Diagonale (Geometrie)

Begriff und grundlegende Unterscheidung

Eine Diagonale ist eine Strecke, die zwei Ecken einer geometrischen Figur verbindet, ohne selbst eine Seite oder Kante dieser Figur zu sein.

In der ebenen Geometrie verbindet eine Diagonale zwei nicht benachbarte Ecken eines Polygons, also eines Vielecks. Deshalb kann ein Polygon erst ab vier Ecken Diagonalen besitzen. Bei einem konvexen Polygon liegen alle Diagonalen vollständig innerhalb der Figur. Bei einem konkaven Polygon liegt mindestens eine Diagonale komplett außerhalb.

In der Raumgeometrie oder Stereometrie bezeichnet eine Raum- beziehungsweise Körperdiagonale eines Polyeders eine Strecke zwischen zwei Ecken, die weder eine Kante noch eine Diagonale einer Seitenfläche ist.

Anzahl der Diagonalen in Vielecken

Für ein n-Eck beträgt die Anzahl d(n) seiner Diagonalen:

d(n) = n(n − 3) / 2.

Die Begründung: Von jeder der n Ecken können Diagonalen zu n − 3 Ecken gezogen werden. Die Ecke selbst und ihre beiden Nachbarecken werden nicht mitgezählt. Dadurch wird jede Diagonale zunächst zweimal erfasst, nämlich von beiden Endpunkten aus. Deshalb wird das Ergebnis durch 2 geteilt.

Beispiele: Ein Dreieck besitzt 0 Diagonalen, ein Viereck 2, ein Fünfeck 5, ein Sechseck 9, ein Siebeneck 14, ein Achteck 20 und ein Zehneck 35. Für ein 17-Eck erhält man 119 Diagonalen, für ein 25-Eck 275.

Berechnung von Diagonalenlängen in der Ebene

Verbindet eine Diagonale eine Ecke mit der übernächsten Ecke, lässt sich ihre Länge d aus den dazwischenliegenden Seitenlängen s₀ und s₁ sowie dem eingeschlossenen Winkel φ₁ mit dem Kosinussatz berechnen:

d = √(s₀² + s₁² − 2s₀s₁ cos φ₁).

Auch längere Diagonalen können bestimmt werden, wenn auf einem Teil des Umfangs zwischen ihren Endpunkten alle Seitenlängen und die Innenwinkel der dazwischenliegenden Ecken bekannt sind. Werden die Seiten vom Ausgangspunkt aus mit sᵢ und die jeweils davor liegenden Innenwinkel mit φᵢ bezeichnet, gilt allgemein für eine Diagonale über n Seiten:

dₙ = √[(s₀ + Σᵢ₌₁ⁿ⁻¹ (−1)ⁱ sᵢ cos(Σₖ₌₁ⁱ φₖ))² + (Σᵢ₌₁ⁿ⁻¹ −(−1)ⁱ sᵢ sin(Σₖ₌₁ⁱ φₖ))²].

Für ein Parallelogramm mit den Seitenlängen a und b und dem Innenwinkel α haben die beiden Diagonalen die Längen

e = √(a² + b² + 2ab cos α)

und

f = √(a² + b² − 2ab cos α).

Beim Rechteck ist α = 90°. Deshalb folgt aus dem Satz des Pythagoras für beide Diagonalen:

d = √(a² + b²).

Regelmäßige Vielecke

Bei regelmäßigen Polygonen sind alle Seiten gleich lang und alle entsprechenden Winkel gleich groß. Dadurch entstehen vereinfachte Formeln.

• Für ein Quadrat mit Seitenlänge a gilt d = a√2.

• Für ein regelmäßiges Fünfeck gilt d = a/2 · (1 + √5).

• Für ein regelmäßiges Sechseck nennt der Artikel für die Diagonalen über zwei beziehungsweise drei Seiten die Formeln d₂ = a√3/2 und d₃ = 2a.

• Allgemein hat in einem regelmäßigen n-Eck mit Seitenlänge a eine Diagonale über k Seiten die Länge

dₖ = a · sin(kπ/n) · csc(π/n).

Dabei ist csc der Kosekans, also der Kehrwert des Sinus.

Raumdiagonalen in Polyedern

Um die Anzahl Z der Körperdiagonalen eines Polyeders zu bestimmen, betrachtet man zunächst alle möglichen Verbindungsstrecken zwischen seinen E Ecken. Davon werden sämtliche Kanten und alle Diagonalen der Seitenflächen abgezogen. Mit E als Eckenzahl, F als Flächenzahl, K als Kantenzahl und Nᵢ als Eckenzahl der Fläche i gilt:

Z = E(E − 1)/2 − K − Σᵢ₌₁ᶠ [Nᵢ(Nᵢ − 3)/2].

Für ein Parallelepiped, beispielsweise einen Quader, sind E = 8, F = 6, K = 12 und Nᵢ = 4 für jede Seitenfläche. Damit ergibt sich:

Z = 8(8 − 1)/2 − 12 − 6 · [4(4 − 3)/2] = 28 − 12 − 6 · 2 = 4.

Ein Quader besitzt somit vier Raumdiagonalen. Bei den Seitenlängen a, b und c hat jede davon die Länge

d = √(a² + b² + c²).

Für einen Würfel mit der Kantenlänge a vereinfacht sich dies zu d = a√3.

Diagonalen in Kunst und Wahrnehmung

In der bildenden Kunst dienen Diagonalen als Kompositionselemente zur formalen Gestaltung. Bei der Diagonalmethode wird ein rechteckiges Format in zwei Quadrate geteilt; deren Diagonalen werden anschließend für die Anordnung des Bildes verwendet.

In Kunst und (foto)grafischer Gestaltung können unterschiedliche Diagonalrichtungen verschieden wahrgenommen werden. Eine von links unten nach rechts oben ansteigende Linie heißt positive Diagonale und wird als positiv und dynamisch aufgefasst. Die negative Diagonale verläuft von links oben nach rechts unten und kann für Bremsen, Stoppen oder negative Gefühle stehen. Eine Gestaltung kann die Bildaussage durch eine passend gerichtete diagonale Struktur unterstützen und ihr gegebenenfalls eine kleinere Gegendiagonale gegenüberstellen.

Der Artikel erklärt diese Wirkung wahrnehmungspsychologisch unter anderem mit der Schreib- und Leserichtung nach rechts, der Neigung schnell geschriebener oder kursiver Buchstaben und nach rechts oben ansteigenden handschriftlichen Zeilen. Hinzu kommen Diagramme, in denen auf einer nach rechts laufenden Zeitachse ein nach oben steigender Wert eine positive Entwicklung darstellt.