Sechseck

Definition und Formeln

Ein Sechseck, auch Hexagon oder Sexagon, ist ein Polygon (Vieleck) mit sechs Ecken und sechs Seiten. Sind alle Seiten gleich lang, handelt es sich um ein gleichseitiges Sechseck. Sind zusätzlich alle sechs Innenwinkel gleich groß, ist es regelmäßig oder regulär. Beim regelmäßigen Sechseck ist jeder Innenwinkel α = 120° groß.

Für die Formeln bezeichnet a die Seitenlänge, ri den Inkreisradius und ru den Umkreisradius. Es gilt:

• Flächeninhalt: A = (3 · √3 / 2) · a² ≈ 2,598 · a² sowie A = 2 · √3 · ri² ≈ 3,464 · ri².
• Kurze Diagonale: d₂ = 2 · ri = √3 · a ≈ 1,732 · a.
• Lange Diagonale: d₃ = 2 · ru = 2 · a.
• Inkreisradius beziehungsweise halbe Schlüsselweite: ri = (√3 / 2) · a ≈ 0,866 · a.
• Umkreisradius: ru = a.

Verbindet man jeweils gegenüberliegende Ecken, entstehen sechs gleichseitige Dreiecke. Werden dagegen alle nicht gegenüberliegenden Ecken miteinander verbunden, entsteht ein Hexagramm.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Bei gegebenem Umkreis lässt sich ein regelmäßiges Sechseck besonders einfach konstruieren: Der Radius des Kreises wird sechsmal auf dem Kreisrand abgetragen. Die sechs erhaltenen Punkte sind die Ecken des Sechsecks. Nach Euklid genügt alternativ zweimaliges Abtragen; die fehlenden Ecken werden anschließend durch Geraden durch den Mittelpunkt des Umkreises und die bereits bekannten Ecken bestimmt. Eine weitere Konstruktion kommt mit zehn Schritten aus und verwendet eine Gerade, den Umkreis mit dem gegebenen Radius sowie zwei Kreisbögen mit gleichem Radius.

Ist dagegen eine Seitenlänge AB vorgegeben, wird zunächst um A und B jeweils ein Kreisbogen mit dem Radius AB gezeichnet. Ihr Schnittpunkt M ist der Mittelpunkt des späteren Umkreises. Um M wird mit dem Radius AM der Umkreis gezeichnet. Danach wird die Strecke AB vom Punkt B aus viermal mit dem Zirkel auf dem Umkreis abgetragen. Durch das Verbinden benachbarter Eckpunkte entsteht das regelmäßige Sechseck ABCDEF.

Parkettierungen und weitere geometrische Modelle

Das regelmäßige Sechseck ist neben dem gleichseitigen Dreieck und der Raute, mit dem Quadrat als Spezialfall, das einzige gleichseitige Polygon, mit dem sich eine Ebene lückenlos parkettieren lässt. In einer hexagonalen Parkettierung sind benachbarte Sechsecke ausschließlich über vollständige Kanten verbunden; Nachbarn, die nur Ecken oder Kantenteile gemeinsam haben, treten nicht auf. Diese Parkettierung besitzt die geringste Umfangslänge pro Flächeneinheit, was mit dem Bienenwaben-Satz zusammenhängt. Der Abstand der Mittelpunkte zweier direkt benachbarter Sechsecke beträgt 2 · ri = √3 · a. Die mögliche lückenlose Anordnung erklärt mit, warum Sechsecke häufiger vorkommen als regelmäßige Fünfecke, Siebenecke und höhere Polygone. Bei den dargestellten regelmäßigen Parkettierungen geben die Bezeichnungen 6, 3-6-3-6, 3-3-3-3-6, 3-4-6-4 und 4-6-12 die Eckenzahlen der Polygone an, die an einem Punkt zusammentreffen; ihre Innenwinkel ergeben zusammen 360°.

Ein regelmäßiges Sechseck kann in sechs kongruente gleichschenklige Dreiecke zerlegt werden. Aus diesen lassen sich zwei kongruente gleichseitige Dreiecke bilden. Ihre Seitenlänge s entspricht der kurzen Diagonale d₂ = √3 · a.

Regelmäßige Sechsecke sind außerdem Seitenflächen einiger archimedischer Körper, darunter Tetraederstumpf, Oktaederstumpf, Großes Rhombenkuboktaeder, Ikosaederstumpf (Fußballkörper) und Großes Rhombenikosidodekaeder.

Schneidet eine Ebene einen Einheitswürfel durch die Mittelpunkte von sechs seiner Kanten, ist die Schnittfläche ein regelmäßiges Sechseck. Seine Seitenlänge beträgt a = √((1/2)² + (1/2)²) = (1/2)√2. Der Flächeninhalt ist A = (3/2)√3 · (1/2) = (3/4)√3.

Hexagonale Strukturen in der Natur

Sechseckige und hexagonale Strukturen treten in vielen natürlichen Zusammenhängen auf:

• Kovalente Bindungen bilden aufgrund der Elektronenorbitale häufig Winkel von 120°. Dadurch sind sechseckige Molekülformen besonders stabil. Ein wichtiges Beispiel ist der aromatische Benzolring: Kohlenstoffatome bilden seine Ecken, und Benzol ist im Gegensatz zu einem aliphatischen Ring wie Cyclohexan auch räumlich ein ebenes Sechseck.
• In Graphit bilden Kohlenstoffatome planare Flächen aus Sechsecken. Auch Graphen, Fullerene und Kohlenstoffnanoröhren bestehen aus geraden oder leicht gekrümmten Sechsringen.
• Viele Kristalle besitzen hexagonale Formen. Dazu gehören natürliches Wassereis und sechsstrahlige Schneeflocken; beim Wassermolekül bilden die Wasserstoffatome zum Sauerstoff ebenfalls annähernd einen 120°-Winkel.
• Bei der Suprafluidität können quantisierte mechanische Wirbel hexagonal angeordnet sein. Die Chitinlinsen der Ommatidien, also der Einzelaugen von Insekten und Krebstieren, besitzen häufig eine annähernd sechseckige Querschnittsfläche.
• Einige Kieselalgen, etwa Triceratium pantoksekii, haben einen sechseckigen Querschnitt. Triceratium favus besitzt ein wabenförmiges Exoskelett und bildet annähernd ein mathematisches Polyhex.
• Bienenwaben verbinden ein günstiges Verhältnis von Wandmaterial zu Volumen mit hoher Stabilität. Die hexagonale Anordnung nutzt die Vorteile der Kreisform, lässt aber keine ungenutzten Zwischenräume.
• Langsam erstarrender Basalt bildet oft meterlange sechseckige Säulen. Ortszellen im Hippocampus, die die Position eines Tieres codieren, lassen sich als Eckpunkte von Sechsecken darstellen. Auch Konvektionszellen im Bénard-Experiment können reguläre Sechsecke bilden.
• Am Nordpol des Saturn liegt eine stabile atmosphärische Struktur in Form eines nahezu regelmäßigen Sechsecks mit einem Durchmesser von fast 25.000 Kilometern. Das Wintersechseck ist dagegen eine von der Erde aus betrachtete Sternenkonstellation, die zufällig ein unregelmäßiges Sechseck bildet.

Kunst, Kultur und Architektur

In jüdischer und christlicher Architektur, Malerei und Grafik beruht die Verwendung des Hexagons auf der Symbolik der Zahl 6. Diese wird als Summe der ersten drei Zahlen 1 + 2 + 3 verstanden. Das gleichseitige Hexagon kann die Allmacht Gottes sowie das Gleichgewicht und die Harmonie des Göttlichen und Weltlichen symbolisieren. Seine Zusammensetzung aus sechs gleichseitigen Dreiecken nimmt zugleich die Symbolik der Zahl 3 auf. Je nach Zusammenhang kann es auch für das Sechstagewerk der Schöpfung im 1. Buch Mose stehen.

Ein Beispiel ist der hexagonale Tisch im spätmittelalterlichen Gemälde „Paradiesgärtlein“ des Oberrheinischen Meisters, entstanden um 1410 und heute im Städelschen Kunstinstitut in Frankfurt. Form, Farbe und Symbolkraft des Sechsecks sind für die Bildkomposition und das Verständnis des Bildes wichtig.

In vielen Kulturen dient das Hexagon zur Gestaltung von Fenstern, Fliesen und Mosaiken, etwa bei Fresken am Dom zu Pisa oder bei Mauerelementen in Pompeji. Auch die Glastonbury Abbey liegt innerhalb eines gedachten Hexagons. Weitere Bauwerke mit sechseckigem oder teilweise sechseckigem Grundriss sind das Teatro Real in Madrid, Frank Lloyd Wrights Privatvilla Kentuck Knob in Pennsylvania, der Lantern Tower in Schottland, der Musentempel im Schlosspark Tiefurt, der Wasserturm Zörbig und das Paradome in Potsdam. Das Ehrenmal für die Opfer des Ersten Weltkriegs in Weidenthal von 1937 ist sechseckig; mehrere Sechsecke bilden den Grundriss des Düsseldorfer Rank-Xerox-Hauses.

M. C. Eschers Mosaik-Variationen beruhen häufig auf Sechsecken. Frankreich wird wegen seiner ungefähr sechseckigen Gestalt auf dem europäischen Festland auch l’hexagone genannt. Auf der Rückseite der französischen 1- und 2-Euro-Münzen befindet sich deshalb ein stilisierter Baum in einem Hexagon; die sieben Sterne auf den Schulterstücken des Marschalls von Frankreich sind ebenfalls sechseckig angeordnet. Die ersten kommerziellen elektronischen Schlagzeuge der britischen Firma Simmons waren hexagonal geformt.

Technik und Spiele

In der Technik sind Sechsecke verbreitet, weil sie stabile und materialeffiziente Strukturen ermöglichen. Schraubenköpfe gibt es häufig als Außensechskant oder als Innensechskant (Inbus); auch Sechskantmuttern sind üblich. Sandwichplatten mit wabenförmigem Stützkern werden eingesetzt, wenn hohe Festigkeit bei geringem Gewicht oder Materialverbrauch erforderlich ist. Stützstrukturen vieler Fused-Deposition-Modeling-3D-Drucker können als Wabenstruktur gedruckt werden und verbinden ebenfalls Stabilität mit geringem Gewicht und geringem Filamentverbrauch.

Die Spiegelsegmente moderner Großteleskope sind meist hexagonal-ellipsoidisch. Beim James-Webb-Weltraumteleskop ermöglicht die Form eine Anordnung ohne Zwischenräume. Unter den 18 Segmenten müssen nur drei Segmenttypen konstruiert beziehungsweise gefertigt werden, weil die Segmente äquidistant zur zentralen optischen Achse liegen und durch eine vom Zentrum der Gesamtanordnung ausgehende Linie symmetrisch zerschnitten werden können. Dies gilt bei einer zum Magischen Sechseck analogen Anordnung für N ≤ 3.

Bei vielen Spielen, besonders bei Konfliktsimulationsspielen, besteht der Spielplan aus einem Sechseckraster. Entfernungen zwischen zwei Feldern lassen sich dadurch einfacher bestimmen als auf einem Quadratraster wie einem Schachbrett. Ein bekanntes Beispiel ist „Die Siedler von Catan“: Sowohl das Spielbrett als auch die einzelnen Landschaftsplättchen haben eine Sechseckform.