Trapez (Geometrie)

Grundbegriff und Bezeichnungen

Ein Trapez ist ein ebenes Viereck mit mindestens zwei parallel zueinander liegenden Seiten. Die beiden parallelen Seiten heißen Grundseiten; eine davon, meist die längere, wird häufig als Basis bezeichnet. Die beiden übrigen Seiten heißen Schenkel. Der Abstand der Grundseiten ist die Höhe h.

Üblicherweise werden die Ecken mit A, B, C und D, die Seiten mit a, b, c und d sowie die Innenwinkel mit α, β, γ und δ bezeichnet. Die Diagonalen heißen e und f. Ihr Schnittpunkt wird mit S bezeichnet. Die Mittellinie m verbindet die Seitenmitten von AD und BC.

Allgemeine Eigenschaften

In jedem Trapez gibt es zwei Paare benachbarter Supplementwinkel; ihre Summen betragen jeweils 180°.

Jedes konvexe Trapez besitzt zwei Diagonalen. Diese schneiden einander im gleichen Verhältnis:

DS/BS = CS/AS.

Die Diagonalen zerlegen das Trapez in vier Dreiecke. Die Dreiecke DCS und ABS sind ähnlich, weil sie gleiche Winkel besitzen: Scheitelwinkel sowie Wechselwinkel an parallelen Geraden. Daraus folgt unmittelbar das gleiche Teilungsverhältnis der Diagonalen. Die Dreiecke ADS und BCS sind flächengleich. Dies folgt daraus, dass die Dreiecke ABC und ABD wegen gleicher Grundseite und gleicher Höhe flächengleich sind; zieht man von beiden das gemeinsame Dreieck ABS ab, bleiben ADS und BCS übrig.

Ein Trapez kann konvex oder überschlagen sein. Überschlagene Trapeze werden normalerweise nicht zu den gewöhnlichen beziehungsweise „echten“ Trapezen gerechnet.

Wichtige Formeln

Für die parallelen Seiten a und c, die Höhe h, die Mittellinie m und die Seiten b und d gelten:

Flächeninhalt: A = ((a + c) · h)/2 = m · h.

Höhe aus dem Flächeninhalt: h = 2A/(a + c).

Höhe aus einer Seitenlänge und einem Winkel: h = b · sin(β) = b · sin(γ) = d · sin(δ) = d · sin(α).

Höhe aus den Seitenlängen für a ≠ c: h = 2/|a − c| · √(s · (s − |a − c|) · (s − b) · (s − d)), mit s = (|a − c| + b + d)/2.

Umfang: U = a + b + c + d.

Die Diagonalenlängen für a ≠ c sind:

e = √((a · d² + a² · c − a · c² − c · b²)/(a − c)),

f = √((a · b² + a² · c − a · c² − c · d²)/(a − c)).

Für die Innenwinkel gilt α + δ = β + γ = 180°.

Die Koordinaten des Schwerpunkts S_T werden mit der im Artikel verwendeten Größe ξ durch folgende Beziehungen angegeben:

x_ST = (a² − c² + ξ(a + 2c))/(3(a + c)),

y_ST = (h/3) · (a + 2c)/(a + c).

Die Flächenformel entsteht, indem man zwei kongruente Trapeze zu einem Parallelogramm ergänzt. Das Trapez ist dann halb so groß wie ein Parallelogramm mit gleicher Höhe und der Grundseite a + c. Die Höhenformel aus den Seitenlängen lässt sich aus der heronischen Formel für die Dreiecksfläche herleiten; die Diagonalenformeln beruhen auf dem Kosinussatz.

Gleichschenkliges und symmetrisches Trapez

Ein Trapez wird in Lehrbüchern auf mehrere, teilweise unterschiedliche Weisen als gleichschenklig charakterisiert:

• Die beiden Seiten, die keine Grundseiten sind, sind gleich lang.
• Die beiden Innenwinkel an einer der parallelen Seiten sind gleich groß.
• Das Trapez besitzt eine zu einer Seite senkrechte Symmetrieachse.

Die beiden letzten Charakterisierungen sind gleichwertig. Wegen seiner Achsensymmetrie wird ein solches Trapez auch symmetrisches Trapez genannt. Dann sind die Innenwinkel an beiden parallelen Seiten jeweils gleich groß und die beiden Diagonalen gleich lang. Die erste Definition schließt formal auch Parallelogramme ein; diese werden manchmal, obwohl nicht ausdrücklich, ausgeschlossen.

Die Eckpunkte eines symmetrischen Trapezes liegen auf einem Kreis k. Es ist daher ein Sehnenviereck. Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten. Die Höhe h durch den Umkreismittelpunkt M zerlegt das Trapez in zwei spiegelsymmetrische Teile.

Ein Trapez, das zwei der Eigenschaften rechtwinklig, punktsymmetrisch beziehungsweise parallelogrammförmig und achsensymmetrisch besitzt, hat automatisch auch die dritte Eigenschaft und ist damit ein Rechteck.

Quadratisches Mittel

Eine zur Grundseite parallele Strecke p, die ein Trapez in zwei flächengleiche Teil-Trapeze teilt, ist das quadratische Mittel der Längen seiner parallelen Grundseiten. Werden diese Grundseiten in diesem Zusammenhang mit a und b bezeichnet, gilt:

p² = (a² + b²)/2,

also

p = √((a² + b²)/2).

Der Strahlensatz liefert für die Flächen der in der Herleitung verwendeten Figuren das Verhältnis A_a : A_p : A_b = a² : p² : b². Weil A_a − A_p = A_p − A_b gilt, ist A_p = (A_a + A_b)/2. Daraus folgt die angegebene Formel.

Rechtwinklige und überschlagene Formen

Ein rechtwinkliges oder orthogonales Trapez besitzt mindestens einen rechten Innenwinkel. Da die Winkel an einer Grundseite zusammenliegen, besitzt es immer mindestens zwei nebeneinanderliegende rechte Winkel. Ein Rechteck ist ein Spezialfall und hat vier rechte Innenwinkel.

Beim überschlagenen oder verschränkten Trapez werden nicht die gleichseitigen Enden der Grundseiten mit den übrigen Seiten verbunden, sondern gegenüberliegende Enden. Die verbindenden Seiten überkreuzen sich im Mittelpunkt M. Ein solches Viereck kann aus den Grundseiten und den Diagonalen eines konvexen Trapezes aufgefasst werden. Die beiden Teilflächen sind ähnliche Dreiecke.

Der Flächeninhalt als Summe der beiden Dreiecksflächen beträgt

A = (h/2) · (a² + c²)/(a + c).

Ist das überschlagene Trapez zusätzlich rechtwinklig, besteht es aus zwei rechtwinkligen Dreiecken, die sich an einer Ecke berühren. In der Geodäsie werden solche Figuren zur Flächenberechnung verwendet, beispielsweise bei Orthogonalaufnahmen. Die Differenz ihrer Flächeninhalte ist

A_Δ = A_D1 − A_D2 = h(a − c)/2,

mit h = BC. Diese Fläche ist vorzeichenbehaftet. Dadurch entfallen bei Flächenberechnungen nach der Gaußschen Trapezformel Fallunterscheidungen, wenn eine Umringsseite die Bezugslinie schneidet.