Umfang (Geometrie)

Definition und Grundidee

Der Umfang einer ebenen Figur ist die Länge ihrer Begrenzungslinie. Bei Figuren mit geraden Seiten erhält man ihn, indem man die Längen aller Randseiten addiert. Der Umfang eines Vielecks ist daher die Summe seiner Seitenlängen.

Wichtige Umfangsformeln

Für ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b gilt:

u = 2·a + 2·b = 2·(a + b)

Für einen Kreis gilt:

u = π·d = 2πr

Dabei bezeichnet u den Umfang, r den Radius, d den Kreisdurchmesser und π die Kreiszahl mit dem Wert 3,14159265….

Umfang einer Parameterkurve

Ist die Begrenzungslinie eine geschlossene, stückweise glatte Parameterkurve γ: [a,b] → ℝ² mit

γ(t) = (x(t), y(t)),

so wird ihr Umfang durch ein Integral berechnet:

u = ∫ₐᵇ √(x′(t)² + y′(t)²) dt.

Die Ableitungen x′(t) und y′(t) beschreiben dabei die Änderung der beiden Koordinaten entlang der Kurve.

Beispiel Herzkurve

Eine Herzkurve kann für t ∈ [0,2π] durch

x(t) = 2a cos(t)(1 + cos(t)) y(t) = 2a sin(t)(1 + cos(t))

beschrieben werden. Ihr Umfang ergibt sich aus

u = ∫₀²π √(x′(t)² + y′(t)²) dt = 16a.

Für a = 1 beträgt der Umfang somit 16.