Lösungsmenge

Definition und Einteilung

Eine Lösungsmenge, auch Erfüllungsmenge genannt, ist die Menge aller Belegungen der Variablen, für die eine Gleichung, Ungleichung, ein Gleichungssystem oder allgemein eine Menge logischer Aussagen wahr ist. Die Variablen werden auch Unbekannte genannt. Üblicherweise wird die Lösungsmenge mit L oder ℒ bezeichnet.

Die Größe der Lösungsmenge bestimmt ihre Einteilung:

|L| = 0: Es gibt keine Lösung. Die Aussagen sind unerfüllbar, und die Lösungsmenge ist leer.
|L| = 1: Es gibt genau eine Lösung. Die Aussagen sind eindeutig erfüllbar, und die Lösungsmenge besteht aus genau einem Element.
|L| > 1: Es gibt mehrere, möglicherweise unendlich viele, Lösungen. Die Aussagen sind erfüllbar, aber nicht eindeutig.

Eine Lösungsmenge hängt immer von den festgelegten Randbedingungen ab, insbesondere vom Zahlenbereich, in dem die Variablen liegen. Die Gleichung x² = −1 hat für x ∈ ℝ keine Lösung, für x ∈ ℂ jedoch zwei Lösungen.

Eindeutigkeit durch Zusatzbedingungen

Wenn eine Gleichung mehrere Lösungen besitzt, kann durch eine zusätzliche Randbedingung eine Lösung besonders ausgezeichnet werden. Für a > 0 hat die Gleichung x² = a stets zwei verschiedene reelle Lösungen x₁ und x₂. Die Lösungsmenge ist dann L = {x₁, x₂}; eine Lösung ist positiv und die andere negativ.

Durch die Zusatzbedingung x > 0 wird die positive Lösung eindeutig ausgewählt. Auf diese Weise wird die Wurzel von a als die eindeutige positive Lösung der Gleichung x² = a definiert. Ebenso könnte die negative Lösung durch die Bedingung x < 0 ausgezeichnet werden. Solche Zusatzbedingungen sind jedoch nicht bei allen Problemstellungen sinnvoll möglich.

Lösungsraum bei linearen Gleichungssystemen

Bei einem homogenen linearen Gleichungssystem besitzt die Lösungsmenge immer die Struktur eines Vektorraums. Bei einem inhomogenen linearen Gleichungssystem ist sie ein affiner Raum. Wenn eine Lösungsmenge eine solche Struktur hat, spricht man auch von einem Lösungsraum.

Für das inhomogene lineare Gleichungssystem Ax = b sei A die Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung Φ: V → W zwischen den Vektorräumen V und W, wobei 0 ≠ b ∈ W. Dann gibt es drei Möglichkeiten:

Die Lösungsmenge ist leer. Das geschieht genau dann, wenn b nicht im Bild der Abbildung liegt.
Es gibt genau eine Lösung x. Das ist genau dann der Fall, wenn der Kern K der Abbildung nur aus dem Nullvektor besteht.
Es gibt unendlich viele Lösungen. Ausgehend von einer beliebigen Lösung x₀, der Partikularlösung, erhält man alle Lösungen durch Superposition mit den Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung Ax = 0. Die Lösungsmenge ist der affine Raum x₀ + K.

Typische Beispiele

Für x, y ∈ ℝ gelten unter anderem folgende Beispiele:

x = 1 hat die Lösungsmenge L = {1}.
x + 2 = 5 hat die Lösungsmenge L = {3}.
1/x² = 9 hat die zwei Lösungen −1/3 und 1/3; daher ist L = {−1/3; 1/3}.
x² ≤ 4 hat die Lösungsmenge L = [−2; 2]. Die Lösungsmenge ist hier ein Intervall.
xy = 1 hat die Lösungsmenge L = {(x; 1/x) | x ≠ 0}. Sie besteht aus geordneten Paaren.

Das lineare Gleichungssystem x + 2y = 8 und 2x + y = 7 besitzt die Lösungsmenge L = {(2; 3)}.