Null

Grundidee und Bedeutung

Die Zahl Null ist die Anzahl der Elemente in einer leeren Ansammlung von Objekten, mathematisch die Kardinalität der leeren Menge. Sie bezeichnet also, dass kein Element vorhanden ist. In der Mathematik kann „Null“ je nach Zusammenhang verschiedene Objekte meinen, die aber oft miteinander identifiziert werden, weil ihre Eigenschaften zusammenpassen.

Als Kardinalzahl ist die Null die kleinste Anzahl. Da Kardinalzahlen mit bestimmten Ordinalzahlen verbunden werden, wird die Null in der Mathematik auch als erste Ordinalzahl gewählt, obwohl man im Alltag oft bei eins zu zählen beginnt. Je nach Definition gehört die Null als endliche Kardinal- und Ordinalzahl zu den natürlichen Zahlen.

Auf der Zahlengeraden liegt der Nullpunkt zwischen den positiven und den negativen Zahlen. Die Null ist die einzige reelle Zahl, die weder positiv noch negativ ist. Als ganze Zahl ist sie Nachfolgerin von −1 und Vorgängerin von 1. Außerdem ist die Null gerade. Ihre übliche Darstellung ist die Ziffer „0“. Diese Ziffer war für Stellenwertsysteme wie das Dezimalsystem besonders wichtig, weil sie anzeigen kann, dass ein bestimmter Stellenwert fehlt.

Entwicklung der Null

Die Vorstellung der Null als Zahl entstand nicht sofort. Entscheidend war die Verbindung aus einem Stellenwertsystem, einem Zeichen für eine leere Stelle und der Idee, mit der Null wie mit anderen Zahlen rechnen zu können.

In Babylonien gab es im Sexagesimalsystem, also im Stellenwertsystem zur Basis 60, ein Fehlzeichen für Stellen ohne Wert, besonders in der Perserzeit (539–331 v. Chr.) und Seleukidenzeit (305–63 v. Chr.). Es diente vor allem dazu, Mehrdeutigkeiten zu vermeiden. Eine eigentliche Zahl Null kannten die Babylonier aber noch nicht: In algebraischen Texten wurde bei einem Ergebnis null nur gesagt, dass Minuend und Subtrahend gleich seien.

In Ägypten könnte im 2. Jahrhundert v. Chr. am Horus-Tempel in Edfu eine Hieroglyphe für „nichts“ als Zeichen für eine Seite der Länge null verwendet worden sein; diese Deutung ist jedoch nicht sicher. Die Griechen kannten keine Zahl Null, übernahmen aber in der Astronomie babylonische Sexagesimalbrüche. Klaudios Ptolemaios verwendete im 2. Jahrhundert n. Chr. ein Fehlzeichen o, vermutlich für griechisch οὐδέν, „nichts“. Die Römer hatten Wörter wie nullum und nihil, aber kein Zahlzeichen und keinen eigenen mathematischen Begriff für den Zahlwert Null.

In Indien entstand zwischen 300 v. Chr. und 600 n. Chr. das dezimale Stellenwertsystem mit 0 und Zahlzeichen für 1 bis 9. Seit dem 7. Jahrhundert n. Chr. finden sich Punkt oder Kreis als Symbol für die „Leere“, indisch śūnya beziehungsweise shunya. Brahmagupta gab 628 in seinem Lehrbuch Brāhmasphutasiddhānta Rechenregeln auch für die Null an. Frühe Belege finden sich außerdem in Südostasien, etwa in kambodschanischen Inschriften aus dem 7. Jahrhundert. Das Bakhshali-Manuskript enthält ebenfalls ein Symbol der Null; nach einer 2024 veröffentlichten Radiokarbondatierung stammt es wahrscheinlich aus dem Zeitraum zwischen 799 und 1102.

In China gab es früh ein dezimales Stellenwertsystem mit Rechenstäbchen, aber zunächst kein Fehlzeichen. Die früheste bekannte chinesische Erwähnung eines solchen Zeichens, eines Punktes, stammt aus einer Übersetzung eines indischen astronomischen Textes aus der Zeit von 713 bis 741 n. Chr. In Europa verbreiteten sich die indischen Ziffern über die islamische Mathematik, unter anderem durch al-Chwarizmis Werk Über das Rechnen mit indischen Ziffern um 825. Leonardo Fibonacci machte sie 1202 im Liber abaci in Italien bekannt, nannte die Null aber noch ein Zeichen statt eine Zahl. In der praktischen Rechnung setzte sich ihre Verwendung erst deutlich später, im 17. Jahrhundert, durch.

Unabhängig davon verwendeten auch Kulturen der Neuen Welt Stellenwertsysteme mit einer Nullfunktion. Die Maya nutzten im Vigesimalsystem zur Basis 20 ein Zeichen ähnlich einer Muschel oder einem Schneckenhaus für Stellen mit dem Wert null. Bei den Inka ist ein dezimales Stellenwertsystem in der Knotenschrift Quipu nachgewiesen; eine Stelle ohne Knoten diente als Fehlzeichen.

Schreibweise und Stellenwert

Die Ziffer „0“ steht einzeln für die Zahl Null. In einer mehrstelligen Zahl zeigt sie an, dass der zugehörige Stellenwert nicht vorkommt. Zum Beispiel bedeutet 307 im Dezimalsystem 3 · 100 + 0 · 10 + 7 · 1. Wird eine 0 an eine Ziffernfolge angehängt, wird deren Wert mit der Basis des Stellenwertsystems multipliziert, im Dezimalsystem also mit 10.

Führende Nullen werden normalerweise weggelassen. In formatierten Angaben oder festen Nummern können sie aber wichtig sein, etwa bei Typenangaben wie 001 oder bei Bestellnummern, Rechnungsnummern und Ausweisnummern mit vorgegebener Stellenzahl. Bei Dezimalzahlen werden Nullen nach dem Komma meist weggelassen, wenn ihnen keine weitere Ziffer folgt. Bei Messwerten können sie bewusst stehen bleiben, um die Genauigkeit zu zeigen: 1,200 m bedeutet, dass auf drei Stellen hinter dem Komma gemessen wurde.

Wenn die Ziffer 0 mit dem Großbuchstaben O verwechselt werden könnte, wird sie manchmal mit Schrägstrich oder Punkt gekennzeichnet. Die meisten Schriftarten stellen die Null schmaler oder ovaler dar als das O. In bestimmten Anwendungen wird die Verwechslung zusätzlich durch feste Formate oder den Ausschluss des Buchstabens O vermieden, zum Beispiel bei Ausweisdokumenten, Kennwortgeneratoren oder Seriennummern. Im Amateurfunk ist es üblich, die Null zur Unterscheidung vom Buchstaben O mit einem Schrägstrich als Ø zu schreiben.

Rechenregeln

Die Null ist das neutrale Element der Addition. Das bedeutet: Für jedes Element a gilt a + 0 = a = 0 + a. Ein neutrales Element verändert beim Verknüpfen ein anderes Element nicht. In einem kommutativen Monoid ist die Null als solches neutrales Element eindeutig.

Bei der Subtraktion entsteht Null, wenn eine Zahl von sich selbst abgezogen wird: a − a = 0. Außerdem gilt a − 0 = a und 0 − a = −a.

Bei der Multiplikation gilt a · 0 = 0 = 0 · a. Deshalb heißt die Null ein absorbierendes Element der Multiplikation: Jede Multiplikation mit ihr ergibt wieder Null.

Die Division durch Null ist in der gewöhnlichen Mathematik nicht definiert. Null geteilt durch eine von null verschiedene Zahl ergibt zwar immer null. Aber bei einer Division durch null gibt es kein eindeutiges Ergebnis. Als Umkehrung der Multiplikation würde man für b : a eine Zahl x suchen, sodass a · x = b gilt. Ist a = 0, lautet die Gleichung 0 · x = b. Für b ≠ 0 gibt es keine Lösung, weil 0 · x nie ungleich 0 wird. Für b = 0 ist jede Zahl x eine Lösung, denn 0 · x = 0. In beiden Fällen ist das Ergebnis nicht eindeutig. Deshalb kann man bei reellen oder komplexen Zahlen nicht durch null dividieren.

In der Potenzrechnung gilt für b > 0: 0^b = 0. Für b < 0 ist 0^b nicht definiert. Außerdem gilt per Definition a^0 = 1 für a ≠ 0. Der Ausdruck 0^0 wird entweder undefiniert gelassen oder, wenn es zweckmäßig ist, als 1 definiert. Für die Fakultät gilt wegen des leeren Produkts 0! = 1.

Algebra und Informatik

In der Algebra steht 0 oft für das neutrale Element einer additiven Gruppe, also für ein Element, das bei der Addition nichts verändert. Beispiele sind Nullvektoren und Nullmatrizen. In manchen Strukturen gibt es Nullteiler. Das sind von null verschiedene Elemente, deren Produkt null ist. Im Restklassenring modulo 6 gilt zum Beispiel 2 · 3 = 0. Daraus folgt aber nicht, dass 0 : 2 = 3 ist, denn auch 2 · 0 = 0 gilt. Der Quotient wäre also nicht eindeutig, deshalb kann man nicht sinnvoll durch einen Nullteiler dividieren.

In der Informatik beginnt die Zählung in vielen Programmiersprachen und Programmbibliotheken bei 0: Das erste Element eines ordinalen Datentyps hat dann die Ordnungszahl 0. Das kann zu einem Off-by-one-Error führen, also zu einem Fehler um genau eine Position. Außerdem gibt es sogenannte Nullwerte. Sie sind meist nicht mit der Zahl 0 identisch, sondern bedeuten, dass ein Wert nicht definiert oder ein Datenfeld nicht belegt ist.

Bei Maschinenzahlen gibt es teilweise eine positive Null (+0) und eine negative Null (−0). Bei Gleitkommazahlen ist das meistens der Fall. Die Norm IEEE 754 verlangt für binäre Gleitkommazahlen neben +0 und −0 auch die Sonderwerte NaN, +Inf und −Inf. Die beiden Nullen sind bei numerischen Vergleichen gleich, können aber unterschiedliche Bitmuster haben und bei manchen Berechnungen unterschiedliche Ergebnisse bewirken.

Für Computer muss festgelegt werden, was bei Division durch null geschieht. Bei ganzen Zahlen ist häufig ein Laufzeitfehler üblich. Bei Gleitkommazahlen ist nach IEEE 754 eine Division durch null definiert, weil dort +∞ und −∞ als gesonderte Werte existieren. Die Division ±0/±0 ist jedoch numerisch unbestimmt und ergibt NaN, also „not a number“. In der Mathematik werden solche Werte im Allgemeinen nicht wie gewöhnliche Zahlen verwendet, weil sonst wichtige Rechengesetze, etwa das Distributivgesetz, nicht mehr gelten würden.

Weitere Verwendungen

In der Physik kann der Wert Null je nach Größe eine besondere Rolle spielen. Bei absoluter Temperatur, typischerweise in Kelvin gemessen, ist Null der niedrigstmögliche Wert. Das unterscheidet sich von der Celsius-Skala, bei der Null willkürlich als Gefrierpunkt von Wasser festgelegt ist. Bei Schallintensität in Dezibel oder Phon wird der Nullpunkt ebenfalls auf einen Referenzwert gelegt, etwa auf die Hörschwelle. Die Nullpunktenergie ist die niedrigstmögliche Energie, die ein quantenmechanisches System besitzen kann, und entspricht der Energie seines Grundzustands.

In der Geographie ist der Nullmeridian der Meridian, von dem aus die geografische Länge nach Osten und Westen gezählt wird. Ein Meridian ist ein Halbkreis, der rechtwinklig zum Erdäquator von Nordpol zu Südpol verläuft.

Im Sprachgebrauch bedeutet „null Uhr“ Mitternacht. Dabei wird zwischen 24:00 Uhr und 00:00 Uhr unterschieden: 24:00 Uhr bezeichnet das Ende eines Tages, 00:00 Uhr den Beginn des nächsten Tages. Montag 24:00 Uhr ist derselbe Zeitpunkt wie Dienstag 00:00 Uhr. Der Ausdruck „Stunde Null“ wurde auf den 8. Mai 1945 und den frühen Abschnitt der unmittelbaren Nachkriegszeit in Deutschland und Österreich bezogen. Das Jahr „null“ wird oft genannt, obwohl es ein solches Jahr in unserer Zeitrechnung nicht gab.