Schnittgerade

Begriff und Lagebeziehungen

Eine Schnittgerade ist die gemeinsame Schnittmenge zweier Ebenen im dreidimensionalen euklidischen Raum, sofern die Ebenen nicht parallel zueinander sind. Sie wird meist durch eine Parametergleichung beschrieben, also in der Form x⃗ = p⃗ + t·u⃗ mit einem Stützvektor p⃗, einem Richtungsvektor u⃗ und einem freien Parameter t.

Zwischen zwei Ebenen gibt es drei mögliche Lagebeziehungen:

• Sie sind echt parallel: Sie sind parallel, aber nicht gleich, und besitzen keine gemeinsamen Punkte.
• Sie sind gleich: Ihre gemeinsame Punktmenge ist die gesamte Ebene.
• Sie sind nicht parallel: Sie schneiden sich in einer Schnittgeraden.

Schneidet eine Ebene eine Koordinatenebene, heißt die Schnittgerade Spurgerade. Besitzen mehrere Ebenen dieselbe Schnittgerade, bilden sie ein Ebenenbüschel. Die gemeinsame Gerade heißt dann Trägergerade oder Achse des Ebenenbüschels.

Zur Berechnung löst man eine lineare Gleichung oder ein lineares Gleichungssystem. Eine einparametrige Lösungsmenge beschreibt eine Schnittgerade. Eine zweiparametrige Lösungsmenge bedeutet, dass die Ebenen gleich sind. Gibt es keine Lösung, sind sie echt parallel. Das genaue Verfahren hängt davon ab, ob die Ebenen in Normalenform oder Parameterform gegeben sind.

Normalenform und Parameterform kombinieren

Gegeben sind E₁: n⃗·x⃗ = d in Normalenform und E₂: x⃗ = p⃗ + r·u⃗ + s·v⃗ in Parameterform. Der Normalenvektor n⃗ steht senkrecht auf E₁; p⃗ ist ein Stützvektor von E₂, während u⃗ und v⃗ ihre Richtungsvektoren sind.

Man setzt die Parameterdarstellung von E₂ in die Normalengleichung von E₁ ein. Mithilfe der Rechengesetze für das Skalarprodukt entsteht

n⃗·p⃗ + r·(n⃗·u⃗) + s·(n⃗·v⃗) = d.

Sind die Ebenen nicht parallel, gilt n⃗·u⃗ ≠ 0 oder n⃗·v⃗ ≠ 0. Daher kann die Gleichung nach r oder s aufgelöst werden. Der so ausgedrückte Parameter wird in E₂ eingesetzt. Anschließend bleibt nur ein freier Parameter übrig, und man erhält die Parametergleichung der Schnittgeraden.

Beispiel zur gemischten Darstellung

Für

E₁: (1,2,1)ᵀ·x⃗ = 1

und

E₂: x⃗ = (1,1,1)ᵀ + r(2,1,−3)ᵀ + s(−1,1,0)ᵀ

wird die Gleichung von E₂ in E₁ eingesetzt. Nach dem Berechnen der Skalarprodukte und dem Umstellen ergibt sich s = −3 − r. Die Lösung ist einparametrig, also besitzen die Ebenen eine Schnittgerade.

Das Einsetzen von s = −3 − r in E₂ und das Zusammenfassen der Vektoren liefert die Parameterdarstellung

g: x⃗ = (−5,−2,10)ᵀ + r(−3,0,3)ᵀ.

Zwei Ebenen in Parameterform

Für zwei Ebenen

E₁: x⃗ = p⃗₁ + r₁u⃗₁ + s₁v⃗₁

und

E₂: x⃗ = p⃗₂ + r₂u⃗₂ + s₂v⃗₂

werden die beiden rechten Seiten gleichgesetzt:

p⃗₁ + r₁u⃗₁ + s₁v⃗₁ = p⃗₂ + r₂u⃗₂ + s₂v⃗₂.

Aus den drei Vektorkomponenten entsteht ein lineares 3×4-Gleichungssystem für r₁, r₂, s₁ und s₂. Dieses lässt sich auf eine Gleichung mit zwei Variablen zurückführen. Sind die Ebenen nicht parallel, kann eine Variable durch die andere ausgedrückt werden. Man wählt eine Variable als freien Parameter und setzt die erhaltene Beziehung in eine der Ebenengleichungen ein. Nach dem Zusammenfassen folgt die Parametergleichung der Schnittgeraden.

Im Beispiel

E₁: x⃗ = (1,−1,1)ᵀ + r₁(2,1,−1)ᵀ + s₁(−1,1,0)ᵀ

und

E₂: x⃗ = (1,1,1)ᵀ + r₂(2,2,−1)ᵀ + s₂(1,0,1)ᵀ

besitzt das Gleichungssystem eine einparametrige Lösungsschar. Mit s₂ = t als freiem Parameter gilt r₂ = −2 − 4t. Das Einsetzen in E₂ ergibt

g: x⃗ = (−3,−3,3)ᵀ + t(−7,−8,5)ᵀ.

Zwei Ebenen in Normalenform

Gegeben sind E₁: n⃗₁·x⃗ = d₁ und E₂: n⃗₂·x⃗ = d₂. Die Ebenen sind genau dann nicht parallel, wenn ihre Normalenvektoren n⃗₁ und n⃗₂ keine Vielfachen voneinander sind. Für die Schnittgerade gibt es zwei direkte Methoden.

Bei Methode 1 bilden die Normalengleichungen ein lineares 2×3-Gleichungssystem für die Koordinaten x, y und z. Man bringt es in Zeilenstufenform, wählt eine freie Koordinate als Parameter und drückt die beiden anderen Koordinaten durch diesen Parameter aus. Der Lösungsvektor wird anschließend in die Form einer Geraden umgeschrieben.

Für E₁: (1,2,1)ᵀ·x⃗ = 1 und E₂: (2,−3,2)ᵀ·x⃗ = 2 sind die Normalenvektoren keine Vielfachen. Das Gleichungssystem lautet x + 2y + z = 1 und 2x − 3y + 2z = 2. In Zeilenstufenform ergibt sich zusätzlich 7y = 0. Mit z = t folgt y = 0 und x = 1 − t. Damit ist

x⃗ = (1,0,0)ᵀ + t(−1,0,1)ᵀ

eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden.

Bei Methode 2 nutzt man, dass der Richtungsvektor der Schnittgeraden senkrecht auf beiden Normalenvektoren steht. Daher kann man das Kreuzprodukt u⃗ = n⃗₁ × n⃗₂ als Richtungsvektor wählen. Ein Stützvektor p⃗ wird als Schnittpunkt von E₁, E₂ und der Ebene E₃: x⃗ = r·n⃗₁ + s·n⃗₂ bestimmt. Weil p⃗ in E₃ liegt, gilt p⃗ = r₀n⃗₁ + s₀n⃗₂. Einsetzen in E₁ und E₂ führt zum 2×2-Gleichungssystem

r(n⃗₁·n⃗₁) + s(n⃗₁·n⃗₂) = d₁,

r(n⃗₁·n⃗₂) + s(n⃗₂·n⃗₂) = d₂.

Seine eindeutige Lösung liefert r₀ und s₀ und damit den Stützvektor.

Im selben Beispiel ist u⃗ = (1,2,1)ᵀ × (2,−3,2)ᵀ = (7,0,−7)ᵀ. Mit n⃗₁·n⃗₁ = 6, n⃗₂·n⃗₂ = 17 und n⃗₁·n⃗₂ = −2 entsteht das Gleichungssystem 6r − 2s = 1 und −2r + 17s = 2. Es hat die Lösung r₀ = 3/14 und s₀ = 2/14. Daraus folgt p⃗ = (1/2,0,1/2)ᵀ und somit

g: x⃗ = (1/2,0,1/2)ᵀ + t(7,0,−7)ᵀ.

Diese Darstellung beschreibt dieselbe Schnittgerade wie die Lösung aus Methode 1; Stütz- und Richtungsvektoren einer Geraden sind nicht eindeutig.