Temperatur

Grundidee und physikalische Bedeutung

Die Temperatur ist eine physikalische Zustandsgröße der Thermodynamik. Sie beschreibt den thermischen Zustand eines Systems und entscheidet darüber, in welche Richtung Wärme übertragen wird. Sie ist eine intensive Größe: Teilt man einen Körper, behält die Temperatur ihren Wert. Die innere Energie ist dagegen eine extensive, also mengenabhängige Größe.

Materie besteht aus Atomen oder Molekülen, die sich ständig ungeordnet bewegen und kinetische, potenzielle sowie gegebenenfalls innere Anregungsenergie besitzen. Mit steigender Temperatur nimmt im Allgemeinen ihre durchschnittliche Energie zu. Zur ungeordneten Bewegung gehören neben der Fortbewegung auch Rotation und Schwingungen, etwa Gitterschwingungen in Festkörpern. Im thermischen Gleichgewicht bestimmt die Temperatur die statistische Verteilung der Teilchen auf die möglichen Energieniveaus. Je nach Teilchenart gelten dabei Boltzmann-, Fermi-Dirac- oder Bose-Einstein-Statistik. Das Konzept gilt auch für Photonen der Wärmestrahlung.

Eine einheitliche Temperatur besitzt ein System nur im thermischen Gleichgewicht. Außerhalb davon können Teilsysteme verschiedene Temperaturen haben, beispielsweise Wasser und Eiswürfel oder Elektronen und Ionen eines Plasmas. Der nullte Hauptsatz der Thermodynamik besagt: Stehen zwei Systeme jeweils mit einem dritten im thermischen Gleichgewicht, so stehen sie auch miteinander im Gleichgewicht. Temperaturgleichheit bedeutet daher, dass bei thermischem Kontakt kein Wärmeaustausch stattfindet.

Thermodynamisch lässt sich die Temperatur durch T = dU/dS bestimmen, wobei U die innere Energie und S die Entropie ist. Mit S = k_B ln Ω ergibt sich statistisch T = (1/k_B)(∂ln Ω/∂U)⁻¹. Dabei bezeichnet Ω die Zahl der Möglichkeiten, die Energie im System zu verteilen, und k_B die Boltzmann-Konstante. Zustände der Energie E werden gemäß dem Boltzmann-Faktor e^(−E/(k_B T)) besetzt.

Die tiefste mögliche Temperatur ist der absolute Nullpunkt: 0 K = −273,15 °C. Dort bleibt nur die aufgrund der quantenmechanischen Unschärferelation unvermeidliche Nullpunktsenergie. Im Jahr 2018 wurden im Bremer Fallturm der Universität Bremen für zwei Sekunden 38 Pikokelvin erreicht, also 38 Billionstel Grad Celsius über dem absoluten Nullpunkt.

Ideales Gas, Energie und Wärme

Das ideale Gas ist ein Modell aus punktförmigen Teilchen, die nur elastisch miteinander und mit den Gefäßwänden stoßen. Es beschreibt einatomige Edelgase sehr gut und normale Luft näherungsweise. Bei mehratomigen Molekülen können zusätzlich Rotation und Schwingung auftreten.

Für ein ideales Gas ist die mittlere kinetische Energie eines Teilchens proportional zur absoluten Temperatur:

Ē_kin = 3/2 k_B T.

Die Zustandsgleichung lautet:

pV = Nk_B T,

wobei p der Druck, V das Volumen und N die Teilchenzahl ist. Seit 2019 dient diese Beziehung zusammen mit dem exakt festgelegten Zahlenwert von k_B zur Definition der Temperatur im Internationalen Einheitensystem. Bei realen Gasen gilt sie nur näherungsweise, wird aber im Grenzfall p → 0 exakt.

Temperatur, thermische Energie und Wärme sind zu unterscheiden. Die Temperatur beschreibt den Zustand und ist intensiv. Die thermische Energie ist in ihrer makroskopischen Bedeutung die innere Energie, also die Summe der kinetischen, potenziellen und Anregungsenergien der Teilchen; sie ist mengenabhängig. Wärme ist keine gespeicherte Zustandsgröße, sondern bezeichnet einen Prozess der Energieübertragung. Nach dem ersten Hauptsatz entspricht sie der Änderung der inneren Energie abzüglich eventuell geleisteter Arbeit. Dieselbe Wärmemenge kann deshalb je nach Prozessführung, etwa isobar, isochor oder isotherm, zu unterschiedlichen Endtemperaturen führen.

Ein Teil der inneren Energie kann durch eine Wärmekraftmaschine in Arbeit umgewandelt werden, wenn ein kälteres zweites System vorhanden ist. Nach dem zweiten Hauptsatz muss jedoch ein Mindestanteil als Abwärme abgegeben werden. Für eine reversible Maschine zwischen T_k und T_w gilt der Carnot-Wirkungsgrad η = 1 − T_k/T_w. Diese substanzunabhängige Beziehung bildet seit 1924 die Grundlage der thermodynamischen Temperaturskala.

Fast alle physikalischen und chemischen Stoffeigenschaften hängen zumindest schwach von der Temperatur ab, etwa Ausdehnung, elektrischer Widerstand, Löslichkeit, Schallgeschwindigkeit, Gasdruck und Gasdichte. Bei Phasenübergängen können sich Eigenschaften schon bei kleinsten Temperaturänderungen sprunghaft ändern. Chemische Reaktionen werden nach der van-’t-Hoff’schen Regel bei einer Erhöhung um 10 °C typischerweise etwa doppelt so schnell; das betrifft auch Stoffwechselvorgänge.

Temperaturausgleich und Wahrnehmung

Werden zwei Systeme mit den Temperaturen T₁ und T₂ thermisch verbunden, fließt Wärme vom wärmeren zum kälteren System, bis beide die Gleichgewichtstemperatur T_G besitzen. Ohne Phasenübergang oder chemische Reaktion liegt T_G zwischen den Anfangstemperaturen. Bei annähernd konstanten Wärmekapazitäten C₁ und C₂ ist sie ein entsprechend gewichtetes Mittel. Das gilt auch beim Mischen zweier Flüssigkeiten oder Gase. Bei einem Phasenübergang kann T_G einer Anfangstemperatur entsprechen, beispielsweise 0 °C bei einem Getränk mit überschüssigem Eis. Chemische Reaktionen können die Endtemperatur unter oder über den Anfangsbereich verschieben, etwa bei Kältemischungen oder Verbrennungen.

Wärme wird auf drei Arten übertragen: Wärmeleitung durch unmittelbare Berührung, Konvektion durch ein strömendes Medium und Wärmestrahlung durch elektromagnetische Wellen.

Die menschliche Haut kann ungefähr Temperaturen zwischen 5 °C und 40 °C fühlen. Ihre Thermorezeptoren messen jedoch die Temperatur in der Haut, nicht unmittelbar diejenige des Gegenstands. Deshalb hängt die gefühlte Temperatur stark vom Wärmestrom ab. Metalle fühlen sich wegen ihrer hohen Wärmeleitfähigkeit bei gleicher Temperatur wärmer oder kälter an als Holz oder Polystyrol. Wind senkt gewöhnlich die gefühlte Lufttemperatur; unter 10 °C wird dies durch den Windchill, bei höheren Temperaturen durch den Hitzeindex beschrieben. Auch die vorherige Erwärmung oder Abkühlung der Haut verändert die Wahrnehmung.

Haut und gewöhnliche Thermometer können Lufttemperatur und überlagerte Wärmestrahlung nicht ohne Weiteres unterscheiden; Lufttemperaturen müssen deshalb im Schatten gemessen werden. Ein hoher Temperaturwert bedeutet außerdem nicht zwingend einen großen Wärmestrom: In der dünnen Thermosphäre oberhalb von 1000 km herrschen mehr als 1000 °C und an der Randstoßwelle der Heliosphäre etwa 10⁵ K. Wegen der geringen Teilchendichte bleibt die Energieübertragung dennoch minimal.

Temperaturmessung

Thermometer und Temperatursensoren können die Temperatur durch thermischen Kontakt bestimmen. Dafür muss zwischen Messobjekt und Sensor ein ausreichender Austausch durch Wärmeleitung, Konvektion oder Strahlungsgleichgewicht stattfinden. Luftbewegungen, Wärmeleitung entlang des Sensors oder eine unausgeglichene Strahlungsbilanz können das Ergebnis verfälschen. Grundsätzlich setzt auch die Brownsche Molekularbewegung der Genauigkeit eine Grenze.

Kontaktmessungen nutzen verschiedene temperaturabhängige Eigenschaften:

• Mechanische Verfahren verwenden die Wärmeausdehnung, beispielsweise in Gas-, Flüssigkeits- und Bimetallthermometern.

• Elektrische Verfahren messen den Widerstand von Leitern oder Halbleitern, etwa mit Kaltleitern (PTC), Heißleitern (NTC) oder Widerstandsthermometern. Thermoelemente erzeugen eine von der Temperaturdifferenz abhängige Spannung. Halbleiterschaltungen können über die Bandlücke eine zur absoluten Temperatur proportionale Spannung liefern.

• Zeit- und Frequenzverfahren verwenden beispielsweise die Differenzfrequenz verschieden geschnittener Schwingquarze, die Abklingrate der Fluoreszenz eines Leuchtstoffs oder den Raman-Effekt in Glasfasern.

• Indirekte Verfahren beobachten Zustandsänderungen, etwa bei Seger-Kegeln, Temperaturmessfarben sowie beim Erweichen, Schmelzen, Glühen oder anhand von Anlauffarben.

Berührungslos lässt sich die Oberflächentemperatur aus der Wärmestrahlung bestimmen, beispielsweise mit Pyrometern oder Thermografiekameras. Dafür müssen Emissionsgrad und reflektierte Umgebungsstrahlung bekannt sein. Je nach Temperatur werden unterschiedliche Wellenlängen und Detektoren verwendet. Thermografie arbeitet unter anderem im mittleren Infrarot bei etwa 5 bis 10 μm und ordnet der gemessenen Strahlung nach Kalibrierung Falschfarben zu. Fehler entstehen durch unbekannte Emissionsgrade, reflektierte Fremdstrahlung und die Eigenstrahlung der Luft. Bei weitgehender Unterdrückung dieser Einflüsse sind Temperaturunterschiede bis 0,01 K erfassbar. Strahlungsmessungen dienen auch der Fernerkundung und der Bestimmung von Sternoberflächentemperaturen.

Skalen und Einheiten

Empirische Temperaturskalen legen Vergleichswerte willkürlich fest. Häufig werden zwei reproduzierbare Fixpunkte gewählt und der Abstand mithilfe einer temperaturabhängigen Stoff- oder Prozesseigenschaft gleichmäßig geteilt. Die historische Celsius-Skala verwendete Schmelz- und Siedepunkt von Wasser bei Normaldruck; Anders Celsius ordnete ihnen zunächst 100 beziehungsweise 0 zu, nach seinem Tod wurde die Skala umgekehrt. Fahrenheit verwendete eine Kältemischung und die menschliche Körpertemperatur. Die heute gültige praktische Skala ist die International Temperature Scale of 1990 (ITS-90); seit Mai 2019 werden die Einheiten nicht mehr durch bestimmte Messpunkte definiert.

Die SI-Basiseinheit der thermodynamischen Temperatur T ist das Kelvin (K). Der Nullpunkt ist der absolute Nullpunkt. Seit Mai 2019 ist das Kelvin durch den festgelegten Wert der Boltzmann-Konstante an das Joule gekoppelt: 1 K ist die Temperaturänderung, durch die k_B T um 1,380649 · 10⁻²³ J zunimmt. Der Wassertripelpunkt, früher exakt 273,16 K, ist deshalb kein Definitionspunkt mehr, sondern ein Messwert.

Die Celsius-Temperatur t beziehungsweise ϑ besitzt die abgeleitete SI-Einheit Grad Celsius (°C) und ist gegenüber der Kelvin-Skala um 273,15 verschoben:

t/°C = T/K − 273,15.

Ein Temperaturunterschied von 1 °C ist genau gleich einem Unterschied von 1 K; Temperaturdifferenzen sollen grundsätzlich in K angegeben werden, dürfen bei zwei Celsius-Temperaturen aber auch in °C stehen.

In den USA ist Grad Fahrenheit (°F) gebräuchlich. Die absolute Rankine-Skala beginnt wie Kelvin am absoluten Nullpunkt, verwendet aber Fahrenheit-Abstände. Beide sind heute durch exakte Umrechnungen zum Kelvin definiert. Der absolute Nullpunkt entspricht exakt 0 K, −273,150 °C, −459,670 °F und 0 °Ra; der Gefrierpunkt des Wassers bei Normaldruck liegt bei 273,150 K, 0,000 °C, 32,000 °F und 491,670 °Ra. Historische Skalen wie Delisle, Réaumur, Newton und Rømer spielen heute keine entsprechende internationale Rolle.

Logarithmische Skalen wurden unter anderem von John Dalton, Kelvin und Rudolf Plank erwogen. Dabei entspricht die Skala dem Logarithmus der absoluten Temperatur und reicht von −∞ bis +∞. Gleiche Verhältnisänderungen, etwa von 100 K auf 10 K und von 1 K auf 0,1 K, erhalten gleiche Abstände. Dadurch lässt sich der zunehmende technische Aufwand beim Annähern an den unerreichbaren absoluten Nullpunkt veranschaulichen.

Grenzfälle in Quanten- und Relativitätstheorie

In der Quantenphysik lässt sich Temperatur nur dann anschaulich als ungeordnete Bewegung mit allen möglichen Energieformen deuten, wenn k_B T groß gegenüber den typischen Abständen der Energieniveaus ist. Bei N₂ und O₂ ist die Molekülrotation schon bei Raumtemperatur voll angeregt; Molekülschwingungen werden erst weit über 1000 K wesentlich angeregt. Bei H₂ benötigt bereits die Rotation Temperaturen von einigen 100 K. Freiheitsgrade, die bei niedriger Temperatur nicht teilnehmen, heißen eingefroren. Quantenphysikalisch wird die Thermodynamik mit statistischer Physik behandelt; die Temperatur bestimmt im Boltzmann-Faktor weiterhin die Besetzung der Energiezustände.

Der Temperaturbegriff kann formal auf negative Temperaturen erweitert werden. Bei positiver Temperatur sind niedrige Energiezustände häufiger besetzt; bei T → ∞ würden alle Zustände gleich häufig. Sind höhere Energiezustände stärker als niedrigere besetzt, liegt eine Besetzungsumkehr oder Inversion vor, die einer negativen Temperatur entspricht. Solche Zustände wurden in Gasen im Labor erzeugt und können auch das aktive Medium eines Lasers beschreiben. Sie sind instabil und geben bei Kontakt Energie an jeden Körper positiver Temperatur ab. Ein System negativer Temperatur ist daher heißer als jedes System positiver Temperatur.

In der speziellen Relativitätstheorie gehört zum thermischen Gleichgewicht ein gemeinsames Ruhesystem. Ein sich entfernender Beobachter sieht Wärmestrahlung rotverschoben und den Körper dadurch kälter. Temperatur beziehungsweise häufiger die inverse Temperatur β = 1/(k_B T) wird als zeitartiger Vierervektor behandelt und zwischen bewegten Systemen durch Lorentztransformation umgerechnet.

In der allgemeinen Relativitätstheorie kann bei einer statischen, also zeitunabhängigen Raumzeitmetrik eine globale Temperatur definiert werden. Bei zeitabhängiger Metrik, etwa im expandierenden Universum, sind Temperatur und andere Zustandsgrößen im Allgemeinen nur lokal definiert. Als Kriterium für einen zumindest lokal thermischen Zustand dient, dass die Phasenraumdichte die Boltzmann-Gleichung ohne Streuung erfüllt.