Punkte der Kreislinie beziehungsweise der Kugeloberfläche. Beim Kreis ist er die Länge jeder längsten Sehne. Eine Sehne ist eine Strecke, die zwei Punkte einer Kreislinie verbindet; beim Durchmesser verläuft sie durch den Mittelpunkt.

Für einen Kreis gilt: Der Durchmesser ist die Länge einer jeden Sehne, die den Mittelpunkt enthält. Er ist also der Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten einer Geraden durch den Kreismittelpunkt mit der Kreislinie. Entsprechend ist bei einer n-Sphäre, insbesondere bei einer Kugel, der Durchmesser die Länge der Strecke, die eine Gerade durch den Mittelpunkt aus der Sphäre ausschneidet.

Die Hälfte eines Durchmessers heißt Radius r. Das Verhältnis vom Umfang U eines Kreises zum Durchmesser d ist die Kreiszahl π = 3,14159… Deshalb gilt für den Kreis: d = U/π = 2r.

Innen- und Außendurchmesser

Bei Kreisringen und Hohlzylindern unterscheidet man zwischen Innendurchmesser und Außendurchmesser. Der Innendurchmesser beschreibt die lichte Weite innen, der Außendurchmesser die äußere Breite der Kreisform oder des Hohlkörpers.

Zur Unterscheidung werden verschiedene Formelzeichen verwendet, zum Beispiel d, d_i oder D_i für den Innen- und D, d_a oder D_a für den Außendurchmesser. Entsprechend heißt r = d/2 der Innenradius und R = D/2 der Außenradius.

Die Differenz von Außenradius und Innenradius heißt b = R - r. Bei Kreisringen nennt man sie Ringbreite, bei Hohlkörpern Wanddicke.

Verallgemeinerung in metrischen Räumen

In der Mathematik wird der Durchmesser auf Mengen in metrischen Räumen verallgemeinert. Ein metrischer Raum ist ein Raum, in dem Abstände zwischen Punkten definiert sind. Für eine Menge M in einem metrischen Raum X ist der Durchmesser das Supremum aller Abstände je zweier Punkte aus M:

operatorname{diam}(M) := sup{d(x,y): x,y in M}.

Das Supremum ist die kleinste obere Schranke einer Menge von Zahlen. Der Durchmesser beschreibt damit im Wesentlichen den größten vorkommenden Abstand innerhalb von M. Für Kreise und Kugeln in euklidischen Räumen stimmt diese Definition mit dem geometrischen Durchmesser überein.

Beispiele

Das reelle Einheitsintervall I = [0,1] in R hat den Durchmesser operatorname{diam}(I) = 1.

Im euklidischen Raum R^n haben die offene Einheitskugel B_{R^n}, die abgeschlossene Einheitskugel overline{B_{R^n}} und die zugehörige Einheitssphäre S^{n-1} für n = 2,3,… denselben Durchmesser: operatorname{diam}(B_{R^n}) = operatorname{diam}(overline{B_{R^n}}) = operatorname{diam}(S^{n-1}) = 2.

Technische Verwendung und Messung

In der Technik werden Formeln bevorzugt so aufgebaut, dass der Durchmesser und nicht der Radius als Variable vorkommt. Der Grund ist praktisch: Der Durchmesser kann mit werkstattüblichen Messmitteln, zum Beispiel einem Messschieber, direkt gemessen und anschließend in der Formel verwendet werden.

In technischen Zeichnungen und Texten wird das Durchmesserzeichen ø (U+2300) den Maßzahlen von Kreisformen vorangestellt. Früher wurde es vor allem verwendet, wenn die Kreisform nicht sofort erkennbar war, etwa bei Schnittdarstellungen von Bohrungen oder Durchgangsbohrungen. Nach DIN 406-11 von 1992 ist das Durchmesserzeichen in jedem Fall voranzusetzen.

Beispiele für Hohlkörper mit Innen- und Außendurchmesser sind Unterlegscheiben, Schläuche, Rohre, Hohlwellen und Wälzlager. Bei Rohren und Schläuchen heißt der genormte Innendurchmesser Nennweite. Der Begriff Nenndurchmesser wird je nach Branche für Innen- oder Außendurchmesser verwendet.

Messverfahren und weitere Bedeutungen

Für das Messen und Prüfen von Durchmessern gibt es je nach Größenordnung verschiedene Verfahren. Innen- und Außendurchmesser können mit Messschrauben und Messschiebern gemessen werden. Größere Durchmesser lassen sich mit Koordinatenmessgeräten erfassen. Für kleine Durchmesser im Mikrometer-Bereich eignen sich optische Messverfahren wie Lasermikrometer. Zur Prüfung von Durchmessern eines Werkstücks können Grenzlehren verwendet werden.

In der Astronomie wird üblicherweise der Radius als Messwert und Messgröße angegeben und gemessen. Wenn der Durchmesser eines Objekts angegeben wird, wird der Radius verdoppelt.

Der Begriff Durchmesser wird auch in anderen Fachgebieten verwendet: In der Graphentheorie bezeichnet er den maximalen Abstand zweier Knoten in einem Graphen. Weitere Begriffe sind Äquivalentdurchmesser, aerodynamischer Durchmesser, biparietaler Durchmesser, idealkritischer Durchmesser und konjugierte Durchmesser bei Kegelschnitten.