Hyperbel (Mathematik)

Grundidee und Definition

Eine Hyperbel ist eine ebene Kurve mit zwei zueinander symmetrischen Ästen, die sich ins Unendliche erstrecken. Sie gehört neben Ellipse und Parabel zu den Kegelschnitten, also zu den Schnittkurven einer Ebene mit der Mantelfläche eines geraden Kreiskegels.

Als Ortskurve ist eine Hyperbel die Menge aller Punkte P, für die der Betrag der Differenz ihrer Abstände zu zwei festen Punkten, den Brennpunkten F₁ und F₂, konstant 2a > 0 ist: H = {P ∈ E² | ||PF₂| − |PF₁|| = 2a}.

Der Mittelpunkt M ist der Mittelpunkt der Strecke F₁F₂. Die Gerade durch die Brennpunkte heißt Hauptachse; auf ihr liegen die beiden Scheitel S₁ und S₂ im Abstand a vom Mittelpunkt. Der Abstand eines Brennpunkts vom Mittelpunkt heißt Brennweite oder lineare Exzentrizität e. Die numerische Exzentrizität ist ε = e/a.

Zur Definition gehört auch die Leitkreis-Eigenschaft: Der zu F₂ gehörige Kreis mit Mittelpunkt F₂ und Radius 2a erzeugt den rechten Ast als Ortskurve der Punkte, die von diesem Kreis und vom Brennpunkt F₁ gleich weit entfernt sind. Der linke Ast wird entsprechend mit dem Leitkreis zu F₁ erzeugt. Diese Eigenschaft darf nicht mit der Leitlinien-Eigenschaft verwechselt werden.

Ein Kegelschnitt ist genau dann eine Hyperbel, wenn eine Ebene einen geraden Kreiskegel so schneidet, dass ihre Neigung größer als die Neigung der Mantellinien ist und die Ebene nicht durch die Kegelspitze geht. Mit zwei Dandelinschen Kugeln lässt sich zeigen, dass die Berührpunkte der Kugeln mit der Schnittebene die Brennpunkte der Hyperbel sind.

Standardgleichung und wichtige Eigenschaften

In der 1. Hauptlage liegen die Brennpunkte symmetrisch zum Ursprung auf der x-Achse: F₁ = (e, 0) und F₂ = (−e, 0). Die Scheitel sind (a, 0) und (−a, 0). Mit b² = e² − a² lautet die Mittelpunktsgleichung: x²/a² − y²/b² = 1. Dabei heißen a und b halbe Hauptachse beziehungsweise halbe Nebenachse. Die Hyperbel ist zur Haupt- und Nebenachse symmetrisch. Die Punkte (0, b) und (0, −b) liegen nicht auf der Kurve und heißen imaginäre Nebenscheitel.

Die Asymptoten sind die Geraden y = ±(b/a)x. Für große Beträge von x nähert sich die Hyperbel diesen Geraden beliebig dicht. Der Winkel zwischen den Asymptoten, der den Hyperbelast einschließt, ist α = 2 · arctan(b/a) = 2 · arctan√(ε² − 1).

Der Halbparameter p ist die halbe Länge einer zur Hauptachse senkrechten Brennpunktsehne. Es gilt p = b²/a.

Der Krümmungskreisradius in den beiden Scheiteln beträgt ebenfalls ρ = b²/a. Allgemeiner haben Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel bei gleichem Halbparameter p denselben Krümmungskreisradius im Scheitel.

Die Tangente im Hyperbelpunkt (xᴮ, yᴮ) hat die Gleichung (xᴮx)/a² − (yᴮy)/b² = 1. Sie folgt beispielsweise durch implizites Differenzieren; die Steigung ist y′ = (x/y)(b²/a²). Geometrisch ist die Tangente die Winkelhalbierende der beiden Brennstrahlen PF₁ und PF₂. Deshalb wird ein Lichtstrahl von einem Brennpunkt an der Tangente so reflektiert, dass er scheinbar vom anderen Brennpunkt ausgeht.

Eine Hyperbel mit a = b heißt gleichseitige Hyperbel. Ihre Asymptoten stehen senkrecht aufeinander; e = √2a, ε = √2 und p = a. Eine Parameterdarstellung der Standardhyperbel mit Hyperbelfunktionen lautet (x, y) = (±a cosh t, b sinh t), t ∈ ℝ.

In der 2. Hauptlage sind x und y vertauscht: y²/a² − x²/b² = 1.

Funktionsform und affine Darstellungen

Nach einer Drehung um −45° wird die gleichseitige Hyperbel x²/a² − y²/a² = 1 zur Funktionsgleichung y = A/x mit A > 0. Ihre Koordinatenachsen sind die Asymptoten, die Hauptachse ist y = x, der Mittelpunkt ist (0, 0), und a = b = √(2A). Die Scheitel liegen bei (√A, √A) und (−√A, −√A). Außerdem gilt p = a = √(2A), e = 2√A und ε = √2. Die Tangente im Punkt (x₀, A/x₀) lautet y = −(A/x₀²)x + 2A/x₀.

Die gedrehte Variante y = −A/x hat die Hauptachse y = −x und die Scheitel (−√A, √A) sowie (√A, −√A). Durch Verschiebung entsteht die Schar y = A/(x − x₀) + y₀. Ihre Asymptoten sind x = x₀ und y = y₀; Mittelpunkt und Asymptoten werden verschoben, die Parameter a, b, p, e und ε ändern sich nicht.

Eine beliebige Hyperbel lässt sich als affines Bild der Einheitshyperbel x² − y² = 1 darstellen. Eine affine Abbildung hat die Form x⃗ → f⃗₀ + A x⃗, wobei A eine reguläre Matrix ist. Mit den Spaltenvektoren f⃗₁ und f⃗₂ von A erhält man x⃗ = f⃗₀ ± f⃗₁ cosh t + f⃗₂ sinh t. Dabei ist f⃗₀ der Mittelpunkt; f⃗₁ und f⃗₂ müssen im Allgemeinen weder senkrecht stehen noch direkt zu den Scheitelrichtungen zeigen. Die Vektoren f⃗₁ ± f⃗₂ geben die Richtungen der Asymptoten an.

Eine gleichwertige Darstellung als affines Bild von y = 1/x lautet x⃗ = f⃗₀ + f⃗₁t + f⃗₂/t, t ≠ 0. Hier sind f⃗₁ und f⃗₂ Richtungsvektoren der Asymptoten, und f⃗₀ ist der Mittelpunkt. Der Tangentenvektor ist f⃗₁ − f⃗₂/t². Der Parameter eines Scheitels erfüllt t₀ = ± ⁴√(|f⃗₂|²/|f⃗₁|²); bei |f⃗₁| = |f⃗₂| gilt t₀ = ±1.

Beispiel: f⃗₀ = (0, 0), f⃗₁ = (1, 1), f⃗₂ = (−1, 1) liefert y = 1/x, weil cosh²t − sinh²t = 1. Eine affine Abbildung des Typs (x, y) → (x + x₀, ay + y₀), a ≠ 0, erzeugt alle Hyperbeln y = a/(x − x₀) + y₀ mit achsenparallelen Asymptoten.

Konstruktionen und affine Sätze

Mit Faden und Lineal lässt sich ein Hyperbelbogen aus den Brennpunkten F₁, F₂ und dem Abstand 2a der Scheitel konstruieren. Ein Lineal wird drehbar in F₂ befestigt; auf ihm wird ein Punkt B im Abstand 2a markiert. Ein Faden der Länge |AB| wird mit einem Ende in A und dem anderen in F₁ befestigt. Wird der gespannte Faden an der Linealkante AB entlanggeführt, beschreibt der Stift einen Hyperbelbogen, weil |PF₁| = |PB| gilt.

Die Steiner-Erzeugung konstruiert einzelne Hyperbelpunkte mithilfe zweier Geradenbüschel in den Scheiteln S₁ und S₂. Für einen bekannten Hyperbelpunkt P = (x₀, y₀), A = (a, y₀) und B = (x₀, 0) wird die Rechteckseite BP in gleiche Teile geteilt und diese Teilung parallel zur Diagonalen AB auf AP übertragen. Die Schnittpunkte zugeordneter Geraden durch S₁ und S₂ liegen auf der Hyperbel. Deshalb heißt die Methode auch Parallelogramm-Methode; sie funktioniert entsprechend für Ellipsen und Parabeln.

In der Darstellung x⃗ = f⃗₀ + f⃗₁t + f⃗₂/t bildet das Parallelogramm mit Mittelpunkt M = f⃗₀, A = f⃗₀ + f⃗₁t, B = f⃗₀ + f⃗₂/t und P = f⃗₀ + f⃗₁t + f⃗₂/t eine einfache Tangentenkonstruktion: Die Diagonale AB ist parallel zur Tangente in P.

Für zwei Hyperbelpunkte mit Parametern t₁ und t₂ liegen die Punkte f⃗₁t₂ + f⃗₂/t₁ und f⃗₁t₁ + f⃗₂/t₂ auf einer Geraden durch den Mittelpunkt. Damit lassen sich bei bekannten Asymptoten und einem Punkt weitere Hyperbelpunkte konstruieren.

Die Mittelpunkte paralleler Sehnen liegen stets auf einer Geraden durch den Hyperbelmittelpunkt. Eine zugehörige Schrägspiegelung vertauscht die Sehnenendpunkte und lässt die Hyperbel invariant; dabei werden auch die Asymptoten vertauscht. Der Sehnenmittelpunkt halbiert außerdem die entsprechende Strecke zwischen den Asymptoten. Entartet eine Sehne zu einer Tangente, halbiert der Berührpunkt den Abschnitt zwischen den Asymptoten.

Sind die Vektoren f⃗₁ und f⃗₂ gleich lang, ist der Flächeninhalt des Dreiecks aus Mittelpunkt und den beiden Schnittpunkten der Tangente mit den Asymptoten unabhängig vom Berührpunkt und gleich F = ab.

Leitlinien, Polaren und spezielle Berechnungen

Die beiden Leitlinien oder Direktrizen sind Parallelen zur Nebenachse im Abstand d = a²/e. Für jeden Hyperbelpunkt P ist das Verhältnis des Abstands zu einem Brennpunkt und zur zugehörigen Leitlinie gleich der numerischen Exzentrizität: |PF₁|/|Pl₁| = |PF₂|/|Pl₂| = ε = e/a. Umgekehrt definiert das Verhältnis ε die Kegelschnitte: ε > 1 ergibt eine Hyperbel, ε = 1 eine Parabel und ε < 1 eine Ellipse. Die Scheitelgleichung lautet y² = 2px + (ε² − 1)x², mit p = b²/a und e² = a² + b².

Für die Mittelpunktsgleichung ordnet die Pol-Polare-Beziehung jedem Punkt P₀ = (x₀, y₀) ≠ (0, 0) die Gerade x₀x/a² − y₀y/b² = 1 zu. Der Punkt heißt Pol, die Gerade Polare. Liegt der Pol auf der Hyperbel, ist die Polare die Tangente. Liegt er außerhalb, schneiden sich Polare und Hyperbel in den Berührpunkten der beiden Tangenten durch den Pol. Liegt er innerhalb, gibt es keine Schnittpunkte. Geraden durch den Mittelpunkt haben keinen endlichen Pol; der Mittelpunkt hat keine endliche Polare.

Für eine Hyperbel mit a > b liegen die Schnittpunkte orthogonaler Tangenten auf dem Kreis x² + y² = a² − b², der orthoptische Kurve. Für a ≤ b gibt es keine orthogonalen Tangenten.

Hyperbeln y = a/(x − b) + c sind durch die drei Parameter a, b und c eindeutig bestimmt. Der Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln charakterisiert vier Punkte Pᵢ = (xᵢ, yᵢ), wenn xᵢ ≠ xₖ und yᵢ ≠ yₖ für i ≠ k: Die Winkel bei P₃ und P₄ müssen im definierten Winkelmaß gleich sein. Für Geraden y = m₁x + d₁ und y = m₂x + d₂ wird dieses Maß als m₁/m₂ festgelegt. Aus drei Punkten erhält man die 3-Punkte-Form, indem man ((y − y₁)/(x − x₁))((x − x₂)/(y − y₂)) = ((y₃ − y₁)/(x₃ − x₁))((x₃ − x₂)/(y₃ − y₂)) nach y auflöst.

Trisektion, Quadriken und weitere Kontexte

Eine Hyperbel kann bei der Dreiteilung eines Winkels helfen, obwohl eine exakte Trisektion mit Zirkel und Lineal allein nicht möglich ist. Bei einer Sehne der Länge s ergibt die Vorüberlegung die Hyperbelgleichung y² = 3x² − 2sx. Daraus folgen der Mittelpunkt auf der Sehne, die Halbachse a = s/3 und die Exzentrizität e = 2·(s/3). In der Konstruktion werden Winkelscheitel O, ein Brennpunkt F₁ und ein Scheitel S₂ auf einem Kreisbogen bestimmt. Nach der Drittelung der Strecke F₁S₂ werden Mittelpunkt M, zweiter Brennpunkt F₂, a und e festgelegt. Der rechte Hyperbelast liefert einen Punkt C, sodass ∠F₁OC = α/3 ist. Die beschriebene Konstruktion ist für Winkelweiten ab etwa 20° bis 180° geeignet, bei genügend Platz nahe 0°.

Hyperbeln entstehen als ebene Schnitte mehrerer Quadriken, also Flächen zweiter Ordnung: eines elliptischen Kegels, eines hyperbolischen Zylinders, eines hyperbolischen Paraboloids, eines einschaligen Hyperboloids und eines zweischaligen Hyperboloids.

Viele algebraische Eigenschaften von y = 1/x gelten auch über einer beliebigen affinen Ebene über einem kommutativen Körper K. Eine Gerade schneidet die Hyperbel in höchstens zwei Punkten. Durch (x₀, 1/x₀) gibt es außer den achsenparallelen Geraden genau eine Tangente: y = −(1/x₀²)x + 2/x₀. Für K = ℚ ist y = ½x eine Passante, weil x² = 2 keine rationale Lösung besitzt. Für K = ℂ gibt es keine Passanten; beispielsweise schneidet y = −x die Hyperbel in (i, −i) und (−i, i). In Charakteristik 2 gibt es unter y = mx, m ≠ 0, keine Sekanten; die Tangente in (x₀, 1/x₀) lautet dann y = x/x₀², sodass alle Tangenten durch (0, 0) gehen.

Vorkommen der Hyperbel oder hyperbolischer Flächen zeigt der Artikel unter anderem an der Plastik Mae West auf dem Effnerplatz in München, an der Kathedrale von Brasília, beim Weg der Schattenspitze einer Sonnenuhr und am Lichtkegel einer Lampe an einer Wand.