Lineare Gleichung

Grundidee und Definition

Eine lineare Gleichung ist eine mathematische Bestimmungsgleichung, in der ausschließlich Linearkombinationen der Unbekannten vorkommen. Jede Unbekannte steht nur in der ersten Potenz; sie wird beispielsweise nicht quadriert. Im einfachsten skalaren Fall lautet die Gleichung a·x=b, wobei a und b Konstanten sind. Unbekannte können aber auch Folgen, Vektoren oder Funktionen sein.

Allgemein wird eine lineare Gleichung als T(x)=b geschrieben. Dabei ist T eine lineare Abbildung von einem Vektorraum V in einen Vektorraum W, x∈V die Unbekannte und b∈W die rechte Seite. Beide Räume sind über demselben Körper K definiert. Linearität bedeutet für λ,μ∈K: T(λx+μy)=λT(x)+μT(y). Lineare Gleichungen sind besonders in der linearen Algebra und der linearen Funktionalanalysis wichtig; auch in der Zahlentheorie treten sie auf.

Skalare Gleichungen und Lösungsräume

Bei einer skalaren linearen Gleichung mit einer Unbekannten kann die Gleichung durch Äquivalenzumformungen in die Form a·x=b gebracht werden. Für a≠0 gibt es genau eine Lösung, nämlich x=b/a. Für a=0 und b≠0 gibt es keine Lösung. Für a=0 und b=0 erfüllt jedes x die Gleichung, sodass unendlich viele Lösungen existieren. Beispiele sind 3·x=24 mit x=8, 0·x=7 ohne Lösung und 0·x=0 mit beliebigem x.

Mit zwei Unbekannten lautet die allgemeine Form a·x+b·y=c. Wenn nicht zugleich a=0 und b=0 gilt, bilden die Lösungen eine Gerade im zweidimensionalen Raum. Ist b≠0, kann man sie parametrisieren durch x=t und y=(c−a·t)/b mit t∈R. Der Lösungsraum ist trotz zweier Unbekannter eindimensional. Zum Beispiel besitzt 3·x+4·y=12 die Darstellung x=t, y=(12−3·t)/4; der zugehörige Funktionsgraph lautet f(x)=−(3/4)·x+3. Sind dagegen a=b=0, ist die Lösungsmenge bei c=0 der gesamte zweidimensionale Raum und bei c≠0 leer.

Für n Unbekannte x₁,…,xₙ lautet die Form a₁x₁+a₂x₂+…+aₙxₙ=b. Im allgemeinen Fall bilden die Lösungen eine (n−1)-dimensionale Hyperebene im n-dimensionalen Raum. Ist beispielsweise aₙ≠0, können x₁ bis xₙ₋₁ als freie Parameter t₁ bis tₙ₋₁ gewählt werden; dann gilt xₙ=(b−a₁t₁−…−aₙ₋₁tₙ₋₁)/aₙ. Für 3x₁+2x₂+x₃=7 ergibt sich die Ebene x₁=t₁, x₂=t₂, x₃=7−3t₁−2t₂. Sind alle Koeffizienten null, ist die Lösungsmenge bei b=0 der gesamte n-dimensionale Raum, sonst leer. Parametrisierungen sind nicht eindeutig.

Homogenität und Superposition

Eine lineare Gleichung heißt homogen, wenn b=0 ist und sie somit T(x)=0 lautet. Andernfalls ist sie inhomogen. Jede homogene lineare Gleichung besitzt den Nullvektor x=0 als Lösung, weil T(0)=0. Eine inhomogene Gleichung wird nie durch die triviale Lösung erfüllt.

Die Lösungen einer homogenen Gleichung besitzen die Superpositionseigenschaft: Sind x̂ und x̄ Lösungen, dann ist auch jede Linearkombination c·x̂+d·x̄ mit Konstanten c und d eine Lösung. Deshalb bilden die homogenen Lösungen einen Untervektorraum. Geometrisch geht eine homogene Gerade oder Ebene durch den Nullpunkt. Die Gleichung 3x₁+4x₂=0 beschreibt beispielsweise eine Gerade durch den Nullpunkt; 3x₁+4x₂=12 beschreibt eine dazu parallele Gerade ohne den Nullpunkt.

Für eine inhomogene Gleichung kann man eine konkrete Partikulärlösung x̄ mit der allgemeinen Lösung y der zugehörigen homogenen Gleichung kombinieren: x=y+x̄. Denn T(y+x̄)=T(y)+T(x̄)=0+b=b. Umgekehrt lösen die Differenzen zweier Lösungen derselben inhomogenen Gleichung die zugehörige homogene Gleichung. Für x₁−2x₂=10 ist (4,−3) eine Partikulärlösung. Mit den homogenen Lösungen y₁=2y₂ erhält man allgemein x=(2t+4,t−3) für t∈R. Die inhomogenen Lösungen bilden einen affinen Unterraum.

Kern, Rang und Lösbarkeit

Der Lösungsraum einer homogenen linearen Gleichung ist der Kern ker(T) der linearen Abbildung T. Seine Dimension wird auch Defekt genannt. Für endlichdimensionale Räume gilt der Rangsatz: dim(ker(T))=dim(V)−rang(T). Der Rang ist die Dimension des Bildes T(V), also der Menge aller Werte, die T(x) annehmen kann.

Existiert eine Partikulärlösung der inhomogenen Gleichung, besitzt ihr Lösungsraum dieselbe Dimension wie der Lösungsraum der zugehörigen homogenen Gleichung. Lösbar ist T(x)=b genau dann, wenn b im Bild T(V) liegt. Der Kokern coker(T)=W/T(V) beschreibt die Bedingungen, die b erfüllen muss. Seine Dimension ist dim(coker(T))=dim(W)−rang(T).

Beispiel: Für V=R³, W=R und T(x)=a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃, wobei mindestens ein Koeffizient ungleich null ist, ist das Bild ganz R. Daher hat der Kern die Dimension 3−1=2; die homogenen und inhomogenen Lösungen sind Ebenen, und der Kokern hat Dimension 0. Für T(x)=0x₁+0x₂+0x₃ ist der Kern ganz R³ mit Dimension 3. Die inhomogene Gleichung ist dann nur für b=0 lösbar; der Kokern hat Dimension 1.

Wichtige Formen und Anwendungen

Lineare Vektorgleichungen entstehen durch mehrere skalare lineare Gleichungen. Mit einer reellen m×n-Matrix A lautet sie A·x=b, wobei x∈Rⁿ und b∈Rᵐ sind. Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix (A b) ist. Die Lösungsmenge ist die Schnittmenge der Lösungen der einzelnen Gleichungen. Zur Lösung kann das gaußsche Eliminationsverfahren verwendet werden.

Bei linearen diophantischen Gleichungen werden ganzzahlige Lösungen gesucht. Sie haben die Form a₁x₁+…+aₙxₙ=b mit x∈Zⁿ. Eine Lösung existiert genau dann, wenn der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten ein Teiler von b ist: ggT(a₁,…,aₙ)|b. Eine Partikulärlösung kann mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus gefunden werden; zusammen mit den Lösungen der homogenen Gleichung erhält man alle Lösungen.

Lineare Differenzengleichungen behandeln Folgen als Unbekannte. Eine Gleichung k-ter Ordnung lautet a₀(n)xₙ+a₁(n)xₙ₋₁+…+aₖ(n)xₙ₋ₖ=b(n) für n∈N, n≥k. Die Koeffizienten dürfen von n, nicht aber von den Folgengliedern abhängen. Vorgegebene Startwerte x₀,…,xₖ₋₁ bestimmen die Lösung eindeutig. Homogene Lösungen können mithilfe der charakteristischen Gleichung und inhomogene Lösungen durch eine Partikulärlösung gefunden werden.

Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen n-ter Ordnung haben die Form aₙ(x)f⁽ⁿ⁾(x)+…+a₁(x)f′(x)+a₀(x)f(x)=g(x). Die Koeffizienten und g dürfen von x, nicht aber von f und seinen Ableitungen abhängen. Für Differentialgleichungen erster Ordnung behandelt der Satz von Picard-Lindelöf Existenz und Eindeutigkeit. Homogene Lösungen werden über ein Fundamentalsystem beschrieben, eine Partikulärlösung kann etwa durch Variation der Konstanten bestimmt werden.

Bei linearen partiellen Differentialgleichungen hängen f und g von mehreren Veränderlichen ab. Die Gleichung enthält partielle Ableitungen von f bis zur Ordnung n; ihre Koeffizienten dürfen von den Koordinaten, nicht aber von f oder seinen partiellen Ableitungen abhängen. Für eine eindeutige Lösung sind Anfangs- und/oder Randbedingungen nötig. Mögliche Ansätze sind Fundamentallösungen, die Methode der Charakteristiken und der Separationsansatz.

Lineare Integralgleichungen verwenden Funktionen als Unbekannte und einen Integralkern K(x,y). Die Form λf(x)+∫ₐˣK(x,y)f(y)dy=g(x) ist im allgemeinen Fall eine Volterra-Integralgleichung 2. Art. Bei zwei festen Integrationsgrenzen handelt es sich um eine Fredholm-Integralgleichung; für λ=0 spricht man von einer Integralgleichung 1. Art. Weitere lineare Operatorgleichungen sind lineare differential-algebraische Gleichungen, lineare Integro-Differentialgleichungen und lineare stochastische Differentialgleichungen.