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Schnittgerade zweier Ebenen – Parameterform
Das Wichtigste aus dem Video
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Transkriptautomatisch erstellt · 90 Zeilen
- Hallo ihr Lieben, heute möchte ich euch an diesem Beispiel zeigen, wie man die Schnittgerade von zwei Ebenen bestimmen kann, die beide in Parameterform gegeben
- sind. Die Schnittgerade entsteht ja, wenn man zwei Ebenen miteinander schneidet. Da haben wir hier diese Schnittgerade. Also wir haben nicht nur
- einen Schnittpunkt, sondern eine komplette Schnittgerade von diesen beiden Ebenen. Und wie man diese Gerade findet, das möchte ich euch hier an
- diesem Beispiel zeigen. Solange ihr eure beiden Ebenen in Parameterform vorliegen habt, könnt ihr immer folgendermaßen vorgehen. Und zwar müssen wir diese
- beiden Ebenen gleichsetzen Koordinatenweise. Wir starten mit der ersten Koordinate. Also hier die erste Koordinate, hier die erste Koordinate,
- hier die erste Koordinate und hier genau dasselbe, wenn ich das mal markiere, überall die erste Koordinate nehmen, dann haben wir hier 1
- + s* 1, also + s + t* 0 wird dann zu 0, müssen wir gar nicht hinschreiben. Ist gleich gleichsetzen hier genauso 0 plus müssen die 0 nicht hinschreiben. U mal
- -1 -u + V* -1 - V. Erste Koordinate erledigt. Ihr ahntes schon dasselbe jetzt mit der zweiten Koordinate hier. Und auch hier bekommen wir eine neue
- Gleichung. -1 + s* 2 sind + 2s + t* 0 fliegt wieder weg. 1
- + u mal -1 -u + v* 2 sind + 2v und wir brauchen noch eine dritte Gleichung. Deswegen all das jetzt noch mit der dritten Koordinate hier so dass
- unsere Gleichung mit 1 hier startet. + s* 0 fliegt raus. + t* 2 sind also + 2t = -1 + u* 2 sind + 2u + v* 4 sind + 4v
- und damit haben wir hier ein großes Gleichungssystem. Wir haben drei Gleichungen, aber vier unbekannte. Wir hatten ja S, T, U, also wir haben eine
- unbekannte mehr als Gleichung und das ist auch okay so. Das muss so sein und das sehen wir dann auch im Laufe der Umformung. Aber grundsätzlich muss man
- dieses Gleichungssystem jetzt lösen. Und dadurch, dass hier so viel abgeht, würde ich euch wirklich ans Herz legen, hier sauber und strukturiert zu arbeiten,
- dass es nicht im absoluten Chaos endet. Ähm, ich würde mal alle Unbekannten nach links bringen und alle Zahlen nach rechts. Also in der ersten Gleichung
- will ich die Zahl nach rechts bringen, indem ich -1 rechne. Aber diese Unbekannten von der rechten Seite will ich auch nach links bringen. Also links
- habe ich dann mein S schon mal stehen. Hinzu kommt das U mit + U und das V auch mit + V. Und rechts bringe ich die Zahl dahin mit -1. Dann zweite Gleichung
- genau dasselbe. Ich will die Zahlen rechts haben. Also mache ich + 1, damit ich das gleich mit der Zahl verrechnen kann. Ansonsten will ich alle
- Unbekannten nach links bringen. Da stand schon meine 2s hinzukommt + U und - 2V, dann sind alle unbekannten drüben und rechts hatten wir die 1 + 1 noch dazu,
- sind dann 2. Und die letzte Gleichung, auch da will ich alle Zahlen rechts haben, also mache ich -1, aber auch alle unbekannten von hier
- rüber. Dann hatten wir dieses Mal also 2t hier, dann kommen -2u dazu, -4 V und rechts haben wir jetzt -1, -1 sind
- dann -2. So sieht also unser Gleichungssystem jetzt aus. Und ich würde euch empfehlen, das Ganze spaltenweise schön sauber
- aufzuschreiben, dass ihr hier vorne mit eurer Spalte unterwegs seid, dann mit eurer T Spalte, die wir sehen, dass T nur hier unten vorkommt, dann die
- U-Spalte, dann die V-Spalte und rechts nur noch eure Zahlen. Denn wir würden dieses Gleichungssystem jetzt gerne in die Dreiecksform bringen, dass wir hier
- vorne nichts mehr stehen haben, hier nichts mehr stehen haben und auch hier nichts mehr stehen haben. Wir könnten erstmal das 2s hier loswerden, indem wir
- die ersten beiden Gleichungen miteinander verrechnen. Wie werden wir 2s los? Na ja, wir müssten auch hier 2s hinbekommen. Also,
- wir müssten die komplette Gleichung einmal mit 2 multiplizieren und dann müssen wir 2s - 2s rechnen, damit es hier wegfliegt.
- Das ist der Plan. An der ersten Gleichung ändern wir gar nichts. Das schreiben wir einfach genauso schön ab. Aber die zweite wird jetzt vererechnet.
- 2* S sind 2s - 2s fliegt raus, wie gewünscht. 2* U sind 2U - 1U ist nur noch 1U. 2* V sind 2V -2V,
- also wir hatten 2V + 2V sind 4 V. Und auf der rechten Seite mit den Zahlen 2 x -1 sind -2, -2 sind insgesamt -4.
- Okay, was mache ich mit der letzten Gleichung? Na ja, wenn ich mir die mal anschaue, da ist ja gar kein S drin. Also, die ist eigentlich schon ganz gut
- vorbereitet. Die würde ich erstmal genauso abschreiben, weil im ersten Schritt wollte ich ja erstmal die ganzen S-inträge hier loswerden. Das
- habe ich hier mit der zweiten Gleichung geschafft und bei der dritten Gleichung war es ja schon geschenkt, weil da gar kein S drin vorkam.
- Dann haben wir gesagt, wir wollen diese Dreiecksform hinbekommen, also dass wir hier keinen S-rag, hier keinen S-rag und hier keinen T- Eintrag haben.
- Aber seht ihr das, dass wir das eigentlich auch schon abgehakt haben, wenn wir diese beiden Zeilen vertauschen, weil hier ist ja gar kein
- Tintrag drin. Also nutzen wir das doch, dass hier nur U und V drin ist. packen diese Zeilen nach unten, ziehen das nach oben, also einfach die beiden
- vertauschen und schwup die wup haben wir hier unsere Dreiecksform, wo die S-inträge nicht drin sind und hier der T-Etrag nicht drin ist. Und damit können
- wir nämlich jetzt schön weiterrechnen. Und zwar ist jetzt alles gut vorbereitet. Wir werden jetzt die letzte Zeile nehmen, also die dritte und die
- nach Ustellen. Ihr könnt ja auch nach V umstellen, wenn ihr wollt, aber normalerweise stellt man sie nach der vorletzten unbekannten um.
- Also rechnen wir -4 V, damit das U alleine steht und dann haben wir -4 - 4 V. Wir haben jetzt also unser U
- gefunden in Abhängigkeit von V. Wir haben ja am Anfang gesehen, dass wir drei Gleichungen nur hatten für vier Unbekannte. Von daher ist es ganz normal
- und auch gut, dass es passiert, dass hier am Schluss alles jetzt in Abhängigkeit von einer Unbekannten vorkommen wird. Das ist kein Fehler, das
- ist gut so. Okay, das ist also unser U. Dann nutzen wir diese Information von unserem U und setzen das in die nächste Gleichung für U.
- Also in der zweiten Gleichung haben wir dann 2t - 2 und an Stelle von U kommt jetzt alles
- rein schön in der Klammer, was wir da rausgefunden haben, was U sein soll, nämlich dieser ganze Teil und alles andere -4V wird einfach so abgeschrieben
- und die Gleichung so wie sie ist. Und diese Gleichung stellen wir jetzt nach der nächsten Unbekannten um, nämlich nach t, indem wir erstmal hier
- die Klammer auflösen. Also, die 2t bleiben, dann haben wir -2* -4 sind +8. -2* -4v sind +8v.
- Das -4V noch hinten dran und rechts haben wir -2. Wir können ein bisschen vereinfachen. 8V - 4V sind insgesamt 4 V. Dann wollen wir nach t umstellen.
- Also müssen die beiden Sachen rüber, indem wir -8 und -4v rechnen. Dann stehen die 2t nämlich alleine da. Rechts haben wir -2, -8 sind -10,
- -4 noch dazu. Um nach t umzustellen, müssen wir dann noch ein letztes Mal durch 2 teilen. Dann haben wir auch unser t und zwar -10 dur 2 sind -5 und
- -4v 2 sind -2v. Das ist unser t auch in Abhängigkeit von v, aber das ist kein Problem. Wir werden
- alles in Abhängigkeit von V bekommen. U haben wir, T haben wir, die habe ich jetzt noch mal hier hingeschrieben. Was fehlt noch? Unser S. Also alles in die
- erste Gleichung rein, um unser Sinden. Plus U ist das da, also plus das da. Das heißt, das Plus brauchen wir da nicht.
- Dann können wir direkt mit -4 -4vitermachen. + V = -1. Also in der ersten Gleichung kommt gar
- kein t vor, also müssen wir da auch gar kein t einsetzen. Wir stellen nach S um. Erstmal die Vs hier zusammenrechnen. -4V + 1v sind -3
- V. Dann bringen wir alles rüber, indem wir + 4 rechnen und + 3 v, damit es s alleine steht. Und rechts haben wir -1 +
- 4 sind 3 + 3 v. Das ist also unser S. Wir haben s, T und U. Und mit denen gehen wir jetzt zurück an den Anfang, wo wir unsere Ebenengleichungen hatten, wo
- wir S, Tin haben und hier U und V. Und jetzt könnt ihr euch entscheiden, was euch besser gefällt. Entweder ihr nimmt S und T und setzt die hier ein.
- Also S da rein, T da rein, wo es hingehört. Oder falls euch diese Gleichung besser gefällt, könnt ihr auch das U nehmen und hier einsetzen. Für das
- V wird nix eingesetzt. Deswegen ist es eigentlich ganz praktisch, wenn man das hier nimmt. Ich meine, hier sind schon ziemlich viele Nullen hier vorne auch,
- aber wir setzen es einfach mal hier hinten ein. Es kommt dasselbe Ergebnis raus. Könnt ihr ja gerne testen. S und T vielleicht hier einsetzen, während ich U
- hier einsetz. Okay, das heißt für unsere Schnittgerade, die wir suchen, nennen wir die gerade Magie,
- werden wir die Gleichung erhalten X = und das Ding schreiben wir so ab, nur für u wird natürlich eingesetzt, also 0 1 - 1 +
- U mal diesen Vektor, also für u jetzt das ganze Ding da rein, auch wenn es nicht so sonderlich schön aussieht, aber schön in Klammern erstmal packen. Müssen
- wir gleich alles schön verrechnen. Das ist unser U mal diesen Vektor alles schön reinpacken. Plus für V wird nichts eingesetzt, weil
- wir ja überall in Abhängigkeit von V hatten. Also für V haben wir kein andere Darstellung. Unser V ist eben V. Von daher wird da nichts anderes eingesetzt.
- und diesen Vektor hier. Und das V bleibt auch bis zum Schluss hier drin, weil das soll ja eine Geradengleichung werden. Und die müssen wir jetzt aber noch ein
- bisschen schöner machen. Also schnappen wir uns diese Geradengleichung und schauen mal, wie wir die auf den auf diese normale Form bringen können von
- einem Punkt und einem Richtungsvektor. Äh ja, wir müssen erstmal ein bisschen hier multiplizieren. Also vorne den Vektor können wir mal stehen lassen.
- Müssen mal gucken, was mit dem passiert. Aber der ist erstmal okay. Hier muss jetzt multipliziert werden und zwar hier vorne der Teil mit diesem Vektor. Das
- heißt, das Plus übernehme ich hier mal. Da kommt jetzt ein großer Vektor hin, denn ich multipliziere den Teil erstmal mit der ersten Koordinate, um meine
- erste Koordinate hier im Ergebnis zu bekommen. Das heißt, ich habe -4* -1, was +4 sind und -4V* -1 sind +4v.
- Dann dasselbe mit der zweiten Koordinate. Wir multiplizieren -4* -1. Okay, kommt jetzt das selber Ergebnis wieder oben. Das heißt, wir haben 4 + 4
- V genauso. Und dann dasselbe noch mit der dritten Koordinate. -4* 2 sind -8 und -4V* 2 sind -8V. Hinten dran kommt noch der Teil mit V
- mal diesen Vektor. Das schreiben wir erstmal so ab. Okay, jetzt haben wir hier also verschiedene Vektoren. In manchen haben
- wir nur Zahlen, in anderen kommt es V. Ich würde mal vorschlagen, dass wir hier einen großen Vektor draus machen und mal alles koordinatenweise zusammenfassen.
- Das heißt, wir starten mit der ersten Koordinate und haben 0+, okay, das können wir auch weglassen, 4
- + 4v + v -1 sind - dann alles mit der zweiten Koordinate. 1 +
- 4 + 4 V + V* 2 sind + 2V und dann noch alles mit der dritten Koordinate. -1 + -8 sind -8 + -8V sind -8V
- und + 4 sind + 4v. Und jetzt vereinfachen wir mal jede Koordinate für sich. Also, wir haben ja hier was mit V, hier was mit V. Wir
- haben 4v - 1 V sind 3 V, wenn wir das mal zusammenfassen. Dann 1 + 4 sind schon mal 5. Und hier haben wir 4V + 2V sind 6 V
- zusammengefasst. -1 -8 sind -9. Und -8V + 4V sind -4 V. Das heißt, so sieht jetzt unser
- Vektor aus. Wollten wir ein Vektor haben? Nee, wir wollten eine Geradengleichung haben, wo wir gesagt haben, wir brauchen ja etwas mit einem
- Punkt, wo nur Zahlen drin stehen plus. Und dann kommt ja der Richtungsvektor, der dann mit einem Buchstaben noch multipliziert wird. Und dieser Buchstabe
- sieht so aus, als würde der hier V lauten. Das heißt, diesen Vektor teilen wir jetzt einfach auf in den Teil mit den Zahlen und in den Teil mit den VS.
- Die 4 landet hier, also die 5 kommt hier als zweite Koordinate hin, die -9 hierhin und dann haben wir + 3V, also + 3 + 6V, also + 6 und -4v, das heißt +
- -4, damit es hier schön aufgeht. Das ist eine Geradengleichung. Jetzt würde ich dieses V noch ersetzen, weil das V hat ja zur Ebene gehört. Also
- ganz am Schluss, wenn ich die gerade G dann aufschreib, würde ich hier vielleicht noch ein Lambda eintragen, also irgendein Buchstaben, den wir noch
- nicht benutzt haben. Aber das hier ist unsere Gleichung von unserer Schnittgeraden von unseren beiden Ebenen. Falls ihr Fragen habt, schreibt
- sie gerne in die Kommentare. Ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video. Macht's gut.
Zum Nachlesen
SchnittgeradeEine Schnittgerade ist ein Begriff der Geometrie. Zwei Ebenen im dreidimensionalen euklidischen Raum, die nicht parallel zueinander sind, schneiden sich …
LagebeziehungLagebeziehung · Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt; · die Gerade meidet die Ebene; · die Gerade ist in der Ebene enthalten.
ParameterformEine Ebene wird durch einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren dargestellt. Jeder Punkt der Ebene wird dann in Abhängigkeit von zwei Parametern beschrieben.
Allgemeine KoordinatenformBei der allgemeinen Form wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum in Form einer linearen Gleichung beschrieben. Die …