Betragsfunktion

Grunddefinition und Bedeutung

Die Betragsfunktion ordnet einer reellen oder komplexen Zahl ihren Abstand zur Null zu. Der Betrag, auch Absolutbetrag oder Absolutwert genannt, ist stets eine nichtnegative reelle Zahl. Für eine Zahl x wird er meist mit |x|, seltener mit abs(x), bezeichnet.

Für eine reelle Zahl x gilt: |x| = x, falls x ≥ 0, |x| = −x, falls x < 0.

Bei reellen Zahlen erhält man den Betrag also, indem man das Vorzeichen weglässt. Für eine komplexe Zahl z = x + iy mit reellen x und y gilt: |z| = √(z · z̄) = √((x + iy)(x − iy)) = √(x² + y²).

Dabei ist z̄ = x − iy die komplex Konjugierte von z. Ist z reell, also y = 0, ergibt sich |x| = √(x²), was mit der reellen Definition übereinstimmt. In der Gaußschen Zahlenebene ist der Betrag einer komplexen Zahl der Abstand des zugehörigen Punktes vom Nullpunkt; dies folgt auch aus dem Satz des Pythagoras.

Typische Beispiele

Für reelle Zahlen gilt beispielsweise |7| = 7 und |−8| = −(−8) = 8. Für die komplexe Zahl 3 + 4i erhält man: |3 + 4i| = √((3 + 4i)(3 − 4i)) = √(3² − (4i)²) = √(3² + 4²) = √25 = 5.

Der Betrag beschreibt damit bei reellen Zahlen die Entfernung von 0 auf der Zahlengeraden und bei komplexen Zahlen die Entfernung vom Nullpunkt in der Zahlenebene.

Gleichungen mit Betrag

Die Anzahl der reellen Lösungen von |x| = b hängt vom Wert von b ab. Für b > 0 gibt es die beiden Lösungen x₁ = b und x₂ = −b. Für b = 0 gibt es genau die Lösung x = 0. Für b < 0 existiert keine reelle Lösung, weil ein Betrag nichtnegativ ist.

Allgemein wird eine Gleichung |Ausdruck| = b bei positivem b in zwei Fälle aufgeteilt: Der Ausdruck ist entweder b oder −b. So gilt: |x + 3| = 5 ↔ x + 3 = 5 oder x + 3 = −5 ↔ x = 2 oder x = −8.

Die Gleichung |x + 3| = 5 besitzt daher genau die beiden Lösungen 2 und −8.

Ungleichungen mit Betrag

Für reelle Zahlen können Betrag-Ungleichungen mithilfe folgender Äquivalenzen umgeformt werden: |a| ≤ b ↔ −b ≤ a ≤ b, |a| ≥ b ↔ a ≤ −b oder a ≥ b.

Beispielhaft ergibt sich aus |x − 3| ≤ 9: −9 ≤ x − 3 ≤ 9 ↔ −6 ≤ x ≤ 12.

Die Lösungsmenge ist somit das Intervall [−6, 12]. Allgemein gilt für reelle Zahlen x, m und r: |x − m| ≤ r ↔ x ∈ [m − r, m + r]. Der Betrag beschreibt hier den Abstand von x zum Mittelpunkt m; die Ungleichung verlangt, dass dieser Abstand höchstens r beträgt.

Norm, Metrik und analytische Eigenschaften

Die Betragsfunktion erfüllt die drei Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität und ist daher eine Norm auf dem Vektorraum der reellen beziehungsweise komplexen Zahlen. Diese Norm heißt Betragsnorm. Definitheit bedeutet |z| = 0 genau dann, wenn z = 0. Die absolute Homogenität lautet |w · z| = |w| · |z|. Die Subadditivität ist die Dreiecksungleichung |w + z| ≤ |w| + |z|. Für komplexe Zahlen folgen diese Eigenschaften aus den Rechenregeln für die Konjugation, aus |w · z|² = |w|² · |z|² und aus einer Abschätzung von |w + z|²; im reellen Fall analog ohne Konjugation.

Die Betragsnorm wird vom Standardskalarprodukt induziert. Umgekehrt erzeugt sie die Betragsmetrik, also die Abstandsfunktion d(x, y) := |x − y|.

Die einzige Nullstelle der reellen und der komplexen Betragsfunktion ist 0. Für alle z ∈ ℂ gilt außerdem z = |z| · sgn(z), wobei sgn die Vorzeichenfunktion bezeichnet. Auf ℝ \ {0} stimmt die Ableitung der reellen Betragsfunktion mit der dort eingeschränkten Vorzeichenfunktion überein.

Beide Betragsfunktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig und sogar Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L = 1. Es gilt: ||z| − |w|| ≤ |z − w|.

Die reelle Betragsfunktion ist bei 0 nicht differenzierbar, daher auf ℝ nicht überall differenzierbar, aber fast überall differenzierbar. Sie ist über beschränkte Intervalle integrierbar; eine Stammfunktion ist x ↦ ½x² sgn(x). Die komplexe Betragsfunktion ℂ → ℝ₀⁺ ist nirgends komplex differenzierbar, da die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen nicht erfüllt sind. Beide Funktionen heißen archimedisch, weil es eine ganze Zahl n mit |n| > 1 gibt. Daraus folgt auch |m| > 1 für jede ganze Zahl m > 1.

Verallgemeinerungen auf Körper und Vektorräume

Ein Betrag auf einem Integritätsbereich D ist allgemein eine Funktion φ: D → ℝ mit folgenden Eigenschaften:

• φ(x) ≥ 0 (Nicht-Negativität).
• φ(x) = 0 genau dann, wenn x = 0 (Definitheit). Nicht-Negativität und Definitheit zusammen heißen positive Definitheit.
• φ(x · y) = φ(x) · φ(y) (Multiplikativität beziehungsweise absolute Homogenität).
• φ(x + y) ≤ φ(x) + φ(y) (Subadditivität oder Dreiecksungleichung).

Wegen der Multiplikativität lässt sich ein solcher Betrag eindeutig auf den Quotientenkörper K := Quot(D) fortsetzen. Eine Betragsfunktion auf einem Körper ist eine Bewertung dieses Körpers. Gilt φ(n) ≤ 1 für alle natürlichen Zahlen n = 1 + ⋯ + 1 (n-mal), heißt der Betrag nichtarchimedisch. Der Betrag φ(x) = 1 für alle x ≠ 0 ist der triviale Betrag. Für nichtarchimedische Beträge gilt die verschärfte Dreiecksungleichung φ(x + y) ≤ max(φ(x), φ(y)); dadurch entsteht eine ultrametrische Struktur. Umgekehrt ist jeder ultrametrische Betrag nichtarchimedisch.

Für die Charakteristik gelten mehrere Folgerungen: Integritätsbereiche mit einem archimedischen Betrag haben Charakteristik 0. Integritätsbereiche mit von 0 verschiedener Charakteristik haben Primzahlcharakteristik und nehmen nur nichtarchimedische Beträge an. Endliche Integritätsbereiche sind endliche Körper mit Primzahlcharakteristik und besitzen nur den trivialen Betrag. Der Körper ℚ und seine endlichen Erweiterungen nehmen sowohl archimedische als auch nichtarchimedische Beträge an.

Ein Körper K kann bezüglich der von einem Betrag induzierten Metrik vervollständigt werden; die Vervollständigung wird häufig mit K̂ bezeichnet. Für ℚ sind die archimedischen Vervollständigungen ℝ sowie für ℚ(i) die Vervollständigung ℂ: ℚ̂ = ℝ und ̂(ℚ(i)) = ℚ̂(i) = ℂ. Nichtarchimedische Vervollständigungen von ℚ sind für Primzahlen p die p-adischen Zahlen ℚₚ. Beim trivialen Betrag entsteht keine neue Vervollständigung.

Zwei Beträge φ und ψ eines Körpers K sind genau dann äquivalent, wenn jede unter φ gegen 0 konvergierende Folge auch unter ψ und umgekehrt gegen 0 konvergiert. Dies ist gleichwertig zu φ(x) < 1 ⇒ ψ(x) < 1 und dazu, dass ψ eine feste positive Potenz von φ ist: ψ(x) = φ(x)^ε mit ε > 0.

Nach dem Satz von Ostrowski bilden der eine archimedische und die unendlich vielen jeweils einer Primzahl zugeordneten nichtarchimedischen Beträge alle Klassen von Beträgen der rationalen Zahlen ℚ. Für diese Beträge gilt der Approximationssatz. Auf beliebigen Vektorräumen werden Beträge durch Funktionen mit Definitheit, absoluter Homogenität und Subadditivität verallgemeinert; solche Funktionen heißen Normen, wobei ein Vektorraum im Allgemeinen verschiedene Normen besitzen kann. Der Artikel führt außerdem einen Abschnitt „Pseudobetrag“ ohne weitere Ausführung.