Parabelschablone

Grundidee und Einsatz

Eine Parabelschablone ist ein Kurvenlineal, mit dem man schnell verschiedene Funktionsgraphen zeichnen kann. Im Mathematikunterricht der Mittelstufe gehört sie neben Lineal, Geodreieck mit Winkelmesser und Zirkel zu den wichtigen Hilfsmitteln. Die Längeneinheit in Zentimetern auf der Schablone entspricht in der Regel zwei Längeneinheiten des karierten Rechenhefts.

Parabelschablonen bestehen meist aus Acrylglas, können aber auch aus Pappe selbst hergestellt werden. Bei gekauften Schablonen ist häufig zusätzlich eine Schablone für die Sinusfunktion integriert, manchmal auch für Kosinus- und Tangensfunktion.

Normalparabel zeichnen

Mit einer Parabelschablone kann man Parabeln zeichnen, die kongruent zur Normalparabel sind. Kongruent bedeutet hier: Die Form ist gleich, sie kann aber verschoben oder gespiegelt sein. Damit das Zeichnen klappt, muss der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion bekannt sein oder zuerst berechnet werden.

Das Vorgehen besteht aus mehreren Schritten: Zuerst wird die Scheitelpunktform ermittelt, dann der Scheitelpunkt bestimmt. Danach zeichnet man das Koordinatensystem, legt die Schablone am Scheitelpunkt an, zeichnet die Parabel und überprüft anschließend die Zeichnung.

Scheitelpunkt bestimmen

Bei einer quadratischen Funktion vom Normalparabeltyp gilt die Form f(x) = ax² + bx + c mit a = -1 oder a = 1. Um den Scheitelpunkt zu finden, wird diese Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform umgeformt:

f(x) = a(x - d)² + e

Aus dieser Form kann man den Scheitelpunkt direkt ablesen: S(d|e). Der Scheitelpunkt ist der Punkt, an dem die Parabel ihren höchsten oder niedrigsten Punkt hat.

Die allgemeine Umformung lautet:

f(x) = a(x + b/(2a))² + (4ac - b²)/(4a)

Daraus ergibt sich der Scheitelpunkt:

S(-b/(2a) | c - b²/(4a))

Wenn diese Formel zu schwierig erscheint, kann man stattdessen schrittweise die quadratische Ergänzung durchführen. Die quadratische Ergänzung ist ein Rechenverfahren, mit dem eine quadratische Funktion in die Scheitelpunktform gebracht wird.

Bedeutung der Parameter

Die Parameter a, d und e bestimmen, wie die Schablone ausgerichtet und verschoben wird. Der Parameter a entscheidet über die Öffnungsrichtung der Parabel: Ist a = 1, also positiv, ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist a = -1, ist sie nach unten geöffnet.

Der Parameter d beschreibt die Verschiebung in x-Richtung. Dabei ist Vorsicht nötig, weil in der Scheitelpunktform f(x) = a(x - d)² + e ein Minuszeichen vor d steht. Ist d negativ, wird die Parabel um den Betrag von d nach links verschoben. Andernfalls wird sie nach rechts verschoben.

Der Parameter e gibt an, wie weit die Schablone nach oben oder unten verschoben wird. Zusammen legen d und e also die Lage des Scheitelpunkts S(d|e) im Koordinatensystem fest.

Zeichnung überprüfen und weitere Graphen

Nach dem Zeichnen einer Parabel zur Funktion f(x) = ax² + bx + c kann man die Zeichnung an den Achsenschnittpunkten überprüfen. Der Schnittpunkt mit der y-Achse muss beim Punkt (0|c) liegen. Außerdem kann kontrolliert werden, ob die Nullstellen, falls vorhanden, an den richtigen Stellen auf der x-Achse liegen.

Viele Parabelschablonen enthalten im Inneren ausgestanzte Kurven für trigonometrische Funktionen. Trigonometrische Funktionen sind zum Beispiel Sinus, Kosinus und Tangens. Mit einer ausgestanzten Sinuskurve lässt sich auch eine Kosinuskurve zeichnen, wenn man die Schablone um π/2 Einheiten in negative x-Richtung verschiebt.

Auch der Graph der Quadratwurzelfunktion y = √x kann mit der Schablone gezeichnet werden. Dazu kippt man die Schablone nach rechts, sodass die Öffnung in Richtung der positiven x-Achse zeigt. Dann wird der untere Teil ignoriert und entlang des oberen Teils gezeichnet. Das ist möglich, weil Parabel- und Quadratwurzelfunktion bei geeigneter Einschränkung der Wertebereiche jeweils Umkehrfunktionen voneinander sind.

Methodische Einordnung

An der Parabelschablone gibt es methodische Kritik. Sie ist als Zeichengerät weiter entwickelt als die klassischen euklidischen Konstruktionsgeräte Zirkel und Lineal. Das widerspricht unter anderem dem Konzept der dynamischen Geometrie. Außerdem werden beim Verwenden der Schablone Kenntnisse und Fähigkeiten, die zum eigenen Erstellen einer Parabel nötig wären, weniger geübt. Teile der Konstruktion werden übersprungen, sodass ein Zeichnen ohne gründliches Nachdenken möglich wird.

Seit der flächendeckenden Einführung von Taschenrechnern hat sich die Bedeutung der Parabelschablone zusätzlich verändert. Wertetabellen lassen sich heute sehr schnell erstellen, und grafikfähige Taschenrechner können Graphen automatisch anzeigen. Dadurch entfällt an Schulen teilweise der methodische Grund, mit der Parabelschablone besonders schnell Bilder zu erstellen.