Das Video kommt von YouTube: erst beim Abspielen verbindet sich die Seite mit YouTube (Google).
Extremwertaufgaben mit Funktionen – maximaler Flächeninhalt Rechteck unter Parabel
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 88 Zeilen
- hallo in diesem video möchte ich einen extremwert aufgabe mit euch durchgehend die folgendermaßen lautet dem oberhalb der x-achse liegenden abschnitt der
- parabel mit der gleich um die so aussieht ist ein rechteck mit maximalen inhalt einzuschreiben nicht weggehen wie ging es schritt für schritt durch was
- das bedeutet keine panik wie groß ist der flächen inhalt dieses rechtecks also falls es euch so gehen sollte wie mir gerade das man einfach gar nichts
- versteht von dem was die von einem wollen dann keine panik wir schauen uns das jetzt schritt für schritt an worum ist hier gibt ich finde die aufgaben
- sind immer sehr kompliziert gestellt aber vielleicht gibt's auch nur mir so es geht um eine parabel und diese gleichung bekommen wir auch ok dann
- lasst uns diese parabel einfach mal zeichnen das ist wie sokurow wissen worum es geht die parabel gleichung ist gegeben allerdings ist die nicht ganz so
- einfach so zu zeichnen finde ich wie die da steht man ist es eigentlich gewohnt dass der teil mit ex quadrat zuerst da steht also würden wir mal - quadrat +4
- draus machen dann sieht man nämlich das normalerweise steht da ja nur iks quadrat dann wissen wir dass die parabel jesu im ursprung liegt aber - ecs
- quadrat bedeutet dass sie nach unten geöffnet ist und das plus 4 bedeutete dann noch dass sie nicht hier unten im ursprung liegt sein und wie er nach oben
- verschoben worden ist also ungefähr so aussieht so viel erstmal zur parabel die habe ich jetzt mal ein bisschen schöner gezeichnet so sieht das ding aus worum
- geht s jetzt oberhalb der x-achse in diesem abschnitt also oberhalb der x-achse bedeutet hier drüber in diesem abschnitt soll jetzt
- ein rechteck 1 beschrieben werden mit maximalem inhalt also hier rein soll jetzt irgendwo ein rechteck das möglichst groß werden soll und diesen
- flächen inhalt sollen wir dann auch berechnen man kann jetzt hier verschiedene rechte ecke ein beschreiben ein buch schreiben bedeutet wir starten
- man hier unten und gehen einfach mal zu eins ist jetzt einfach nur ein beispiel für ein mögliches rechteck dann geht man von der einst hoch bis zur parabel da es
- an der nächste eckpunkt dann rechteck bedeutet dass man hier so rüber geht bis zur parabel wieder und dann wieder runter dann sind wir bei der -1 und dann
- schließen wir das ganze das wäre ein mögliches rechteck das jetzt zwischen der x-achse und unserer parabel liegt das hat einen bestimmten flächen inhalt
- den könnte man ausrechnen aber ob es das rechteck mit dem größten flächen inhalt ist keine ahnung das wissen wir nicht wie könnte man auch ein anderes zeichnen
- und sagen ja wir gehen gar nicht mehr nur bis zur einzel gehen x tekken länger und gehen dann hoch bis zur parabel wie gesagt dann schönes rechteck draus
- machen auch hier bis zur parabel und wieder runter das ist ein anderes rechteck das hat einen anderen flächen inhalt sie deutlich kleiner aus als das
- was wir eben hatten aber ist auf jeden fall eine möglichkeit das heißt es gibt ganz viele verschiedene rechtecke wir sollen das
- aber das größte rechteck finden und damit wir das maximum finden können bräuchten wir mal eine funktion die uns auch den flächen inhalt an gibt weil wir
- den maximalen flächen inhalt finden sollen wäre es cool wenn wir überhaupt mal eine formel hätten oder eine funktion hätten für unseren flächen
- inhalt und dann suchen wir halt noch das maximum also den hochpunkt von dieser funktion also als allererstes brauchen wir jetzt mal eine formel für den
- flächen inhalt ich habe dazu jetzt mal noch mal irgendein rechteckige zeichnet damit dass sauber aussieht und wir wollen jetzt mal den flächen inhalt
- davon angeben also groß ist hermann flächen inhalt wie berechnet man den von so einem rechteck hier unten die seite x dieser seite wie lang ist diese seite
- das ist jetzt nun es gibt es von irgendeinem rechteck also jetzt nicht sagen oh das ist hier bei 15 hier unten oder so das steht jetzt für
- irgend ein rechteck das kann jedes sein deswegen sagt ich mache ich nenne die stelle hier unten auf der x-achse diene nicht mal die canon von null bis a der
- teil hier wäre also lang und meine seite von hier unten wäre dann im plus also zwei lang das wäre die eine seite von meinem rechteck und das muss ich jetzt
- noch mit der höhe des rechtecks multiplizieren und da das feld auf uns ein bisschen schwer was jetzt die höhe von meinem richtiger
- ist ja hier unten mai nix wert und ich laufe wie hoch bis zur parabel auf ich hier hoch das heißt wenn ich den ypsilon wert von diesem punkt hier kennen würde
- dann wüsste ich wie hoch ich gelaufen bin und wie kann man den ypsilon wert berechnen naja wie heißt der punkt denn hier welche koordinaten hat der denn von
- der iks koordinate ist es bei und welche y koordinaten hat der die kann ich ja ausrechnen indem ich einfach in die parabel einsätze denn dann kriege
- ich ja den ypsilon wert von dieser stelle also wenn ich es von a berechne dann weiß ich wie hoch ich hier gelaufen bin das ist meine saison wird also es
- von a steht ja für den ypsilon wert wenn ich eben einsätze und dass wenn ich das berechne weiß ich wie hoch ich hier gelaufen bin was ist denn es von a das
- bedeutet einfach nur dass ich in meiner parabel gleichung einsätze also hier für jede six einfach einsetzen das wären 4 - a quadrat das wäre hier meine höhe weil
- das eben eine funktions wert an dieser stelle ist und durch das die höhe dann werde ich das einfach hier in meinen flächen
- inhalt reinpacken also vier quadrat schöne klammer drumrum damit eben dass da mit alldem multipliziert wird und diese klammern kann ich jetzt noch ein
- bisschen also das ist jetzt schon die formel für meinen flächen inhalt nur ich würde noch ein bisschen vereinfachen also die klammer auflösen zwei mal vier
- wären ja 8a und das minus dann zwei mal auf zwei wären 23 das wäre doch jetzt eine sehr schöne formel für meinen flächen inhalt sehr
- gut denn wir sollten jetzt den maximalen flächen inhalt finden wir haben jetzt nur mal so in abhängigkeit von a eine formel für den flächen inhalt und jetzt
- suchen wir von dieser funktion einfach nur noch das maximum also schnappen wir uns unsere funktion diesen flächen inhalt sollen wir maximieren steht jetzt
- hier wieder ich habe jetzt hier aa von aaa geschrieben weil wir haben ja eine funktion in are und da kann man das von einfach noch schreiben also könnte das
- ja auch weglassen und nur abschreiben aber so als funktion ist man das eher gewohnt wie finden wir jetzt das maximum mit der ersten und zweiten ableitung wir
- leiten diese funktion hier einmal ab bedeutet nach ableiten wenn wir ableiten fällt hier das einfach nur weg weil er nur ein adler stand dann ist die
- ableitung einfach nur die acht und hier hinten was passiert da die hoch zahl wird mit der zahl vorne dran multipliziert also dreimal 2006 und die
- hoch war wird als kleiner gemacht also aus aarau 3 wird hoch zwei schon die erste ableitung die zweite machen wir gerade noch mit dazu weil mit der
- überprüfen wir das ganze dann ja die acht da ist gar keiner mehr drin die fällt komplett weg beim ableiten und hier das minus bleibt zwei mal sechs
- wären 12 und die hohe zahl wird ein kleiner aus einer 2 wird eine 1 oder einfach nur ok um das maximum zu finden schnappen
- wir uns jetzt unsere erste ableitung und setzen sie gleich neue die beiden stehen jetzt hier wir erster und zweiter ableitung wir nehmen uns die erste und
- setzten die gleich null und gelesen dass jetzt nach auf indem wir vielleicht +6 quadrat rechnen dann steht 0 + 6 a
- quadrat also 6a quadrat gleich acht noch dann teilen wir noch durch sechs dann steht das quadrat alleine und hier steht 8 durch sechs das kann man aber noch
- kürzen mit 2 dann hätten wir vier drittel dastehen und jetzt ziehen wir noch die wurzel damit das quadrat
- weggeht dann steht es alleine und auf der anderen seite hätten wir zwei lösungen nämlich einmal plus und minus die wurzel aus vier drittel also ihr
- könnt es auch aufteilen dass er sagt wir bekommen eine positive lösung also wurzel aus vier dritte und wir bekommen zusätzlich noch eine negative lösung
- nämlich - die wurzel aus vier dritte was können wir jetzt mit dieser negativen lösung anfangen nix denn wir haben gesagt unser a liegt rechts neben
- der 0 im positiven bereich deswegen können wir die negative lösung ignorieren jetzt müssen wir nur hier schauen ist es auch wirklich an dieser
- stelle ein maximum deswegen muss das noch in die zweite ableitung rein weil die bestätigt uns jetzt hoffentlich dass das hier ein maximum ist also anstrich
- strich von wurzel von vier drittel berechnen wir jetzt das heißt für das a setzen wir wurzel von vier drittel ein und wichtig also wenn ihr keinen
- taschenrechner hat ist es gar nicht schlimm wie ihr seht gehen wir das die ganze zeit ohne taschenrechner durch wichtig bei der zweite ableitung ist
- dann nur dass die kleiner als 0 ist was wir sehen weil sie hier negativ ist und dann wissen wir dass das ein maximum war also hat uns die zweite ableitung
- bestätigt dass an dieser stelle ein maximum vorliegt also bei wurzel von vier dritteln wissen wir wenn das unser wird dann haben wir einen maximalen
- flächen inhalt denn wir haben das maximum von diesen flächen inhalt berechnet zum zeichnen ist es jetzt nicht so angenehm wurzel von vier
- drittel denn man weiß nicht so genau was es ist wenn ihr ein taschenrechner habt gibt es ein das ist ungefähr 115 man muss ist nicht wissen was das ist man
- kann die aufgabe auch ohne taschenrechner lösen kommt immer darauf an ob ihr einen benutzen dürfen oder eben nicht aber das wäre jetzt schon mal
- das rechteck gezeichnet mit maximalem flächen inhalt also hier bei ungefähr 1,15 hätten wir das größtmögliche rechte gefunden das war
- aber nicht alles was gesucht war sondern in der aufgabe stand berechnet dann auch noch diesen maximalen flächen inhalt und deswegen müssen wir die 115 jetzt auch
- noch in unseren flächen inhalt einsetzen bzw vielleicht nicht die 115 sondern den exakten wert nämlich die wurzel von vier
- dritte also machen wir das noch hier ist die formel für den flächen inhalt hier ist der wert der diesen flächen inhalt maximiert und wir packen den jetzt rein
- um den größtmöglichen flächen inhalt auszurechnen also berechnen wir von wurzel von vier dritteln das wäre in jedes was wir haben
- kommt eben wurzel von vier drittel rein und auch da hinten in das a bisserl von vier dritte und das ganze dann hoch drei auch hier wenn ihr einen taschenrechner
- hard to sign rechnet aus da kommt dann ungefähr 6,16 raus wenn ihr keinen habt verschönert das ganze hier vielleicht
- noch das gehen wir mal noch gemeinsam tue ich man kann nämlich ein bisschen was machen hier vorne das würden wir mal so den lassen wenn ihr zeitdruck hab
- dann lass es einfach so stehen dann bekommt ihr vielleicht einen kleinen punktabzug aber wenn ihr noch ein bisschen zeit habt dann kann man das
- noch ein bisschen schöner machen denn hier hinten dieses wurzel von vier drittel hoch drei bedeutet ja dass er steht kurz neben rechnung wurzel von
- vier drittel wird x vossloh von vier drittel wird nochmal multipliziert von wurzeln 4 und wenn man zwei wurzeln miteinander
- multipliziert fällt ja einfach die wurzel beck und da kommt ja vierte wieder raus also oder hinten detail heißt eigentlich vier dritte mal wurzel
- von 4 das sieht nämlich besser aus denn jetzt ist es so dass wir hier vier dritte drin
- haben hier vorne und da hinten auch juristisch von vier dritte und es bedeutet dass wir das ausklammern können und den rest einfach zusammen rechnen
- können also wurzel von vierte ziehen wir aus übrig hier vorne bleibt die acht übrig da hinten bleibt zwei mal vier wären acht dritte
- und jetzt müssen wir nur noch die beiden hier zusammen rechnen und dann sind wir fertig also musste von 4 3 vorne und acht -8 rätsel okay die acht
- müssen wir zu einem bruch umschreiben das wären acht einzel das müssen wir dann auf dritte bringen damit es passt einmal drei sind 38 mal
- 324 dann hätten wir also 24 drittel - 8 drittel das wären 16 dritte und das wäre das ergebnis von hier unten wenn ihr es schön machen wollte und keinen
- taschenrechner zugefügt hat okay dann wäre das auf jeden fall unser flächen inhalt vielleicht schreibt ihr hintendran noch flächen einheiten damit
- ihr euren lehrer glücklich macht und das wäre dann das ergebnis also gleich 11 füllen bekommen wir den größtmöglichen flächen inhalt von 6,16
- flächen einheiten ab und zu sind noch nach den abmessungen gefragt dann wäre das die eine seite wäre eben das doppelte von den 115 also 2,3
- und hier das könnte man auch noch ausrechnen indem man diese 115 geben in die funktion einsetzen dass wir schon gesehen hatten und wenn ihr das macht
- kommt man auf 2,968 also das werden die abmessungen des rechtecks mit größtmöglichen frechen inhalt sehr gut dann hoffe ich dass wir noch mit dabei
- seid herzlichen glückwunsch an der stelle an euch vorher durchhaltevermögen und wir sehen uns dann bei dem nächsten video macht's gut
Zum Nachlesen
AnalysisDiesen Quotienten nennt man den Differenzenquotienten oder mittlere Änderungsrate. Wenn wir nun die Stelle x 1 {\displaystyle x_{1}} {\displaystyle x_{1} …
MathematikAn deutschen Universitäten gehört die Mathematik meistens zur selben Fakultät wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der Promotion in der …