Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Grundprinzipien und Grundintegrale

Die Integraltafel ist eine Übersicht über Ableitungs- und Stammfunktionen für die Differential- und Integralrechnung. In jeder Zuordnung ist die Funktion f(x) die Ableitung der angegebenen Stammfunktion F(x), also F′(x) = f(x).

Ist F eine Stammfunktion von f und C eine beliebige reelle Konstante, dann ist auch F(x) + C eine Stammfunktion. Liegt der Definitionsbereich von f in einem Intervall, erhält man auf diese Weise alle Stammfunktionen. Bei mehreren Intervallen darf die additive Konstante auf jedem Intervall getrennt gewählt werden. Die Konstante C wird in der Tabelle aus Gründen der Übersichtlichkeit weggelassen.

Wegen der Linearität gilt außerdem: Ist F eine Stammfunktion von f, so ist a · F(x) eine Stammfunktion von a · f(x). Sind F und G Stammfunktionen von f und g, dann ist F(x) + G(x) eine Stammfunktion von f(x) + g(x).

Wichtige Potenz- und Wurzelfunktionen sind: • ∫ 0 dx = 0 und ∫ k dx = kx für k ∈ ℝ. • Für xⁿ gilt bei n ≠ −1: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); für n = −1 gilt ∫ x⁻¹ dx = ln|x|. • ∫ x dx = ½x², ∫ 2x dx = x² und ∫ 3x² dx = x³. • ∫ √x dx = ⅔x³ᐟ², ∫ 1/√x dx = 2√x und ∫ 1/x² dx = −1/x.

Bei Exponential- und Logarithmusfunktionen gelten unter anderem ∫ eˣ dx = eˣ, ∫ eᵏˣ dx = eᵏˣ/k, ∫ aˣ ln a dx = aˣ und ∫ aˣ dx = aˣ/ln a. Weiterhin ist ∫ 1/x dx = ln|x|, ∫ ln x dx = x ln(x) − x und ∫ [1/(x ln x)] dx = ln|ln x| für x > 0, x ≠ 1. Für Logarithmen zur Basis a gilt logₐx = ln x/ln a und ∫ [1/(x ln a)] dx = logₐx.

Trigonometrische, hyperbolische und rekursive Regeln

Zu den elementaren trigonometrischen Stammfunktionen gehören ∫ sin(x) dx = −cos(x), ∫ cos(x) dx = sin(x), ∫ tan(x) dx = ln[sec(x)] und ∫ cot(x) dx = −ln[csc(x)]. Außerdem gilt ∫ sec²(x) dx = tan(x) sowie ∫ [−csc²(x)] dx = cot(x). Für Quadrate erhält man ∫ sin²(x) dx = ½[x − sin(x)cos(x)] = ½x − ¼sin(2x) und ∫ cos²(x) dx = ½[x + sin(x)cos(x)] = ½x + ¼sin(2x).

Weitere Einträge betreffen Arkusfunktionen, also Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen: ∫ [1/√(1 − x²)] dx = arcsin x, ∫ [−1/√(1 − x²)] dx = arccos x, ∫ [1/(x² + 1)] dx = arctan x und ∫ [−1/(x² + 1)] dx = arccot x. Beispielsweise ist ∫ arctan x dx = x arctan x − ½ln(1 + x²). Für quadratische Nenner enthält die Tabelle unter den angegebenen Bedingungen die Formel ∫ dx/(ax² + bx + c) = 2/√(4ac − b²) · arctan((2ax + b)/√(4ac − b²)).

Für hyperbolische Funktionen, die den trigonometrischen Funktionen formal ähnlich sind, gilt ∫ sinh(x) dx = cosh(x), ∫ cosh(x) dx = sinh(x), ∫ tanh(x) dx = ln[cosh(x)] und ∫ coth(x) dx = ln|sinh(x)|. Ferner sind ∫ sech(x) dx = gd(x) = arctan[sinh(x)] und ∫ csch(x) dx = −arcoth[cosh(x)]. Für Umkehrfunktionen gilt beispielsweise ∫ [1/√(x² + 1)] dx = arsinh x und für x > 1: ∫ [1/√(x² − 1)] dx = arcosh x.

Verallgemeinerte Integrationsregeln vereinfachen zusammengesetzte Funktionen. Es gilt ∫ u′(x)/u(x) dx = ln|u(x)|, ∫ u′(x)u(x) dx = ½u(x)² und ∫ u′(x)u(x)ⁿ dx = u(x)ⁿ⁺¹/(n + 1). Für kompliziertere Potenzen werden Rekursionsformeln verwendet. Für n ≥ 2 gilt: • ∫ dx/(x² + 1)ⁿ = x/[2(n − 1)(x² + 1)ⁿ⁻¹] + [2n − 3]/[2n − 2] · ∫ dx/(x² + 1)ⁿ⁻¹. • ∫ sinⁿ(x) dx = (n − 1)/n · ∫ sinⁿ⁻²(x) dx − cos(x)sinⁿ⁻¹(x)/n. • ∫ cosⁿ(x) dx = (n − 1)/n · ∫ cosⁿ⁻²(x) dx + sin(x)cosⁿ⁻¹(x)/n.

Elliptische Funktionen und Thetafunktionen

Viele Stammfunktionen algebraischer Funktionen lassen sich nicht mit elementaren Funktionen ausdrücken. Zu den dafür benötigten weiterführenden Funktionen gehören elliptische Integrale. Ihre Umkehrfunktionen heißen elliptische Funktionen. Vollständige elliptische Integrale schließen den Definitionsbereich der betreffenden algebraischen Funktion vollständig ab.

Die wichtigsten vollständigen elliptischen Integrale sind das Integral erster Art K(x) und das Integral zweiter Art E(x): K(x) = ∫₀πᐟ² dy/√(1 − x²sin²(y)) = π/2 · Σₙ₌₀∞ CBC(n)²x²ⁿ/16ⁿ, E(x) = ∫₀πᐟ² √(1 − x²sin²(y)) dy = π/2 · Σₙ₌₀∞ CBC(n)²x²ⁿ/[16ⁿ(1 − 2n)].

Die Tabelle stellt zahlreiche algebraische Wurzelfunktionen durch unvollständige oder vollständige elliptische Integrale dar. Beispiele sind ∫ dx/√(1 − x⁴) = arcsl(x) = ½√2 K(½√2) − ½√2 F[arccos(x); ½√2] sowie ∫ dx/√(x⁴ + 1) = √2 arcsl[x(√(x⁴ + 1) + 1)⁻¹ᐟ²]. Auch Integrale mit √(1 − x⁶), √(x⁶ + 1), √(x⁸ + 1) und Ausdrücke der Form √[(ax² + bx + c)³] werden elliptisch dargestellt.

Das reelle Halbperiodenverhältnis beziehungsweise Periodenverhältnis ist der Quotient des vollständigen elliptischen Integrals erster Art vom pythagoräisch komplementären Modul durch K vom betroffenen Modul. Das elliptische Nomen ist die Exponentialfunktion aus dem negativen Produkt der Kreiszahl und dieses Periodenverhältnisses: q(x) = exp[−π K(√(1 − x²))/K(x)]. Jacobische Thetafunktionen ordnen das elliptische Nomen algebraischen Vielfachen von √K zu. Aus algebraischen Kombinationen der Thetafunktionen entstehen ebenfalls elliptische Funktionen.

Die Amplitudenfunktion am(x;k) ist mit den Jacobischen Funktionen verknüpft, etwa sn(x;k) = sin[am(x;k)] und cn(x;k) = cos[am(x;k)]. Zu den Stammfunktionen gehören ∫ cn(x;k)dn(x;k) dx = sn(x;k), ∫ −sn(x;k)dn(x;k) dx = cn(x;k) und ∫ −k²sn(x;k)cn(x;k) dx = dn(x;k). Für lemniskatische Funktionen gilt unter anderem ∫ sl(x) dx = −arctan[cl(x)] und ∫ cl(x) dx = arctan[sl(x)].

Polylogarithmen und verwandte Funktionen

Polylogarithmen sind nicht elementare Stammfunktionen transzendenter Funktionen logarithmischer und arkusfunktionaler Art sowie daraus entstehender Stammfunktionsketten. Die Indexzahl bezeichnet den Rang: Bei Indexzahl Zwei liegt der Dilogarithmus vor. Die Standard-Polylogarithmen erfüllen d/dx Liₙ₊₁(x) = Liₙ(x)/x. Insbesondere gilt Li₁(x) = ln(1/(1 − x)), ∫ [ln(1/(1 − x))/x] dx = Li₂(x) und ∫ Li₂(x)/x dx = Li₃(x).

Linearkombinationen der Standard-Polylogarithmen heißen Legendresche Chifunktionen. Für sie enthält die Tabelle χ₂(x) = Li₂(x) − ¼Li₂(x²) = ∫₀¹ arcsin(xy)/√(1 − y²) dy sowie χ₃(x) = Li₃(x) − ⅛Li₃(x²). Arkustangensintegrale sind Stammfunktionsglieder der Arkusfunktionen; beispielsweise gilt ∫ arctan(x)/x dx = Ti₂(x) und ∫ Ti₂(x)/x dx = Ti₃(x). Weitere Formeln verbinden Ti₂ mit Li₂ und Umkehrfunktionen wie arsinh.

Debyesche Funktionen Dₙ entstehen bei Integralen mit Exponentialausdrücken. Für n gilt ∫ xⁿ/[exp(x) − 1] dx = xⁿDₙ(x)/n. Speziell ist xD₁(x) = Li₂[1 − exp(−x)]. Die Tabelle gibt außerdem Formeln für ∫ arsinh(x)ⁿ/x dx und ∫ artanh(x)ⁿ/x dx in Verbindung mit Dₙ an.

Für Riemannsche und Dirichletsche Funktionen werden Stammfunktionen von Ausdrücken mit der Zetafunktion ζ(x), der Lambda-Funktion λ(x), der Eta-Funktion η(x) und der Betafunktion β(x) durch uneigentliche Integrale von 0 bis ∞ angegeben. Die Tabelle nennt dabei die Kombinationen ζ(x) − (x + 1)/(2x − 2), λ(x) − x/(2x − 2), η(x) − ½ und β(x) − ½.

Weitere spezielle Stammfunktionen

Einige Integrale sind nicht elementar lösbar und werden durch spezielle Funktionen oder Reihen beschrieben. Für die Integralexponentialfunktion gilt ∫ eˣ/x dx = Ei(x), wobei γ die Euler-Mascheroni-Konstante ist und Ei(x) = γ + ln|x| + Σₖ₌₁∞ xᵏ/(k!·k). Der Integrallogarithmus erfüllt li(x) = Ei(ln x) = γ + ln|ln x| + Σₖ₌₁∞ (ln x)ᵏ/(k·k!). Außerdem ist ∫ ln(x)eˣ dx = ln(x)eˣ − Ei(x) für x > 0.

Die Integralkreisfunktionen sind Si(x) und Ci(x): ∫ sin(x)/x dx = Si(x) und ∫ cos(x)/x dx = Ci(x), wobei der Artikel beide zusätzlich durch Integrale von 0 bis ∞ ausdrückt. Für das Gaußsche Fehlerintegral gilt ∫ e⁻ˣ² dx = √π/2 · erf(x). Allgemeiner ist ∫ e⁻ᵃˣ²⁺ᵇˣ⁺ᶜ dx = √π/[2√a] · eᵇ²/⁴ᵃ⁺ᶜ · erf(√a x − b/(2√a)).

Die Gammafunktion wird als Π(x) = Γ(x + 1) = x! verwendet. Weitere Einträge betreffen ln[Π(x)] = ln[Γ(x + 1)], die harmonische Funktion H(x) = γ + ψ(x + 1) sowie die Polygammafunktion ψ₁(x + 1) = Σₙ₌₁∞ 1/(x + n)². Besselsche Funktionen werden über Reihen definiert: I₀(x) = Σₙ₌₀∞ x²ⁿ/[4ⁿ(n!)²] und J₀(x) = Σₙ₌₀∞ (−1)ⁿx²ⁿ/[4ⁿ(n!)²]. Für die Airy-Funktionen Ai(x) und Bi(x) gibt die Tabelle Integralrepräsentationen an.

Die Lambert-W-Funktion W ist durch W(x)eᵂ⁽ˣ⁾ = x beziehungsweise eᵂ⁽ˣ⁾ = x/W(x) charakterisiert. Ein zugehöriger Tabelleneintrag lautet ∫ dx/[exp(W(x)) + x] = W(x). Auch die invertierte Langevin-Funktion L⟨−1⟩(x) erscheint in einer Stammfunktion.

Multiplikation von Stammfunktionen

Für das Produkt zweier bestimmter Integrale verwendet die Tabelle den Satz von Fubini zusammen mit der Produktregel. Für geeignete Funktionen f und g gilt:

[∫₀ʷ f(x) dx][∫₀ʷ g(x) dx] = ∫₀¹∫₀ʷ [x f(x)g(xy) + x g(x)f(xy)] dx dy.

Diese Formel verbindet zwei Stammfunktionsausdrücke zu einem Doppelintegral und ergänzt die elementaren Linearitätsregeln.