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Rechter Winkel
Ein rechter Winkel, kurz auch Rechter, ist ein Winkel von 90° und damit der vierte Teil eines Vollwinkels zu 360°. Zwei Geraden oder Strecken, die sich in …
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Grundidee und Definition
Ein rechter Winkel ist ein Winkel von 90°. Er ist damit der vierte Teil eines Vollwinkels von 360°. Zwei Geraden oder Strecken, die sich in einem rechten Winkel schneiden oder berühren, heißen rechtwinklig, senkrecht oder orthogonal.
Eine klassische Definition stammt von Euklid in den Elementen (ca. 300 v. Chr.) und findet sich auch bei David Hilbert in seinem Axiomensystem der euklidischen Geometrie (1899): Ein rechter Winkel ist ein Winkel, der kongruent zu seinem Nebenwinkel ist. Euklid formuliert: „Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, einander gleiche Nebenwinkel bildet, dann ist jeder der gleichen Nebenwinkel ein Rechter“.
Eine weitere, seit spätestens dem 16. Jahrhundert verwendete Definition lautet: Ein rechter Winkel ist ein Winkel, zu dem ein Viertelkreis gehört. Beide Definitionen sind gleichwertig, weil zwei Nebenwinkel zusammen einen gestreckten Winkel bilden, dem ein Halbkreis entspricht.
Vorkommen in Geometrie und Raum
Rechte Winkel kommen in vielen grundlegenden geometrischen Figuren vor. In der Ebene bilden zum Beispiel die Koordinatenachsen eines kartesischen Koordinatensystems einen rechten Winkel. Auch zwei benachbarte Seiten eines Rechtecks, die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, die beiden Diagonalen eines Drachenvierecks, die beiden Halbachsen einer Ellipse sowie bestimmte Verbindungslinien im Satz des Thales stehen rechtwinklig zueinander.
Im Raum bilden je zwei Koordinatenachsen eines dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems rechte Winkel. Weitere Beispiele sind zwei benachbarte Kanten eines Quaders, je zwei der drei Raumdiagonalen eines Oktaeders, zwei zueinander orthogonale Vektoren sowie ein Lot auf eine Ebene mit jeder Gerade der Ebene durch den Lotfußpunkt.
In einem orthogonalen Polygon oder einem orthogonalen Polyeder bilden alle benachbarten Kanten rechte Winkel.
Rechte Winkel rechnerisch erkennen
Zwischen zwei Strecken kann man einen rechten Winkel mit dem Satz des Pythagoras erkennen. Treffen sich die Strecken [AC] und [BC] in C, dann bilden sie genau dann einen rechten Winkel, wenn für die Längen gilt: |AC|² + |BC|² = |AB|². Ganzzahlige Lösungen dieser Gleichung heißen pythagoreische Tripel. Beim Tripel (3,4,5) gilt: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Die Harpedonapten im alten Ägypten nutzten dieses Prinzip zur Konstruktion rechter Winkel.
Bei den Graphen zweier linearer Funktionen f(x)=m₁x+b₁ und g(x)=m₂x+b₂ liegt genau dann ein rechter Schnittwinkel vor, wenn das Produkt der Steigungen m₁ · m₂ = -1 ist. Beispiel: f(x)=-2x+5 und g(x)=1/2x+2 schneiden sich rechtwinklig, weil (-2) · 1/2 = -1 gilt.
Allgemeiner gilt für zwei differenzierbare Funktionen f und g: Ihre Graphen schneiden sich an der Stelle x̄ rechtwinklig, wenn f(x̄)=g(x̄) gilt und das Produkt der Ableitungen am Schnittpunkt f'(x̄) · g'(x̄) = -1 ist. Für zwei sich schneidende Geraden im kartesischen Koordinatensystem gilt außerdem: Sie stehen senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren r⃗ · s⃗ = 0 ist. Dasselbe Prinzip gilt allgemeiner für differenzierbare Kurven über das Skalarprodukt ihrer Tangentialvektoren am Schnittpunkt.
Winkelmaße und Trigonometrie
Ein rechter Winkel kann in verschiedenen Winkelmaßen angegeben werden: 1 Rechter = 90° = 90 Grad. Im Bogenmaß, der SI-Einheit, entspricht er π/2 rad. Außerdem gilt: 1 Rechter = 100ᵍ = 100 gon = 100 Neugrad, 1 Rechter = 8 nautische Strich, 1 Rechter = 1600 mil = 1600 artilleristische Strich und 1 Rechter = 6ʰ = 360ᵐ = 21600ˢ im Stundenmaß.
Für die trigonometrischen Funktionen eines rechten Winkels α gilt: sin α = csc α = 1, cos α = cot α = 0. Tangens und Sekans eines rechten Winkels sind nicht definiert.
In Deutschland war der rechte Winkel neben dem Vollwinkel vom 5. Juli 1970 bis zum 29. November 1973 mit dem Einheitenzeichen ∟ eine gesetzliche Einheit. In der Schweiz war der rechte Winkel bis zum 31. Dezember 1996 gesetzliche Einheit.
Konstruktion und Messung
Rechte Winkel können zeichnerisch oder praktisch konstruiert werden. In der Schule verwendet man dafür zum Beispiel mathematisches Papier oder ein Geodreieck. Für Konstruktionen mit Zirkel und Lineal ist das Lot wichtig. Beim technischen Zeichnen am Reißbrett wird ein Zeichenkopf mit Zeichenschienen benutzt. Im metall- und holzverarbeitenden Handwerk dienen Winkelmaß oder Lehre zur Abmessung rechter Winkel.
Für größere Entfernungen wurde häufig eine Schnur mit 12 gleichen Abständen verwendet, die zu einem Dreieck mit den Seitenlängen (3,4,5) gespannt wird. Zwischen den beiden kürzeren Seiten, den Katheten, liegt dann ein rechter Winkel von genau 90°. Diese Methode beruht auf dem pythagoreischen Tripel und wurde schon im alten Ägypten und im Mittelalter in der Baukunst genutzt.
Weitere praktische Hilfsmittel waren die Groma in der römischen Bautechnik, die Kreuzscheibe in neuerer Zeit sowie Winkelprisma und Theodolit in der Geodäsie, besonders bei Katastervermessungen mit dem Orthogonalverfahren. Heute sind diese Geräte weitgehend durch elektro-optische Entfernungsmesser wie Tachymeter ersetzt worden. In der praktischen Ausführung erhält man immer nur Näherungen an das geometrische Konzept des rechten Winkels.
Darstellung und geschichtliche Bedeutung
In Zeichnungen wird ein rechter Winkel im deutschsprachigen Raum und in mehreren europäischen Ländern meist durch einen Viertelkreis zwischen den beiden Schenkeln mit einem Punkt darin gekennzeichnet; der Punkt wird gelegentlich weggelassen. Im englischsprachigen Raum wird häufig ein kleines Quadrat oder bei schräger Darstellung ein Parallelogramm eingezeichnet.
Im Zeichensatz Unicode gibt es mehrere Zeichen für rechte Winkel, darunter ∟ mit U+221F („right angle“), ⦜ mit U+299C („right angle variant with square“), ⦝ mit U+299D („measured right angle with dot“) und ⊾ mit U+22BE („right angle with arc“). Das Zeichen ∟ wurde erstmals von dem griechischen Mathematiker Pappos im 4. Jahrhundert n. Chr. verwendet.
Historisch sind rechte Winkel als geometrische Abstraktionen eng mit Bauen, Flechten, Weben, Ornamentik und Architektur verbunden. Wahrscheinlich wurden sie zunächst in geometrischen Zeichnungen der Höhlenmalerei und beim Bau von Hütten realisiert. Später erschienen sie in Flecht- und Webkunst, in Lehm- und Steinbauten, bei Zugängen, Ecken und Ornamenten. Beispiele aus dem Artikel sind die Pfeiler von Göbekli Tepe um 9000 v. Chr., die rechtwinkligen Grundmuster der Häuser von Catalhöyük um 7000 v. Chr. und einzelne Bedeutungen in Megalithbauten wie Stonehenge. In Möbelkunst und Ornamentik werden rechte Winkel seit der Antike vielfach genutzt, etwa in Fischgrätmustern, Schachbrettmustern, Mäandern, Zick-Zack-Mustern und Kreuzformen.
