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Drachenviereck
Eigenschaften · Zwei benachbarte Seiten sind gleich lang. · Die Diagonalen sind orthogonal. · Die Verbindungsstrecken der Tangentialpunkte sind gleich lang. · Zwei …
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Definition und Grundformen
Ein Drachenviereck, auch gerader Drachen oder Deltoid genannt, ist ein ebenes Viereck. Es ist dadurch definiert, dass entweder eine Diagonale Symmetrieachse ist oder sich seine vier Seiten in zwei Paare benachbarter, gleich langer Seiten gruppieren lassen. Beide Definitionen sind äquivalent. In Österreich wird ausschließlich die Bezeichnung Deltoid verwendet.
Meist bezeichnet Drachenviereck die konvexe Form. Die konkave Form wird auch Pfeilviereck oder Windvogelviereck genannt. Eine Raute (Rhombus) ist ein besonderes Drachenviereck, nämlich ein gleichseitiges Deltoid.
Geometrische Eigenschaften
In einem Drachenviereck stehen die Diagonalen e und f senkrecht aufeinander. Es ist daher ein orthodiagonales Viereck.
Die Diagonale AC = e ist die Symmetrieachse. Sie halbiert die andere Diagonale BD = f sowie die Innenwinkel an den Eckpunkten A und C. Dadurch wird das Viereck ABCD in zwei kongruente, spiegelsymmetrische Dreiecke geteilt. Die Diagonale BD = f zerlegt das Drachenviereck dagegen in zwei gleichschenklige Dreiecke. Die gegenüberliegenden Winkel bei B und D sind gleich groß.
Jedes konvexe Drachenviereck besitzt einen Inkreis und ist deshalb ein Tangentenviereck. Es ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn die beiden gleichen Winkel bei B und D rechte Winkel sind. Dies folgt aus der Umkehrung des Satzes des Thales; in diesem Fall besitzt das Viereck einen Umkreis.
Ein Tangentenviereck ist genau dann ein Drachenviereck, wenn mindestens eine der folgenden Bedingungen gilt: Zwei benachbarte Seiten sind gleich lang; die Diagonalen stehen orthogonal aufeinander; die Verbindungsstrecken der Tangentialpunkte sind gleich lang; zwei gegenüberliegende Tangentenabschnitte sind gleich lang; oder der Inkreismittelpunkt liegt auf einer Diagonalen.
Formeln und Berechnungen
Für die Seitenlängen gilt a = d und b = c. Der Flächeninhalt A, der Umfang U und der Inkreisradius r lassen sich berechnen durch:
- A = a·b·sin(β)
- A = e·f/2
- U = 2·a + 2·b = 2·(a + b)
- r = 2·A/U = e·f/[2·(a + b)]
Für die Diagonalen nennt der Artikel folgende Formeln:
- e = √(a² + b² − 2·a·b·cos(β))
- f = [4·√(s·(s − a)·(s − b)·(s − e))]/e, mit s = (a + b + e)/2
- f = 2·a·sin(α/2) = 2·b·sin(γ/2)
Für die Innenwinkel gelten:
- α = arccos[(2·a² − f²)/(2·a²)]
- γ = arccos[(2·b² − f²)/(2·b²)]
- β = δ = arccos[(a² + b² − e²)/(2·a·b)]
Dabei bezeichnen α, β, γ und δ die Größen der Innenwinkel. Die Formel A = (1/2)·U·r für den Inkreisradius entsteht, indem man das Drachenviereck vom Inkreismittelpunkt aus in vier Dreiecke zerlegt. Jedes Dreieck hat eine Vierecksseite als Grundseite und den Inkreisradius r als Höhe. Der Formelabschnitt ist im Artikel als grundsätzlich überarbeitungsbedürftig markiert.
Schräges Drachenviereck
Ein schräges Drachenviereck, kurz Drachen oder manchmal schiefes Drachenviereck genannt, ist ein ebenes Viereck, bei dem eine Diagonale durch die andere halbiert wird. Im Unterschied zum geraden Drachen müssen die Diagonalen nicht orthogonal zueinander stehen. Das gewöhnliche Drachenviereck ist in diesem erweiterten Sinn ein gerader Drachen.
Für das schräge Drachenviereck gibt es eine über das Kreuzprodukt verallgemeinerte Flächenformel. Außerdem gilt: Ein Viereck ist genau dann ein schiefes Drachenviereck, wenn es sich von einem inneren Punkt aus durch geradlinige Verbindungen zu den vier Ecken in vier flächengleiche Dreiecke zerlegen lässt.
Parkettierungen und Polyeder
Drachenvierecke kommen in besonderen Parkettierungen vor. Besonders bekannt ist die Penrose-Parkettierung. Im Artikel werden außerdem Drachenvierecke mit je zwei rechten Winkeln und je einem von der Symmetrieachse geschnittenen 60°-Winkel abgebildet.
Auch einige Polyeder besitzen Drachenvierecke als Seitenflächen. Die Oberflächen des Deltoidalikositetraeders und des Deltoidalhexakontaeders, zweier catalanischer Körper, bestehen aus kongruenten Drachenvierecken. Beim Rhomboeder, beim Rhombendodekaeder und beim Rhombentriakontaeder sind sogar Rauten die Seitenflächen. Die genannten Polyeder sind drehsymmetrisch: Sie können durch Drehung um bestimmte Rotationsachsen auf sich selbst abgebildet werden.
