Quadrik

Begriff und Bedeutung

Eine Quadrik ist die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mit mehreren Unbekannten. Im n-dimensionalen reellen Koordinatenraum ℝⁿ hat sie die Form

Q = {(x₁,…,xₙ) ∈ ℝⁿ | q(x₁,…,xₙ) = 0},

wobei

q(x₁,…,xₙ) = ∑ᵢ,ⱼ₌₁ⁿ aᵢⱼxᵢxⱼ + 2∑ᵢ₌₁ⁿ bᵢxᵢ + c

ein quadratisches Polynom ist. Mindestens einer der Koeffizienten a₁₁,…,aₙₙ muss ungleich null sein. Ohne Einschränkung kann man aᵢⱼ = aⱼᵢ annehmen.

In zwei Dimensionen ist eine Quadrik im Regelfall eine Kurve und – abgesehen von degenerierten Fällen – ein Kegelschnitt. In drei Dimensionen ist sie normalerweise eine Fläche, auch Fläche zweiter Ordnung oder quadratische Fläche genannt. Allgemein ist sie eine algebraische Varietät beziehungsweise eine besondere Hyperfläche. Quadriken sind Gegenstand der analytischen und projektiven Geometrie. Anwendungen gibt es etwa in der Geodäsie als Referenzellipsoid, in der Architektur bei Tragwerkskonstruktionen und in der Optik als Parabolspiegel.

Matrixdarstellung und Grundtypen

Mit dem Spaltenvektor x = (xᵢ), einer symmetrischen Matrix A = (aᵢⱼ), dem Spaltenvektor b = (bᵢ) und der reellen Zahl c lautet die Gleichung kompakt

xᵀAx + 2bᵀx + c = 0.

Mit der erweiterten Darstellungsmatrix

Ā = ((A, b), (bᵀ, c))

und dem erweiterten Vektor x̄ = (x,1) kann sie in homogenen Koordinaten als x̄ᵀĀx̄ = 0 geschrieben werden.

Anhand der Ränge von A, der erweiterten Matrix (A|b) und Ā unterscheidet man drei Grundtypen:

• Kegeliger Typ: rang(Ā) = rang(A|b) = rang(A).

• Mittelpunktsquadrik: rang(Ā) > rang(A|b) = rang(A).

• Parabolischer Typ: rang(A|b) > rang(A).

Eine Quadrik heißt ausgeartet, wenn det(Ā) = 0 gilt. Nichtausgeartete Quadriken bilden in allen Richtungen gekrümmte Hyperflächen. Ausgeartete Quadriken besitzen in manchen Richtungen geradlinige Strukturen oder sind auf andere Weise degeneriert.

Transformation und Normalformen

Lineare Koordinatentransformationen mit einer regulären Matrix sowie Parallelverschiebungen verändern den Typ einer Quadrik nicht. Auch die Ränge von A, (A|b) und Ā bleiben unter diesen Affinitäten erhalten.

Da A symmetrisch ist, lässt sie sich orthogonal diagonalisieren: Es gibt eine orthogonale Matrix S, sodass S⁻¹AS = SᵀAS = D eine Diagonalmatrix ist. Falls det(A) ≠ 0, können Drehung oder Spiegelung und Verschiebung so kombiniert werden, dass keine gemischt-quadratischen und keine linearen Terme mehr auftreten. Die Gleichung wird dann zu

zᵀDz − bᵀA⁻¹b + c = 0.

Der Mittelpunkt liegt bei z = 0 beziehungsweise x = −A⁻¹b.

Die Hauptachsentransformation besteht im Wesentlichen aus drei Schritten: A wird orthogonal diagonalisiert, die Quadrik wird zur weitgehenden Beseitigung linearer und konstanter Terme verschoben, und der konstante Term wird – sofern er nicht null ist – auf eins normiert. So entstehen drei Normalformen:

• Kegeliger Typ: x₁²/α₁² + … + xₚ²/αₚ² − xₚ₊₁²/αₚ₊₁² − … − xᵣ²/αᵣ² = 0, mit 1 ≤ p ≤ r ≤ n und p ≥ r − p.

• Mittelpunktsquadrik: derselbe quadratische Ausdruck ist gleich 1, mit 1 ≤ p ≤ r ≤ n.

• Parabolischer Typ: derselbe quadratische Ausdruck minus 2xᵣ₊₁ ist gleich 0, mit 1 ≤ p ≤ r < n und p ≥ r − p.

Als Spezialfall kann die leere Menge auftreten. Stets gilt α₁,…,αᵣ > 0. Dabei ist p die Anzahl der positiven Eigenwerte von A und r die Anzahl ihrer von null verschiedenen Eigenwerte, also r = rang(A).

Klassifikation nach Dimension

In einer Dimension ist eine Quadrik die Lösungsmenge von ax² + bx + c = 0. Nach quadratischer Ergänzung und Normierung ergeben sich zwei Punkte durch x²/α² = 1, ein Punkt durch x²/α² = 0 oder die leere Menge durch −x²/α² = 1; dabei ist α > 0.

In der Ebene lautet die allgemeine Gleichung

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0.

Die nichtausgearteten Quadriken sind:

• Ellipse: x²/α² + y²/β² = 1.

• Hyperbel: x²/α² − y²/β² = 1.

• Parabel: x²/α² − 2y = 0.

Ausgeartete Fälle sind zwei schneidende Geraden, zwei parallele Geraden, eine Gerade oder ein Punkt. Weitere Vorzeichenkombinationen liefern die leere Menge. Es gilt α,β > 0.

Im dreidimensionalen Raum besitzt die allgemeine Gleichung drei Unbekannte und kann neben Quadrattermen auch die gemischten Terme xy, xz und yz sowie lineare und konstante Terme enthalten. Nichtausgeartete Raumquadriken sind das Ellipsoid, das ein- und zweischalige Hyperboloid, das elliptische Paraboloid und das hyperbolische Paraboloid. Zu den ausgearteten gekrümmten Flächen gehören der elliptische Kegel sowie elliptische, hyperbolische und parabolische Zylinder. Weitere ausgeartete Fälle sind zwei schneidende oder parallele Ebenen, eine Ebene, eine Gerade und ein Punkt; außerdem kann die Lösungsmenge leer sein. Für alle Normalformen gilt α,β,γ > 0.

Bei passenden gleichen Halbachsen, etwa α = β, entstehen Rotationsflächen: Rotationsellipsoid, ein- und zweischaliges Rotationshyperboloid, Rotationsparaboloid, Kreiskegel und Kreiszylinder. Regelflächen werden von einer einparametrigen Geradenschar erzeugt. Dazu gehören Kegel, elliptischer und parabolischer Zylinder, Ebene, einschaliges Hyperboloid und hyperbolisches Paraboloid. Ebene, einschaliges Hyperboloid und hyperbolisches Paraboloid werden sogar von zwei Geradenscharen erzeugt und sind die einzigen möglichen doppelt gekrümmten Regelflächen im Raum.

Typische Beispiele

Die Gleichung

2x² + 3y² = 5

beschreibt eine Ellipse in der Ebene. Beide quadratischen Terme haben ein positives Vorzeichen; durch Division durch 5 erhält man die entsprechende Ellipsennormalform.

Die Gleichung

x² + y² − z² = 1

beschreibt ein einschaliges Hyperboloid im dreidimensionalen Raum. Sie enthält zwei positive und einen negativen quadratischen Term und entspricht unmittelbar seiner Normalform.

Projektive Sicht und Verallgemeinerung

Beim projektiven Abschluss des affinen Raums und der Quadrik wird die Zahl verschiedener Quadriktypen deutlich kleiner. Die projektiven Erweiterungen von Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln sind projektiv äquivalent: Eine projektive Kollineation kann jeweils eine dieser Kurven auf eine andere abbilden.

Im dreidimensionalen Raum bilden folgende Quadriken jeweils eine Äquivalenzklasse:

• Ellipsoid, zweischaliges Hyperboloid und elliptisches Paraboloid.

• Einschaliges Hyperboloid und hyperbolisches Paraboloid.

• Elliptischer, hyperbolischer und parabolischer Zylinder sowie Kegel.

Quadriken können außerdem nicht nur in reellen Koordinatenräumen betrachtet werden, sondern allgemeiner in Vektorräumen über beliebigen Körpern, etwa über den komplexen Zahlen oder über endlichen Körpern.