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Pythagoreische Addition
Als pythagoreische Addition wird eine der üblichen Addition ähnliche Rechenoperation bezeichnet, bei der die Summe der Quadrate mehrerer Größen berechnet …
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Definition und Grundidee
Die pythagoreische Addition, auch geometrische Summe, ist eine Rechenoperation ähnlich zur gewöhnlichen Addition. Mehrere Größen werden zunächst quadriert, ihre Quadrate werden addiert, und aus dieser Summe wird die Quadratwurzel gezogen:
S = √(a² + b² + c² + …).
Sie ist nach dem Satz des Pythagoras benannt: a² + b² = c², wenn a und b die Kathetenlängen und c die Hypotenusenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks sind.
Verwendung und Eigenschaften
Die pythagoreische Addition wird in Wissenschaft und Technik verwendet, etwa zur Berechnung des Effektivwerts einer Stromstärke, eines Wechselstromwiderstands und einer Messunsicherheit nach dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz. In der komplexen Ebene kann sie beispielsweise in der Beziehung R² + X² = Z² auftreten.
Wichtige Eigenschaften sind:
- Durch das Quadrieren sind alle addierten Terme positiv. Das Ergebnis hängt daher nicht vom Vorzeichen der beitragenden Werte ab.
- Das Ergebnis ist stets kleiner als die gewöhnliche Summe der Beträge; bei nur einem Wert sind beide Ergebnisse identisch.
- In der Fehlerrechnung berücksichtigt dies, dass sich einzelne zufällige Abweichungen teilweise gegenseitig kompensieren können. Deshalb eignet sich die Operation zur Abschätzung der Unsicherheit eines Ergebnisses bei voneinander unabhängig streuenden Einzelwerten.
Außerdem dient sie als arithmetisches Hilfsmittel, zum Beispiel zum Vereinfachen von Termen, die von Sinus und Kosinus abhängen, mithilfe des „trigonometrischen Pythagoras“.
