Diskriminante

Bedeutung und quadratische Gleichungen

Eine Diskriminante ist ein Rechenausdruck, mit dem sich Aussagen über Anzahl und Art der Lösungen einer algebraischen Gleichung treffen lassen. Besonders wichtig ist sie bei quadratischen Gleichungen.

Für ax^{2}+bx+c=0 mit reellen Koeffizienten und a\ne0 lautet die Mitternachtsformel x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante: D=b^{2}-4ac.

• Bei D>0 gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen x_1 und x_2.
• Bei D=0 gibt es genau eine reelle Lösung. Sie hat die Vielfachheit 2, ist also eine doppelte Nullstelle.
• Bei D<0 gibt es keine reelle Lösung, weil die Quadratwurzel in \mathbb R nicht existiert. Über den komplexen Zahlen gibt es dann zwei nicht-reelle, zueinander konjugiert komplexe Lösungen.

Allgemeiner Begriff über Nullstellen

Sei p_n=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb+a_1x+a_0\in\mathbb R[x] mit a_n\ne0 und den Nullstellen x_1,\dotsc,x_n. Einige dieser Nullstellen können komplex sein. Der Fundamentalsatz der Algebra sichert ihre Existenz.

Das Differenzprodukt \prod_{i<j}(x_i-x_j) besteht aus \binom n2=\frac{n(n-1)}2 Faktoren, je einem für jedes Nullstellenpaar. Es ist genau dann 0, wenn mindestens eine Nullstelle mehrfach vorkommt. Seine Reihenfolge ist jedoch nicht symmetrisch: Beim Umnummerieren der Nullstellen kann sich sein Vorzeichen ändern.

Deshalb betrachtet man das Quadrat aller Differenzen. Die Diskriminante von p_n ist D_n:=a_n^{2n-2}\prod_{i<j}(x_i-x_j)^2=\left(a_n^{n-1}\prod_{i<j}(x_i-x_j)\right)^2. Sie verschwindet genau dann, wenn das Polynom eine mehrfache Nullstelle hat. Bis auf den Normierungsfaktor a_n^{2(n-1)} ist sie ein ganzzahliges homogenes symmetrisches Polynom vom Grad n(n-1) in den Nullstellen.

Formeln für quadratische und kubische Polynome

Für p_2=ax^2+bx+c gilt D_2=a^2(x_1-x_2)^2=b^2-4ac. Dies folgt mit dem Satz von Vieta. Das quadratische Polynom besitzt somit genau dann eine doppelte Nullstelle, wenn b^2-4ac=0 ist.

Für p_3=ax^3+bx^2+cx+d ist D_3=a^4(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2 und als Ausdruck der Koeffizienten D_3=b^2c^2-4ac^3-4b^3d+18abcd-27a^2d^2. Für die vereinfachte Form x^3+cx+d wird daraus D_3=-4c^3-27d^2.

Jede kubische Gleichung ax^3+bx^2+cx+d=0 lässt sich nach Division durch a und der Substitution y=x+\frac{b}{3a} auf y^3+3py+2q=0 bringen. Dann gilt D_3=-108a^4(p^3+q^2). Das reduzierte kubische Polynom hat genau dann eine mehrfache Nullstelle, wenn p^3+q^2=0 gilt. In Schulbüchern wird häufig p^3+q^2 selbst als Diskriminante bezeichnet; der Faktor -108a^4 bleibt dabei unberücksichtigt.

Für Polynome beliebigen Grades kann D_n mithilfe der Theorie symmetrischer Polynome und des Satzes von Vieta eindeutig als polynomiale Funktion der Koeffizienten dargestellt werden.

Vorzeichen und Normierung

Sind alle Nullstellen eines Polynoms reell, dann gilt D\geq0, da alle quadrierten Differenzen nichtnegativ sind. Bei quadratischen und kubischen Polynomen gilt auch die Umkehrung: Aus D\geq0 folgt, dass alle Nullstellen reell sind.

Bei Polynomen höheren Grades gilt diese Umkehrung nicht. Das Polynom p_4=x^4+4 hat die Nullstellen 1+\mathrm i, 1-\mathrm i, -1+\mathrm i und -1-\mathrm i. Seine Diskriminante beträgt 16384 und ist positiv, obwohl keine Nullstelle reell ist.

Der Faktor a_n^{2n-2} in der Definition sorgt dafür, dass bei Anwendung des Satzes von Vieta die Nenner verschwinden und die Diskriminante ein Polynom in a_0,a_1,\dotsc,a_n ist. Je nach Kontext werden auch Faktoren (-1)^{n(n-1)/2}a_n^{2n-2}, (-1)^{n(n-1)/2}a_n^{2n-1}, a_n^{2n-1} oder gar kein Normierungsfaktor verwendet. Bei Varianten mit einem Vorzeichenfaktor können Aussagen über das Vorzeichen der Diskriminante verändert werden; bei der dritten Variante geschieht dies auch, wenn a_n negativ ist.

Definition mit Resultante

Für ein univariates Polynom f=f_0+f_1X+\dotsb+f_nX^n\in R[X] über einem kommutativen unitären Ring wird die Diskriminante durch die Resultante von f und seiner Ableitung f' definiert: f_n\operatorname{Disk}(f)=(-1)^{\frac{n(n-1)}2}\operatorname{Res}(f,f'). Sie wird auch mit \Delta(f) bezeichnet.

Ist R=K ein Körper und f_n=1, dann gilt für die Nullstellen x_1,\dotsc,x_n in einem algebraischen Abschluss oder Zerfällungskörper: \operatorname{Disk}(f)=\prod_{i<j}(x_i-x_j)^2. Oft wird die Diskriminante ohne den Faktor (-1)^{\frac{n(n-1)}2} definiert; dann muss dieser Faktor bei der Berechnung aus den Nullstellen ergänzt werden.

Die Resultante von f und f' ist die Determinante einer (2n-1)\times(2n-1)-Matrix, deren Zeilen aus den Koeffizienten von f beziehungsweise f' entstehen. Da ihre erste Spalte nur Vielfache von f_n enthält, lässt sich f_n als Faktor aus der Determinante abspalten.