Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Begriff und zulässige Werkzeuge

Eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal ist in der euklidischen Geometrie die exakte zeichnerische Darstellung einer Figur aus vorgegebenen Größen. Das Lineal besitzt keine Markierungen: Es dient nur zum Zeichnen von Geraden, nicht zum Abmessen von Strecken. Zirkel und unskaliertes Lineal heißen deshalb auch euklidische Werkzeuge.

Zulässig sind drei grundlegende Handlungen:

• Durch zwei verschiedene gegebene Punkte darf eine Gerade von unbeschränkter Länge gezogen werden.

• Um einen gegebenen Mittelpunkt darf ein Kreis gezeichnet werden, der durch einen anderen gegebenen Punkt verläuft.

• Eine Strecke darf auf eine Gerade oder als Sehne auf eine Kreislinie übertragen werden.

Alle weiteren Konstruktionen müssen aus endlich vielen solchen Schritten zusammengesetzt sein. Nach dem Satz von Mohr-Mascheroni lassen sich alle mit Zirkel und Lineal lösbaren Aufgaben sogar allein mit dem Zirkel ausführen. Nach dem Satz von Poncelet-Steiner genügen alternativ ein Lineal und ein bereits vorgegebener Kreis.

Konstruierbare Zahlen und Rechenoperationen

Reelle Zahlen werden geometrisch gewöhnlich durch Punkte beziehungsweise Strecken auf einer Zahlengeraden dargestellt. Aus graphisch vorgegebenen oder schon konstruierten Zahlen können mit Zirkel und Lineal folgende Ergebnisse konstruiert werden: Summe, Differenz, Produkt, Quotient bei einem von null verschiedenen Divisor, Dezimalzahl, Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl, Quadrat, weitere Potenzen und Lösungen quadratischer Gleichungen.

Zusammengefasst sind alle Zahlen konstruierbar, die sich aus ganzen Zahlen durch endlich oft und in beliebiger Reihenfolge angewandte Operationen +, −, ×, / und √ berechnen lassen. Addition und Subtraktion werden durch das Aneinanderlegen beziehungsweise gerichtete Abtragen von Strecken dargestellt. Für Multiplikation und Division verwendet man insbesondere den Strahlensatz; auch Konstruktionen mithilfe des Sekanten- oder Sehnensatzes sind möglich. Dezimalzahlen können mit dem dritten Strahlensatz konstruiert werden.

Zur Quadratwurzelkonstruktion dienen der Kathetensatz oder der Höhensatz. Dabei lässt sich etwa die Wurzel aus einem Produkt über das geometrische Mittel gewinnen. Der Artikel zeigt unter anderem Konstruktionen für √2, √3 und allgemein √a, sowohl für a < 1 als auch für a > 1. Durch wiederholte entsprechende Konstruktionen entstehen Potenzen a², a³, a⁴, … für Basen über oder unter 1. Beim Dreiecksfraktal erlaubt die Beziehung f + f² = 1 eine einfache Konstruktion der Potenzen f², f³, f⁴, f⁵, f⁶, f⁷, … .

Quadratische Gleichungen und Beispiele

Auch quadratische Gleichungen lassen sich geometrisch lösen, weil ihre Lösungsformeln nur die zugelassenen Grundrechenarten und Quadratwurzeln benötigen. Für rationale Zahlen p und q behandelt der Artikel die vier Formen

• x² − px + q = 0,

• x² + px + q = 0,

• x² − px − q = 0,

• x² + px − q = 0.

Dabei werden unter anderem die Strecken AC = 4/p und BD = q/p verwendet; die konstruierten Punkte X₁ und X₂ stellen die Lösungen dar. In den zugehörigen Zeichnungen eingezeichnete hellgrüne Parabeln gehören nicht zur eigentlichen Konstruktion, sondern dienen nur der Verdeutlichung.

Typische Zahlenbeispiele des Artikels sind die Konstruktionen von 1 + 2 und 3 − 2 = 3 + (−2), des Produktes 2 · 1,5 sowie der Quotienten 3 : 2 und 0,3 : 0,8. Bei Konstruktionen allgemeiner Produkte a · b und Quotienten a : b werden verschiedene Fälle wie a < b und a > b berücksichtigt; Mittelsenkrechten und geeignete ähnliche Dreiecke beziehungsweise Kreise sichern dabei die exakten Verhältnisse.

Grenzen der Konstruierbarkeit

Nicht jede Zahl und nicht jede geometrische Figur ist mit Zirkel und Lineal exakt konstruierbar. Wenn 0 und 1 vorgegeben sind, gehören dazu alle transzendenten Zahlen, beispielsweise die Kreiszahl π und die Eulersche Zahl e. Ebenfalls nicht konstruierbar sind algebraische Zahlen, deren Grad keine Zweierpotenz ist. Ein Beispiel ist ∛2: Diese Zahl hat den Grad 3 und ist Nullstelle des über ℚ irreduziblen Polynoms x³ − 2.

Zu den klassischen unmöglichen Aufgaben der antiken Mathematik gehören die allgemeine Dreiteilung eines Winkels, die Verdoppelung des Würfels und die Quadratur des Kreises. Mit Zirkel und Lineal allein lassen sich außerdem die Kegelschnitte Ellipse – außer dem Kreis –, Parabel und Hyperbel, viele regelmäßige Vielecke sowie das Alhazensche Problem nicht exakt konstruieren. Der grundsätzliche Beweis der Unlösbarkeit solcher Aufgaben gelang erst im 19. Jahrhundert.

Andere Hilfsmittel können manche Beschränkungen überwinden. Eine allgemeine Winkelteilung ist beispielsweise mit einer Schablone möglich, deren Kante eine archimedische Spirale bildet; der in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts aufgekommene „Tomahawk“ ermöglicht die allgemeine Dreiteilung eines Winkels. Carl Friedrich Gauß entdeckte am 30. März 1796 die Konstruierbarkeit von cos(2π/17) und damit die Grundlage für die Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks. Mithilfe der im 19. Jahrhundert entwickelten Galoistheorie konnten Aussagen über konstruierbare regelmäßige Vielecke und die Dreiteilung beliebiger Winkel algebraisch begründet werden.

Näherungen und Bedeutung

Wenn eine Figur nicht exakt konstruierbar oder ihre exakte Konstruktion zu aufwändig ist, kann eine Näherungskonstruktion verwendet werden. Sie erzeugt mit den erlaubten Werkzeugen ein Ergebnis, das dem gesuchten Objekt sehr nahekommt, aber nicht genau mit ihm übereinstimmt. Genannt werden die Näherung für π von Kochański, Näherungen zur Quadratur des Kreises sowie Konstruktionen für das regelmäßige Siebeneck und das regelmäßige Neuneck.

Geometrische Grundkonstruktionen sind besonders für die Darstellende Geometrie und das Technische Zeichnen wichtig. Sie werden bereits in der Schulmathematik vermittelt und im Ausbildungsberuf des Technischen Zeichners vielfach angewendet. Historisch galten Konstruktionen mit Zirkel und Lineal über viele Jahrhunderte als besonders strenge Form mathematischer Logik, weil jeder Schritt aus wenigen klar festgelegten Grundhandlungen hervorgehen muss.