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Lagebeziehung Ebene - Ebene | Übersicht alle Fälle: Schnittgerade, Schnittwinkel, Abstand
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 125 Zeilen
- ich bin mit peter und in diesem video schauen wir uns eine übersicht an zur vollständigen lage beziehung zwei ebenen im dreidimensionalen politischen raum
- grundsätzlich gibt es auch hier wieder nur die klassischen möglichkeiten dass die ebenen entweder parallel sind also identisch oder echt parallel dann
- könnten wir den abstand berechnen oder sie schneiden sich wenn sich aber zwei ebenen im dreidimensionalen raum schneiden dann nicht nur in einem
- einzelnen punkt wie es noch bei geraden der fall war sondern in unendlich vielen punkten und all diese unendlich vielen punkte die sind interessanterweise
- sortiert auf einer geraden das heißt wenn sich zwei ebenen im dreidimensionalen raum schneiden dann sprechen wir von der schnitt geraden
- aber wir können nicht nur die schnitt gerade berechnen sondern auch den winkel in dem sie sich schneiden wir schauen uns einfach mal im folgenden eine
- vollständige übersicht an über all diese fälle und die formeln die du brauchst und das zu berechnen bzw die herangehensweisen damit wir auch in
- zukunft eine vollständige lage beziehung von zwei ebenen durchführen kannst ausgangslage ist dass wir zwei ebenen haben die beide entweder in parameter
- form oder in koordinaten form vorliegen das heißt wir haben drei verschiedene ausgangs möglichkeiten entweder sind beide in parameter form bei den
- koordinaten formen oder wir haben ein gemischtes problem eins in parameter formen und das andere in koordinaten vor deswegen werden uns auch noch in den
- nächsten videos genügend beispiele anschauen damit wirklich mal jedes ausgangsszenario gesehen hast meine empfehlung ist allerdings dass du erst
- einmal deine ebenen in die koordinaten form überführt wenn du gerade nicht mehr weißt wie du von der parameter form zur koordinaten form kommst schau dir gern
- noch mal das video dazu an im wesentlichen basiert es aber einfach nur darauf dass du die normalen vektoren bestimmt also die die senkrecht auf der
- ebene draufsteht und wir haben glücklicherweise die komponenten von abc also hier diese vier faktoren von xy und z
- und wenn du jetzt rausfinden möchtest ob deine ebenen parallel sind oder sich schneiden dann mussten wir einfach nur diese
- normalen vektoren genauer anschauen denn es geht wenn die beiden ebenen parallel sind das dann auch die normalen vektoren
- parallel sein müssen also wenn die normalen vektoren parallel sind wenn die vielfache voneinander sind dann sind auch die ebenen parallel oder noch
- einfacher formuliert wir prüfen einfach nur ob es eine zahl gibt nennen wir sie zum beispiel kann die an den einen normalen weg dann multipliziert gleich
- den anderen normalen vector ergibt wenn so eine zahl existiert dann wissen wir ja die beiden ebenen sind parallel und wenn diese zeit kann
- nicht existiert also wenn es für jede komponente eine andere zahl wäre zum beispiel dann würden die sich schneiden und damit haben wir schon mal den
- grundstein gelegt um weitere untersuchungen vorzuführen denn wenn die beiden ebenen jetzt zum beispiel parallel sind also so eine zahl
- existiert die an den einen normalen vector multipliziert den anderen normalen vector ergibt dann kannst du diese zahl auch gleich noch verwenden um
- zu prüfen ob die beiden ebenen identisch sind oder echt parallel und nicht nur das sollten sie nämlich echt parallel seien dann kannst du diese zahl auch
- gleich noch verwenden um den abstand zu berechnen das heißt also auf diese weise kannst du wirklich mit minimalem aufwand maximal viele informationen über die
- beziehung der lage heraus finden und diesen letzten kleinen schritt denn fixe ziemlich einfach hin indem du einfach nur prüft ob dasselbe verhältnis was
- hier zwischen den abc werten des einen anderen weg besteht auch für die die werte also hier für die rechte seite gilt also wenn dasselbe verhältnis auch
- wie die idee werte gilt also wenn die einst gleich dem kasachen mit k fachmann nicht demselben vielfachen heer von d2 entspricht dann heißt es ja diese beiden
- ebenen sind identisch und das ist auch logisch denn wir dürfen ja bei so einer gleichung auf beiden seiten mit denselben faktor multiplizieren und die
- gleichheit bleibt erhalten wenn ich jetzt also auf beiden seiten mit k multipliziere also genau diesen faktor hier dann heißt es dass die punkt menge
- von aets weiß ich nicht geändert hat wenn dann aber beim x kam plötzlich die gleichung von e1 rauskommt dann heißt es wohl das e1 und e2
- dieselbe punkt menge haben müssen sie haben dieselbe gleichung um ihre punkt mengen zu beschreiben mit anderen worten diese beiden ebenen müssen identisch
- sein und sollte das nicht funktionieren sollte da was anderes bei rauskommen wenn ich diesen kawert hier an die zwei multipliziert und er kommt nicht die
- eins raus na dann kannst du immerhin das was hier steht auch gleich zur abstandsberechnungen benutzen der abstand von y 1.2
- ist gleich die differenz von diesen beiden seiten also die 1 - kam hd2 wichtig noch mit betrag denn die differenz kann noch negativ sein einen
- abstand ist mir etwas positives und diese differenz geteilt durch die länge des normalen weg durch das lässt sich auch ausdrücken mit hilfe des normalen
- vector cent 2 wir schauen uns das ganze aber einfach mal in einem eigenen video an wo wir uns auch diese formen hier genau herleiten im endeffekt basiert das
- aber einfach nur auf dem abstand eines punktes zu einer ebene also auf der hessischen normalform so wird es uns auch in dem video dazu herr gerettet
- haben denn überleg mal wenn die beiden wirklich parallel sind dann hat ja jeder punkt der 1 ebene denselben kürzesten abstand zu anderen ebene wie jeder
- andere punkt auch also in jedem punkt ist der kürzeste abstand zu anderen ebene identisch und das könntest du alternativ zu dieser methode hier auch
- verwenden um auf diesen abstand zu kommen und im endeffekt ist das nur eine kurze zusammenfassung wenn du mit diesen koordinaten form arbeiten möchte aber
- sagen wir zum beispiel du hast eine ebene in parameter formen gegeben oder kennst zumindest einen punkt von diesen ebenen dann könntest du alternativ auch
- so arbeiten dass du hier an der stelle eine punkt probe durch fürst also dass beispielsweise diesen den punkt auf den der orts vector b hier zeigt
- einfach mal in die koordinaten von y 1 1 setzt zum beispiel oder andersrum dass du diesen punkt a in die koordinaten form psion zwei einsetzt und damit meine
- ich die iks komponente von mb für das ixs die y komponente von b für das y und z komponente von mb für das z und sollte er wirklich eine gleichheit bei
- rauskommen sollten beide seiten überein stimmt kommt er wirklich eins raus dann heißt es wohl dass die ebenen identisch waren wenn es nicht der fall ist waren
- sie wohl nur echt parallel aber einen ab liefert dir das immer noch nicht dass du müsstest an dieser stelle hätten die entscheidung wirklich nein lautet die
- antwort auf die frage nein lautet dann müsstest du hier an der stelle noch eine abstandsflächen durchführen aber das geht auch ziemlich einfach du könntest
- zum beispiel die hessische normalform von y 1 benutzen die abstands rechnung es ist normal fort so aus 1 x iks + b 1 x y + c 1 x csd geteilt durch die länge
- des normalen weg thorsten also wir sind auch ein video dazu angeschaut haben und wenn du jetzt hier einen punkt von der ebene 1 1 setzt zwischen den punkt
- hierfür xyz dann kommt hier oben im zähler eine null bei raus solltest du einen punkt für xyz einsetzen denn nicht zur ebene gehört
- wie zum beispiel den punkt in diesem fall sagen wie zb der punkt b hat die koordinaten
- xy 0 z 0 dann setzt du einfach für xx 0 1 für das y das y 0 für das z das z 0 bekommst eventuell ein negatives ergebnis raus deswegen setzen den betrag
- und das was herauskommt ist der abstand von in dem fall von ebene 1 zum punkt b und das liefert dasselbe ergebnis wie hier oben ich persönlich muss aber
- ehrlich sagen ich finde diesen weg den ich in rot angemalt habe wesentlich angenehmer und wie gesagt braucht dafür nur die koordinaten formen die ich dir
- sowieso empfehle als allererstes zu bestimmen angenommen die beiden ebenen sind nicht parallel das heißt es gibt nicht diese eine zahl wieder in einen
- normalen vector dran multiplizieren können um auf den anderen normalen weg tor zu kommen in diesem fall bedeutet das im dreidimensionalen dass die ebenen
- sich in unendlich vielen punkten schneiden müssen der so genannten schnitt gerade um jetzt diese schnitt gerade zu bestimmen
- gibt es im allgemeinen mehrere möglichkeiten das liegt einfach daran dass unsere ebenen ja in verschiedenen formen dargestellt werden können eine
- möglichkeit ist dass wir mit den beiden parameter vorn arbeiten eine zweite möglichkeit dass wir mit einer parameter form und einer koordinaten form arbeiten
- und eine dritte möglichkeit wäre es dass wir mit den beiden koordinaten formen arbeiten lasst uns mal kurz alle drei möglichkeiten durch sprechen einfach nur
- damit wir eine grundlegende vorstellung davon haben was überhaupt alles mit fangen wir damit an uns anzuschauen was wir machen könnten wenn jetzt zwei
- parameter form habe ich habe hin zwei paare gemeint ist das und das du könntest diese beiden ebenen gleichsetzen da wir uns im
- dreidimensionalen befinden haben wir auch jeweils drei komponenten also auch drei gleichungen und dieses system aus lineare gleichungen das müssen wir
- auflösen nach unseren parametern nach diesen unbekannten land 11 land er zweimal zweiter kann sich auch anders nennen wenn du möchtest auf jeden fall
- haben wir rein mathematisch betrachtet drei gleichungen vier unbekannte und das ist in diesem szenario hier auf jeden fall möglich zu lösen über bleibt eine
- freie variable ein freier parameter denen wir dann hier für diese schnitt gerade benutzen ich weiß alles gerade sehr theoretisch aber keine sorge wir
- schauen uns das auch noch einmal explizit in einem eigenen video an und am eigenen beispiel ich muss aber dazu sagen dass dieser
- fall dass ich dir den nicht empfehlen kann denn die anderen beiden methoden die sind wesentlich einfacher und schneller
- und man macht weniger schüssel fehler und wir haben auch eine bessere struktur du kannst auch gerne machen wie gesagt es gibt auch ein eigenes video dazu
- besser würde ich aber finden wenn du mit einer parameter vor und einer koordinaten form arbeitest dann kannst
- du dem nicht wieder auf etwas zurückgreifen das du vielleicht schon kennt als wir den schnittpunkt von einer geraden in einer ebene bestimmt haben
- damit genauso gearbeitet sätze einfach die komponenten der parameter form in die koordinaten vom 1 also setzte die iks komponente für x1 die y komponente
- für y und die z komponente für z dann stelle diese gleichung nach einer der beiden parameter um und setzt das ganze wieder in diese ursprüngliche gleichung
- ein und du bist direkt beim endergebnis also im endeffekt ist das nichts anderes wie umstellen und einsetzen oder genaugenommen einsetzen um stellen
- einsetzen aber vom grundprinzip ist es das was ich dir empfehlen würde und wenn jetzt deine ebenen in parameter form gegeben sind dann bringt einfach eine
- parameter form in die koordinaten form sollte weil sie sind koordinaten formen haben um den fall der parallelität ganz einfach überprüfen zu können falle einer
- vollständigen lage beziehung aber selbst wenn du weißt dass sie sich schneiden weil das die vorgabe ist eine aufgabe bringt trotzdem
- 1 einfachen koordinaten form und setzt das ganze ein aber noch mal geschaut es ist alles noch mal im eigenen videos an die dritte methode
- wäre dann dass du mit beiden koordinaten formen arbeit ist und da funktioniert das ganze grundlegend sowie auch bei dieser ersten methode nur eben dass es
- einfacher ist auch hier haben wir wieder ein system aus gleichungen genau an zwei gleichungen mit drei unbekannten xyz weist wir müssen hier ein lgs lösen ein
- lineares gleichung system aber wir haben nicht mehr wie im ersten fall drei gleichungen und vier unbekannter sondern wir haben noch zwei gleichungen und drei
- unbekannte das ist weniger also ist auch einfach es geht schneller zu lösen und ganz ehrlich wenn ich schon die entscheidung habe dann bitte mit weniger
- arbeit zum selben ergebnis kommen als wir nicht mehr unnötig kompliziert mache also diese erste methode kann ich tatsächlich nicht empfehlen es ist nicht
- praktisch damit zu arbeiten wenn du unbedingt ein gleichnis system lösen möchtest dann doch einfach mit den beiden
- koordinaten form du kannst allerdings auch speziell hier im dreidimensionalen raum weil es so einfach geht anstatt dass ganz allgemein mit dem sogenannten
- gaus algorithmus zu machen und falls er den schwan gehört hast du kannst auch ganz einfach hier nach einer von diesen drei variablen umstellen und dann in den
- jeweiligen andere einsetzen hier ist genau funktioniert normal schauen wir uns alles in eigenen videos an macht sich darüber nicht freut es
- geht ja einfach nur darum dass du hier schon mal eine grundlegende übersicht hast was überhaupt möglich ist und was eventuell auch die zu kommen damit du
- auch wirklich selber die entscheidung hast welchen weg zu gehen möchtest zu guter letzt können uns auch noch in den fall dass die beiden ebenen sich
- schneiden den schnitt winkel bestimmen und ich nehme mir jetzt schon mal das ergebnis vorweg der winkel in dem sich die ebenen schneiden ist identisch mit
- dem winkel in dem sich die normalen lektoren schneiden wenn das jetzt nicht so intuitiv für dich klingt dann kann ich dich beruhigen da steckt wirklich
- eine kleine gemeinheit drin und die würde ich dir gerne kurz zeigen wir haben zwei ebenen die sich schneiden und gesucht ist der winkel in dem sie
- sich schneiden denn werden zb sie und meine behauptung war dass dieser winkel identisch ist mit dem winkel in dem sich die normalen vektoren schneiden nochmals
- erinnerung die normalen vektoren waren die die im rechten winkel 90 grad auf diesen innen draufstehen aber wenn du das ganze jetzt mal genauer anschauen
- dann ist doch dieser winkel ein anderer als dieser winkel hier oder dieser winkel ist in einer skizze ein spitzer winkel und dieser winkel hier
- ist im einer skizze ein stumpfer winkel ok es kann sein dass ich vielleicht nicht genau gezeichnet habe oder die perspektive aus der wir das betrachten
- nicht ganz funktioniert aber tatsächlich können wir zeigen und das machen wir auch gleich dass wenn er eine winkel spitz ist der andere stumpf ist
- demzufolge können die gar nicht gleich sein mit einer größe von 90 grad in der anderen klein hat sollen sich gerade dann sind die verschiedenen allerdings
- gilt jetzt dass der gesuchte winkel identisch ist mit diesen winkel hier und das ist vielleicht nicht ganz so intuitiv deswegen lass uns das ganze
- nochmal aufzeichnen aus einer anderen perspektive lasst uns das so aufzeichnen dass wir die ebenen von der seite sehen sie sehen
- aus wie geraten und die schnitt gerade hier die sieht aus wie ein punkt also wir gucken quasi geradezu auf die schnitt gerade drauf
- deswegen erscheint wie tot das hier ist der schnitt winkel viel den wir suchen und das hier sind die normalen vector die senkrecht auf unseren ebenen drauf
- stehen im rechten winkel dieses geometrische objekte hier ist ein viereck und dem viereck gilt im politischen raum dass die innen winkel
- summe 360 grad ist da wir aufgrund der rechten mitte hier und hier bereits schon mal 180 grad vergeben haben müssen die verbleibenden winkel in summe auch
- 180 grad sein damit auf 360 kommen also der winkel den wir suchen plus diesen winkel der winkel zwischen einzelnen 2 die
- ergeben in summe 180 grad und da nebeneinander liegende winkel auch 180 grad ergeben müssen also die beiden in summe 180 grad die beiden 180
- grad heißt es dass diese beiden winkel gleich sein müssen auch wenn das vielleicht auf den ersten blick etwas seltsam wirkt also streng genommen
- könnte man sagen dass der gesuchte winkel einfach nur 180 grad - themen schnitt winkel ist zwischen 1 und 2 aber da gab es doch diese definition von
- einem schnitt winkel dass das immer ein spitzer winkel sein soll also immer zwischen 99 grad und das haben jetzt auch in mehreren
- videos angeschaut zum beispiel in dem video zum standardprodukt wo diese form hierher kommt aber auch in dem video zuschnitt winkel von zwei geraden dann
- wird gesagt wir können das geld produkt von zwei richtungs vektoren einfach nur teilen durch die längen dieser beiden sektoren und wenn diese skala produkte
- negativ wird dann ist dieser winkel ein stumpfer winkel wir wollen aber dass der schnitt winkel immer ein spitzer winkel ist das heißt wir müssen dafür sorgen
- dass dieses galt positiv ist manchmal einfach durch den betrag das funktioniert tatsächlich ganz einfach und in diesem fall wenn wir den schnitt
- winkel als etwas als als den spitzen winkel definieren stimmt es tatsächlich dass der schnitt winkel der ebenen identisch ist mit dem schnitt winkel der
- normalen vektoren na also dass diese beiden winkel tatsächlich immer gleich sind das aber gerade mal gezeigt auf dem geometrischen weg und das bedeutet also
- auch dass du den schnitt winkel zwischen den ebenen über diese bekannte formel wieder berechnen kannst allerdings achtung nochmal wir suchen nicht den ko
- sinus des winkels ja sondern die suchenden winkel selbst also am ende wenn du das hier ausgerechnet hast skala produkt geteilt durch die längen der
- beiden rektoren musst du noch das gegenteil von cosinus anwenden also den akkus cosinus um auch den winkel viel zu kommen wenn du das ergebnis im grad mass
- möchtest dann achte darauf dass in taschenrechner 1 d steht für die gries wenn du möchtest dass das ergebnis in bogen mars steht dann
- achte darauf dass ein r steht für radios du musst einfach wissen was man nicht stellen möchtest damit hast du eine vollständige übersicht über die lage
- beziehung zwei ebenen im raum viel spaß damit und schau dir auf jeden fall die videos zu den einzelnen punkten an die wir hier noch
- aufgeschrieben haben bis dann hätte ich hoffe das video hat er gerade gefallen wenn du dich demnächst auf eine mathe prüfung vorbereiten muss dann schaue
- unbedingt mal unter diesem video nach ich habe dort mehrere von meinen online kursen verlinkt die sich bestmöglich auf den mathe prüfungen vorbereiten wenn ihr
- das video weitergeholfen hat und du mich in zukunft unterstützen möchtest dann erzählt einfach seinen kommilitonen deinen freunden und einer familie von
- mir und abonniert den kanal danke dir
Zum Nachlesen
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