Topologie (Mathematik)

Gegenstand und Bedeutung

Topologie ist ein fundamentales Teilgebiet der Mathematik. Sie untersucht Eigenschaften von mathematischen Strukturen, die bei stetigen Verformungen erhalten bleiben. Anschauliche solche Verformungen sind Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren und Verdrillen, solange kein Schnitt entsteht.

Der Grundbegriff ist der topologische Raum. Er verallgemeinert die Vorstellung von „Nähe“ und ermöglicht eine allgemeine Definition von Stetigkeit und Grenzwert. Topologische Eigenschaften hängen nur von der zugrunde liegenden topologischen Struktur ab. Deshalb sind etwa Kugel und Würfel topologisch nicht zu unterscheiden. Auch ein Volltorus, also ein Donut, und eine einhenkelige Tasse sind homöomorph. Dagegen unterscheiden sich Torusoberfläche und Kugelfläche: Auf der Kugel lässt sich jede geschlossene Kurve stetig zu einem Punkt zusammenziehen, auf dem Torus nicht jede.

Topologie ist besonders wichtig für Geometrie, Analysis, Funktionalanalysis und die Theorie der Lie-Gruppen. Ein zentrales Problem besteht darin, zu entscheiden, ob zwei Räume homöomorph sind oder ob stetige Abbildungen mit bestimmten Eigenschaften existieren.

Topologische Räume und offene Mengen

Ein topologischer Raum entsteht, indem man eine Grundmenge X mit einer Topologie versieht. Die Elemente von X werden als Punkte aufgefasst. Eine Topologie 𝒪 ist eine Menge ausgewählter Teilmengen von X; diese Teilmengen heißen offene Mengen. Das Paar wird als (X, 𝒪) geschrieben.

Damit 𝒪 eine Topologie ist, muss gelten:

• X und die leere Menge ∅ gehören zu 𝒪.
• Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen: ⋃ᵢ∈I Oᵢ ∈ 𝒪.
• Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen: ⋂ᵢ∈I Oᵢ ∈ 𝒪, wenn I endlich ist.

Eine Umgebung eines Punktes ist eine Menge, die eine offene Menge enthält, welche den Punkt enthält. Eine Abbildung f: X → Y zwischen den topologischen Räumen (X, Tₓ) und (Y, Tᵧ) heißt genau dann stetig, wenn für jede offene Menge Oᵧ ∈ Tᵧ ihr Urbild f⁻¹(Oᵧ) in X offen ist, also f⁻¹(Oᵧ) ∈ Tₓ gilt. Aus offenen beziehungsweise abgeschlossenen Mengen lassen sich außerdem Begriffe wie Berührpunkt und Konvergenz definieren.

Abgeschlossene Mengen und Homöomorphismen

Eine Teilmenge A von X heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement X \ A offen ist. Die abgeschlossenen Mengen 𝒜 erfüllen die zu den offenen Mengen dualen Regeln:

• X und ∅ gehören zu 𝒜.
• Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen: ⋂ᵢ∈I Aᵢ ∈ 𝒜.
• Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen: ⋃ᵢ∈I Aᵢ ∈ 𝒜, wenn I endlich ist.

Die Gleichwertigkeit der Definitionen über offene und abgeschlossene Mengen folgt aus den De-Morgan’schen Gesetzen: Vereinigung und Durchschnitt werden jeweils ineinander überführt. Anschaulich enthalten abgeschlossene Mengen ihren Rand: Reichen Punkte einer Menge beliebig nah an einen Berührpunkt heran, gehört dieser Berührpunkt zur abgeschlossenen Menge.

Ein Homöomorphismus ist eine bijektive Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen, die offene Mengen auf offene Mengen abbildet und dadurch eine Bijektion zwischen den Topologien erzeugt. Homöomorphe Räume haben dieselben topologischen Eigenschaften und sind mit topologischen Mitteln nicht zu unterscheiden. Homöomorphismen entsprechen den Isomorphismen in der Kategorie der topologischen Räume.

Teilgebiete und Invarianten

Die moderne Topologie wird grob in mengentheoretische oder allgemeine Topologie, algebraische Topologie und geometrische Topologie eingeteilt. Zusätzlich gibt es die Differentialtopologie, die meist als Teilgebiet der Differentialgeometrie betrachtet wird.

Die mengentheoretische Topologie untersucht topologische Räume und stetige Abbildungen allgemein. Sie macht insbesondere die für die Analysis wichtigen Begriffe Stetigkeit und Konvergenz transparent. Wichtige Eigenschaften sind Kompaktheit, Trennungseigenschaften und Zusammenhang. Kompaktheit verallgemeinert das Heine–Borel-Prinzip: Das Produkt zweier kompakter Räume ist wieder kompakt. Außerdem ist eine stetige Funktion von einer kompakten Menge in die reellen Zahlen beschränkt und nimmt Maximum und Minimum an.

Die algebraische Topologie führt Fragen über Räume auf algebraische Fragen zurück. Sie sucht mit Homologie und Kohomologie nach Invarianten, also Eigenschaften, mit denen Räume unterschieden werden können. Beispiele für Invarianten sind das Geschlecht einer kompakten, zusammenhängenden orientierbaren Fläche und die Fundamentalgruppe. Eine Sphäre hat Geschlecht null, ein Torus Geschlecht eins; daher sind sie unterschiedliche topologische Räume.

Die geometrische Topologie untersucht zwei-, drei- und vierdimensionale Mannigfaltigkeiten. Eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit ist eine Fläche. Winkel, Länge und Krümmung können sich bei stetigen Abbildungen ändern; die Anzahl der Löcher einer Fläche bleibt dagegen erhalten. Weil meist Mannigfaltigkeiten mit Dimension kleiner als fünf betrachtet werden, heißt dieses Gebiet auch niedrigdimensionale Topologie. Die Knotentheorie gehört als Teilaspekt dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten dazu.

Anwendungen

Topologische Methoden finden sich in vielen Bereichen der Mathematik. In der Differentialgeometrie untersucht man Mannigfaltigkeiten zunächst als topologische Räume. Danach können zusätzliche Strukturen betrachtet werden, etwa differenzierbare Mannigfaltigkeiten oder PL-Mannigfaltigkeiten. Geschlossene Flächen lassen sich mithilfe algebraischer Topologie klassifizieren: Jede Fläche besteht aus endlich vielen eingebetteten 2-Polytopen, die entlang ihrer Kanten miteinander verklebt sind; dadurch gibt es für geschlossene Flächen drei Klassen und entsprechende Normalformen.

In der Funktionalanalysis spielen unendlichdimensionale topologische Vektorräume eine Rolle. Das sind Vektorräume mit einer Topologie, für die die algebraischen Grundoperationen stetig sind. Insbesondere lassen sich Hilbert- und Banachräume als solche Räume auffassen.

Die deskriptive Mengenlehre untersucht bestimmte Teilmengen polnischer Räume. Dabei stehen topologische Begriffe mit Definierbarkeit und Berechenbarkeit aus der mathematischen Logik in Zusammenhang. Die harmonische Analysis untersucht lokalkompakte Gruppen: Gruppen mit einer kompatiblen lokalkompakten topologischen Struktur. Sie verallgemeinern Lie-Gruppen und damit Vorstellungen kontinuierlicher Symmetrien.

In der Volkswirtschaftslehre werden topologische Konzepte vor allem in der Wohlfahrtsökonomik und bei allgemeinen Gleichgewichtsmodellen verwendet.