Masse (Physik)

Grundidee und klassische Bedeutung

Die Masse m ist eine Eigenschaft der Materie und eine Basisgröße vieler physikalischer Größensysteme. Ihre SI-Einheit ist das Kilogramm (kg), ihre Dimension M. Sie beschreibt erstens die Trägheit: Ein Körper widersetzt sich einer Änderung seiner Geschwindigkeit durch eine äußere Kraft. Zweitens bestimmt sie die Gravitation: Die wirkende und die verursachte Gravitationskraft sind proportional zur Masse. Dass träge Masse und schwere Masse gleichwertig sind, heißt Äquivalenzprinzip.

In der klassischen Mechanik gilt für einen Körper konstanter Masse der Impuls p = m v und die Grundgleichung der Mechanik F⃗ = m a⃗. Die träge Masse ist dabei der Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft und Beschleunigung. Die schwere Masse ist Quelle und „Gravitationsladung“ im newtonschen Gravitationsgesetz: F⃗ = −G·(mₛMₛ/|r⃗|²)·r⃗/|r⃗|. Die Gleichheit träger und schwerer Masse ist mit relativer Genauigkeit η < 2,7·10⁻¹⁵ bestätigt.

Klassisch ist Masse unabhängig vom Bewegungszustand (Galilei-invariant), additiv und in einem geschlossenen System erhalten. Zwei Körper der Masse m haben zusammen 2m. Auch bei einer Verbrennung haben Asche und Abgase zusammen mit dem verbrauchten Sauerstoff dieselbe Masse wie die Ausgangsstoffe. Diese Eigenschaften gelten in der modernen Physik nur näherungsweise, besonders bei kleinen Geschwindigkeiten gegenüber der Lichtgeschwindigkeit c.

Einheiten, Gewicht und Messung

Neben kg werden für Atome und Moleküle die atomare Masseneinheit u beziehungsweise amu und in der Teilchenphysik MeV/c² verwendet. Umgangssprachlich wird Masse oft „Gewicht“ genannt, etwa bei Leergewicht oder Kochrezepten. Fachsprachlich bezeichnet Gewicht jedoch die Gewichtskraft. Die Masse eines Menschen hängt daher nicht vom Ort ab; seine Gewichtskraft ist auf dem Mond geringer als auf der Erde.

Direkt wird Masse am ruhenden Körper durch Vergleich mit einer Referenzmasse bestimmt, zum Beispiel mit einer Balkenwaage. Zwei Massen sind gleich, wenn sie im selben Schwerefeld die gleiche Gewichtskraft haben. Die Stärke des Feldes ist dabei unwichtig, solange sie nicht null ist und an beiden Orten gleich ist. In Luft muss der statische Auftrieb beachtet werden; bei gleichen Volumina der verglichenen Körper ist er gleich groß und beeinflusst den Vergleich nicht.

Indirekt kann man m = |F⃗|/|a⃗| aus bekannter Kraft und gemessener Beschleunigung bestimmen. Viele Waagen messen tatsächlich eine Kraft: Federwaagen, mechanische Haushaltswaagen sowie elektronische Waagen mit Piezoelementen, Dehnungsmessstreifen oder elektromagnetischer Kraftkompensation. Im Erdschwerefeld wird die Gewichtskraft gemessen und mithilfe der Fallbeschleunigung g als Masse angezeigt; für genaue Ergebnisse kann eine örtliche Justierung nötig sein. Massenspektrometer bestimmen Massen über die Bewegungen geladener Teilchen: Im Sektorfeld-Massenspektrometer werden leichtere Teilchen stärker abgelenkt, beim Flugzeitmassenspektrometer erreichen leichtere Teilchen eine größere Endgeschwindigkeit. Die Masse der Sonne lässt sich aus Planetenbahnen berechnen. Bei homogenen Körpern bekannter Dichte genügt eine Volumenmessung.

Dichte, Stoffmenge und effektive Masse

Masse ist eine extensive Größe: Sie wächst bei der Verdopplung eines Systems mit. Dagegen sind Dichte und molare Masse intensive Größen, also unabhängig von der Systemgröße. Die Dichte ist ρ = m/V und hat die SI-Einheit kg/m³. Bei einem homogenen Körper kann die Masse daher aus Dichte und Volumen bestimmt werden. Die molare Masse ist M = m/n mit der SI-Einheit kg/mol; n ist die Stoffmenge.

Die effektive Masse m_eff wird vor allem in der Festkörperphysik verwendet. Sie ähnelt einer Masse, ist aber nicht die tatsächliche Masse eines Teilchens. Sie wird aus der Dispersionsrelation E = f(p) abgeleitet, indem diese in einem Bereich mit E_kin = p²/(2m_eff) angenähert wird. Anders als die echte Masse kann die effektive Masse vom Impuls abhängen und in bestimmten Bereichen negativ sein.

Relativistische Masse und Energie

In der speziellen Relativitätstheorie ist Masse eine Lorentz-invariante Größe: Sie bleibt bei einem Wechsel des Bezugssystems unverändert. Sie wird durch die Energie-Impuls-Relation definiert: m² = E²/c⁴ − p⃗²/c². Dabei ist E = E₀ + E_kin die Gesamtenergie, p⃗ der Impuls und E₀ = mc² die Ruheenergie. Für einen Körper mit Geschwindigkeit v gilt E = γE₀, E_kin = E₀(γ − 1), p⃗ = γm v⃗ und γ = 1/√(1 − (v/c)²). Für v ≪ c folgt näherungsweise E_kin ≈ ½mv² und p ≈ mv.

Die Formel E₀ = mc² beschreibt die Äquivalenz von Masse und Energie: Ruheenergie und Masse unterscheiden sich nur um den konstanten Faktor c². Ein System kann deshalb bei Änderung seiner inneren Energie seine Masse ändern. Das historische Konzept der relativistischen Masse m_rel(v) = γm₀, die mit der Geschwindigkeit wächst, ist weiterhin in manchen Schul- und populärwissenschaftlichen Texten anzutreffen. In der modernen Fachsprache bedeutet „Masse“ meist die beobachterunabhängige, invariante Masse. Welche Begriffsregelung gewählt wird, ist eine Konvention und nicht experimentell entscheidbar.

Ein Photon hat m = 0 und E = c|p⃗|. Es besitzt keine Ruheenergie, weil kein Bezugssystem existiert, in dem sein Impuls null ist. Masselose Teilchen können dennoch zusammen ein System mit Masse bilden, etwa mehrere Lichtquanten mit Gesamtimpuls null.

Systeme, Massendefekt und Gravitation

Für ein Mehrteilchensystem addieren sich Gesamtenergie und Gesamtimpuls: E_gesamt = ΣE_i und p⃗_gesamt = Σp⃗_i. Seine Masse ist jedoch im Allgemeinen nicht die Summe der Einzelmassen. Im Schwerpunktsystem heißt die Ruheenergie auch Schwerpunktsenergie; die invariante Masse ist M = E₀/c². Erwärmung erhöht wegen der stärkeren Bewegung der Atome die Masse um ΔM, wobei ΔE = ΔM·c² gilt. Bei Energieabgabe als Strahlung sinkt sie entsprechend. Im Alltag sind diese Änderungen äußerst klein.

Bei gebundenen Systemen wird beim Zusammenfügen Bindungsenergie frei; die Masse des gebundenen Systems ist dann geringer als die Summe getrennter Bestandteile. Diese Differenz heißt Massendefekt. In Atomkernen beträgt die Bindungsenergie meist 7 bis 8 MeV pro Nukleon, etwa 0,8 % von dessen Ruheenergie. Beim Zerfall von Uran-238 in Thorium-234 und ein Alphateilchen werden 4,27 MeV frei, entsprechend 0,002 % der Ruheenergie von ²³⁸U. Bei der Spaltung von ²³⁵U werden im Mittel 204 MeV frei, also 0,13 %. Bei der Annihilation eines Elektron-Positron-Paars entstehen masselose Photonen; der Massendefekt beträgt 100 %.

Chemische Bindungsenergien liegen typischerweise bei 2 bis 7 eV pro Bindung und damit 7 bis 8 Größenordnungen niedriger. Der größte genannte chemische Massendefekt beträgt 2.25e⁻⁹ für 2 H → H₂; ein chemischer Massendefekt wurde bislang nicht durch Wägung nachgewiesen.

In der allgemeinen Relativitätstheorie folgen frei fallende Körper Geodäten, also den „geradestmöglichen“ Bahnen in der gekrümmten vierdimensionalen Raumzeit. Diese Bahnen hängen nicht von der Masse des fallenden Teilchens ab. Quelle der Raumzeitkrümmung ist der Energie-Impuls-Tensor mit Energiedichte, Impulsdichten sowie Energie- und Impulsströmen. Bei langsamen Bewegungen entspricht die Wirkung einer ruhenden Masse näherungsweise Newtons Gravitation. Licht wird an der Sonne jedoch doppelt so stark abgelenkt, wie Newton erwarten lässt.

Impulserhaltung und Teilchenmassen

Die Masse kann auch allein aus der Impulserhaltung begründet werden. Bei einem vollkommen unelastischen Stoß vereinigen sich zwei Körper, während die Summe der Impulse erhalten bleibt. Mit Galilei-Transformation folgt klassisch p⃗ = m v⃗ und für ein zusammengesetztes Objekt M = m₁ + m₂: Masse ist dann additiv und erhalten. Mit Lorentz-Transformation folgt p⃗ = γm v⃗. Erhalten und additiv ist relativistisch nicht die Summe der Massen, sondern die Energie E = γmc².

Im Standardmodell erhalten Elementarteilchen ihre Masse durch den Higgs-Mechanismus: Sie wechselwirken mit dem auch im Vakuum vorhandenen Higgs-Feld. Das Higgs-Feld ist indirekt durch die Beobachtung des Higgs-Bosons nachgewiesen; die Masse des Higgs-Bosons selbst erklärt dieser Mechanismus nicht.

Die Massen von Baryonen wie Proton und Neutron sind etwa 100-mal größer als die Massen ihrer drei Quarks. Sie werden dynamisch als gebundene Zustände erklärt; Berechnungsansätze liefert die Quantenchromodynamik (QCD) mit Gitterrechnungen. Quarks sind in Baryonen auf etwa 10⁻¹⁵ m konzentriert. Ihre kurze De-Broglie-Wellenlänge bedeutet große kinetische Energie, die nach E = mc² erheblich zur Masse beiträgt. Baryonen machen den größten Teil der Masse sichtbarer Materie aus. Als mögliche Bestandteile nicht sichtbarer Dunkler Materie werden schwach wechselwirkende massereiche Teilchen (WIMP) wie das hypothetische leichteste supersymmetrische Teilchen (LSP) vermutet.