Satz des Pythagoras

Kernaussage und Umkehrung

Der Satz des Pythagoras ist ein grundlegender Satz der euklidischen Geometrie. Er gilt für jedes ebene rechtwinklige Dreieck. Die beiden Seiten, die am rechten Winkel liegen, heißen Katheten und haben hier die Längen a und b. Die gegenüberliegende und längste Seite heißt Hypotenuse und hat die Länge c. Dann gilt die pythagoreische Gleichung:

a² + b² = c².

Geometrisch bedeutet dies: Die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den beiden Katheten ist genauso groß wie der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse.

Auch die Umkehrung ist richtig: Erfüllen die Seitenlängen a, b und c eines Dreiecks die Gleichung a² + b² = c², dann ist das Dreieck rechtwinklig. Der rechte Winkel liegt der Seite c gegenüber.

Der Satz gehört zusammen mit dem Höhen- und dem Kathetensatz zur Satzgruppe des Pythagoras. Der Kosinussatz erweitert ihn auf beliebige Dreiecke.

Berechnungen und typische Anwendungen

Sind zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bekannt, kann die dritte berechnet werden:

• c = √(a² + b²)

• a = √(c² − b²)

• b = √(c² − a²)

Mit der Umkehrung lässt sich allein anhand der Seitenlängen prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist. Für die Seiten 3, 4 und 5 gilt 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²; das Dreieck ist daher rechtwinklig. Für 4, 5 und 6 gilt dagegen 4² + 5² = 41 ≠ 36 = 6²; dieses Dreieck ist nicht rechtwinklig. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse länger als jede Kathete, aber kürzer als die Summe der Katheten.

Für die Katheten a und b sowie die Höhe h auf der Hypotenuse gilt außerdem der inverse Satz des Pythagoras:

1/a² + 1/b² = 1/h².

Ganzzahlige Dreiergruppen (a, b, c), welche a² + b² = c² erfüllen, heißen pythagoreische Tripel. Davon gibt es unendlich viele; das einfachste ist (3, 4, 5). Im Gegensatz dazu besitzt aⁿ + bⁿ = cⁿ für ganzzahlige a, b, c ≠ 0 und natürliche n > 2 keine Lösung. Dies ist die Aussage des großen fermatschen Satzes, dessen schwieriger Beweis erst 1995 erbracht wurde.

In einem kartesischen Koordinatensystem liefert der Satz den euklidischen Abstand zwischen (x₀, y₀) und (x₁, y₁):

c = √((x₁ − x₀)² + (y₁ − y₀)²).

Im dreidimensionalen Raum kommt die dritte Koordinatendifferenz hinzu:

c = √((x₁ − x₀)² + (y₁ − y₀)² + (z₁ − z₀)²).

Dieser Abstand entspricht der Länge des Vektors zwischen den beiden Punkten.

Grundideen wichtiger Beweise

Für den Satz sind mehrere hundert Beweise bekannt. Elisha Scott Loomis führte 1927 insgesamt 371 Beweise auf; Mario Gerwig nennt in einer späteren Überarbeitung rund 365 verschiedene Beweise und weist zugleich auf Fehler und offensichtlich falsche Beweise in älteren Sammlungen hin.

Euklids Beweis in Buch 1, Proposition 47 seiner Elemente zerlegt das Hypotenusenquadrat durch die Höhe auf der Hypotenuse in zwei Rechtecke. Mithilfe kongruenter Dreiecke zeigt er, dass jedes dieser Rechtecke flächengleich mit einem der beiden Kathetenquadrate ist. Zusammen ergeben sie das ganze Hypotenusenquadrat. In Proposition 48 beweist Euklid auch die Umkehrung.

Beim Ergänzungsbeweis werden vier kongruente rechtwinklige Dreiecke in ein Quadrat der Seitenlänge a + b gelegt. In einer Anordnung bleibt ein Quadrat der Fläche c² frei, in einer anderen Quadrate der Flächen a² und b². Da die großen Quadrate und die vier Dreiecke jeweils gleich sind, gilt c² = a² + b². Algebraisch folgt aus (a + b)² = 2ab + c² nach Ausmultiplizieren und Abziehen von 2ab dieselbe Gleichung.

Der chinesische Flächenbeweis verwendet ebenfalls vier gleiche Dreiecke. Für a = 3 und b = 4 hat das innere Hypotenusenquadrat die Fläche 4 · (3 · 4)/2 + (3 − 4)² = 25, also c = 5. Allgemein gilt c² = 4 · ab/2 + (a − b)² = a² + b².

Weitere Beweisideen sind:

• Bei einer Scherung werden Kathetenquadrate flächengleich in Parallelogramme und schließlich in zwei Rechtecke verwandelt, die zusammen das Hypotenusenquadrat ausfüllen.

• Eine Parkettierung überdeckt die Ebene einerseits mit Kathetenquadraten der Flächen a² und b² und andererseits mit Hypotenusenquadraten der Fläche c².

• Ein Ähnlichkeitsbeweis nutzt die drei ähnlichen Dreiecke, die durch die Höhe auf der Hypotenuse entstehen. Die Addition der beiden Varianten des Kathetensatzes ergibt den Satz des Pythagoras.

• Im Vektorbeweis gilt für orthogonale Vektoren a⃗ und b⃗ wegen a⃗ · b⃗ = 0: |a⃗ + b⃗|² = |a⃗|² + |b⃗|².

Die Umkehrung kann bewiesen werden, indem man zu Seiten a und b ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert. Seine Hypotenuse ist √(a² + b²) = c. Nach dem Kongruenzsatz SSS stimmt es mit dem Ausgangsdreieck überein, das deshalb ebenfalls rechtwinklig ist.

Verallgemeinerungen und Grenzen

Der Kosinussatz gilt für beliebige Dreiecke:

c² = a² + b² − 2ab · cos γ,

wobei γ der Winkel zwischen a und b ist. Für γ = 90° ist cos γ = 0, sodass der Satz des Pythagoras entsteht. Für einen spitzen Winkel gilt c² < a² + b², für einen stumpfen Winkel c² > a² + b².

Thabit ibn Qurras Verallgemeinerung ordnet einem beliebigen Dreieck ein Rechteck über der dritten Seite zu, dessen Fläche der Summe der Quadrate über den beiden anderen Seiten entspricht. Mit den konstruierten Strecken r und s gilt c(r + s) = a² + b². Beim rechten Winkel ist c = r + s, wodurch wieder der Satz des Pythagoras folgt. Die Konstruktion stellt zugleich den Korrekturterm des Kosinussatzes geometrisch dar.

Nach dem Flächensatz von Pappus ergeben zwei beliebige Parallelogramme über zwei Seiten eines Dreiecks ein eindeutig bestimmtes Parallelogramm über der dritten Seite, dessen Fläche der Summe ihrer Flächen entspricht. Bei Quadraten und einem rechtwinkligen Dreieck erhält man den Satz des Pythagoras.

Statt Quadraten können über den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks beliebige zueinander ähnliche Figuren errichtet werden. Haben sie die Flächen A, B und C, so folgt aus A/a² = B/b² = C/c² und a² + b² = c² die Beziehung A + B = C. Dies gilt auch für konkave Polygone und ähnliche Figuren mit gekrümmten Grenzen, etwa Kreise oder Halbkreise.

In einem Skalarproduktraum gilt für orthogonale Vektoren u und v:

‖u + v‖² = ‖u‖² + ‖v‖².

Für paarweise orthogonale Vektoren u₁, …, uₙ erweitert sich dies zu ‖Σuₖ‖² = Σ‖uₖ‖². Eine entsprechende Aussage gilt unter den genannten Konvergenzbedingungen auch für unendliche Summen. Weitere verwandte Verallgemeinerungen sind unter anderem die Parallelogrammidentität, der Satz von Stewart und der räumliche Satz von de Gua.

In nichteuklidischen Geometrien, etwa auf einer Kugeloberfläche oder in gekrümmten Räumen, gilt der Satz in dieser Form nicht. Dort gilt das Parallelenaxiom nicht und die Winkelsumme eines Dreiecks kann von 180° abweichen.

Historischer Hintergrund

Die mathematische Aussage war lange vor Pythagoras bekannt. Eine babylonische Keilschrifttafel aus der Zeit der Hammurabi-Dynastie, etwa 1829 bis 1530 v. Chr., verwendet sie im Sexagesimalsystem zur Berechnung einer Länge. Die Tafel Plimpton 322 enthält 15 pythagoreische Tripel, darunter (56, 90, 106), (119, 120, 169) und (12709, 13500, 18541). Ein Interesse an einem allgemeinen Beweis ist aus den babylonischen Quellen jedoch nicht erkennbar.

Indische Sulbasutras aus ungefähr dem 6. bis 4. Jahrhundert v. Chr. nennen pythagoreische Tripel und formulieren und verwenden den Satz allgemein; wie er begründet wurde, ist unsicher. In China war er als Satz der Gougu bekannt. Das Zhoubi suanjing veranschaulicht ihn am Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5. Im Jiu Zhang Suanshu aus dem 1. Jahrhundert n. Chr. wird er angewendet; Liu Hui gab im 3. Jahrhundert wohl einen Zerlegungsbeweis an.

Welche Rolle Pythagoras von Samos im 6. Jahrhundert v. Chr. spielte, ist stark umstritten. Möglich ist, dass er orientalisches Wissen vermittelte, den Satz unabhängig entdeckte, erstmals bewies, nur einen Spezialfall kannte oder selbst gar keine Rolle spielte und erst spätere Pythagoreer einen Beweis fanden. Der historisch nachweisbare Zusammenhang ist schwach. Euklid bewies den Satz im 4. Jahrhundert v. Chr., verband ihn aber nicht namentlich mit Pythagoras. Die spätere Überlieferung schrieb Pythagoras die Entdeckung oder den Beweis zu; ein sicherer Nachweis dafür fehlt.

Anschauliches Flüssigkeitsmodell

Ein verbreitetes Anschauungsmodell befestigt an den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks flache, durchsichtige Behälter gleicher Tiefe t. Ihre quadratischen Grundflächen entsprechen den Katheten- und Hypotenusenquadraten, ihre Volumina sind daher a² · t, b² · t und c² · t. Dreht man das Modell, fließt das Wasser aus den beiden vollständig gefüllten Kathetenbehältern genau in den Hypotenusenbehälter und füllt ihn vollständig. Damit gilt a² · t + b² · t = c² · t. Nach Division durch t bleibt a² + b² = c².