Lagebeziehung

Grundidee und Vorgehen

Lagebeziehungen beschreiben, wie geometrische Objekte zueinander liegen. Betrachtet werden vor allem Punkte, Geraden und Ebenen. Typische Fragen sind, ob eine Gerade eine Ebene schneidet, parallel zu ihr ist oder vollständig in ihr liegt. Je nach Darstellung der Objekte führt die Untersuchung meist zum Lösen eines linearen Gleichungssystems. Solche Gleichungssysteme entstehen häufig, indem man Vektor- oder Parametergleichungen gleichsetzt.

Im dreidimensionalen Raum wird ein Punkt durch (x₀, y₀, z₀), eine Gerade durch x⃗ = p⃗ + t r⃗ und eine Ebene entweder durch ax + by + cz = d oder durch x⃗ = p⃗ + u e⃗ + v f⃗ beschrieben. Für eine parametrisch gegebene Ebene kann man zunächst mithilfe des Vektorprodukts eine Koordinatengleichung bestimmen: (e⃗ × f⃗) · (x⃗ − p⃗) = 0.

Lagebeziehungen in der Ebene

In der reellen Ebene wird ein Punkt durch (x₀, y₀) beschrieben. Eine Gerade kann als Koordinatengleichung y = mx + b oder als Parametergleichung x⃗ = p⃗ + t r⃗ gegeben sein.

Ein Punkt (x₀, y₀) liegt auf y = mx + b genau dann, wenn y₀ = mx₀ + b gilt. Bei der Parametergleichung (x, y)ᵀ = (p₁, p₂)ᵀ + t(r₁, r₂)ᵀ muss das überbestimmte lineare Gleichungssystem x₀ = p₁ + tr₁, y₀ = p₂ + tr₂ für t eine Lösung besitzen. Gibt es keine Lösung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.

Für zwei Geraden in Koordinatenform y = m₁x + d₁ und y = m₂x + d₂ gilt:

• Bei m₁ ≠ m₂ schneiden sie sich in genau einem Punkt.
• Bei m₁ = m₂ und d₁ = d₂ sind sie identisch.
• Bei m₁ = m₂ und d₁ ≠ d₂ sind sie verschieden und parallel.

Eine Gerade in Koordinatenform y = mx + d und eine Parameterg Gerade (x, y)ᵀ = (p₁, p₂)ᵀ + t(r₁, r₂)ᵀ haben einen Schnittpunkt, wenn p₂ + tr₂ = m(p₁ + tr₁) + d genau eine Lösung t₀ besitzt. Der Schnittpunkt ist dann (p₁ + t₀r₁, p₂ + t₀r₂). Keine Lösung bedeutet: verschieden und parallel. Ist die Gleichung für alle t ∈ ℝ erfüllt, sind die Geraden identisch.

Bei zwei Parametergleichungen (x, y)ᵀ = (p₁, p₂)ᵀ + t(a₁, a₂)ᵀ, (x, y)ᵀ = (q₁, q₂)ᵀ + s(b₁, b₂)ᵀ setzt man die Koordinaten gleich. Genau eine Lösung (s₀, t₀) liefert den Schnittpunkt (p₁ + t₀a₁, p₂ + t₀a₂). Keine Lösung bedeutet verschiedene parallele Geraden; unendlich viele Lösungen bedeuten identische Geraden. In der Ebene gibt es somit keine windschiefen Geraden.

Geraden und Ebenen im Raum

Für einen Punkt und eine Gerade im Raum prüft man die Zugehörigkeit mit der Parametergleichung wie im ebenen Fall. Für eine Ebene in Koordinatenform setzt man die Punktkoordinaten in ax + by + cz = d ein. Ist die Ebene parametrisch gegeben, wird zunächst eine Koordinatengleichung aufgestellt.

Für die Gerade x⃗ = p⃗ + t r⃗ und die Ebene ax + by + cz = d setzt man die Geradenkoordinaten in die Ebenengleichung ein: a(p₁ + tr₁) + b(p₂ + tr₂) + c(p₃ + tr₃) = d.

• Genau eine Lösung t₀ bedeutet, dass die Gerade die Ebene in einem Punkt p⃗ + t₀r⃗ schneidet.
• Keine Lösung bedeutet, dass die Gerade zur Ebene parallel und verschieden ist.
• Unendlich viele Lösungen bedeuten, dass die Gerade in der Ebene enthalten ist.

Parallelität erkennt man daran, dass der Richtungsvektor r⃗ der Geraden senkrecht zum Normalenvektor (a, b, c)ᵀ der Ebene steht. Das Skalarprodukt ist dann null.

Zwei Geraden und zwei Ebenen im Raum

Für zwei Geraden x⃗ = p⃗ + s a⃗ und x⃗ = q⃗ + t b⃗ setzt man die Vektoren gleich: p⃗ + s a⃗ = q⃗ + t b⃗.

Das zugehörige überbestimmte lineare Gleichungssystem wird nach s und t gelöst. Genau eine Lösung (s₀, t₀) liefert den Schnittpunkt p⃗ + s₀a⃗. Unendlich viele Lösungen bedeuten identische Geraden. Keine Lösung kann zwei verschiedene Fälle bedeuten: Sind a⃗ und b⃗ linear abhängig, sind die Geraden parallel; andernfalls sind sie windschief, also weder parallel noch schneidend. Windschiefe erkennt man auch an det(p⃗ − q⃗, a⃗, b⃗) ≠ 0.

Zwei Ebenen in Koordinatenform, a₁x + b₁y + c₁z = d₁ und a₂x + b₂y + c₂z = d₂, haben genau eine gemeinsame Gerade, wenn ihre Normalenvektoren (a₁, b₁, c₁) und (a₂, b₂, c₂) keine Vielfachen und damit linear unabhängig sind. Die Schnittgerade erhält man als Lösung des linearen Gleichungssystems. Sind die Normalenvektoren linear abhängig, sind die Ebenen parallel. Sind zusätzlich die beiden Gleichungen Vielfache voneinander, sind die Ebenen identisch; andernfalls sind sie verschieden.

Ist eine Ebene in Koordinatenform und die andere parametrisch gegeben, setzt man x⃗ = p⃗ + u e⃗ + v f⃗ in die Koordinatengleichung ein. Die entstehende Gleichung a(p₁ + ue₁ + vf₁) + b(p₂ + ue₂ + vf₂) + c(p₃ + ue₃ + vf₃) = d wird nach u oder v aufgelöst. Ist etwa u = u(v), kann v frei gewählt werden; daraus ergibt sich eine Parametergleichung der Schnittgeraden. Enthält die Gleichung weder u noch v, sind die Ebenen parallel. Enthält sie zugleich einen Widerspruch, sind sie verschieden. Sind beide Ebenen parametrisch gegeben, wandelt man zunächst eine in Koordinatenform um.

Die Verfahren gelten auch für Räume über anderen Zahlkörpern, etwa den rationalen oder komplexen Zahlen. Werden zusätzlich Kreis und Kugel betrachtet, treten quadratische Gleichungen auf. Lagebeziehungen lassen sich außerdem auf höherdimensionale Räume und allgemeine Unterräume übertragen.