Effektivwert

Definition und Bedeutung

Der Effektivwert ist in der Elektrotechnik der quadratische Mittelwert einer zeitlich veränderlichen physikalischen Größe. Er wird vor allem für Wechselgrößen und allgemein für Größen in stationären Vorgängen verwendet. Sein Wert entspricht dem Wert einer Gleichgröße, die an einem ohmschen Verbraucher während einer repräsentativen Zeitspanne dieselbe elektrische Energie umsetzt beziehungsweise dieselbe mittlere Leistung erzeugt.

Der Effektivwert hängt sowohl vom Scheitelwert, also dem größten Betrag der Größe, als auch von der Kurvenform ab. Im Englischen heißt er RMS („Root Mean Square“). Für eine Spannung u lautet die Definition:

U_eff = √[(1/T) ∫ von t₀ bis t₀+T u² dt] = √(Mittelwert von u²).

Die Merkregel lautet daher: quadrieren, den Mittelwert bilden und daraus die Wurzel ziehen. T ist bei periodischen Vorgängen die Periodendauer. Bei statistischen Vorgängen muss T hinreichend lang sein, mathematisch streng gilt T → ∞. Bei periodischen Vorgängen beeinflusst der Anfangszeitpunkt t₀ das Ergebnis nicht. Entsprechende Gleichungen gelten für Stromstärke und andere veränderliche, aber stationäre Größen.

Die Definition folgt aus der Leistung an einem ohmschen Widerstand R. Für die Augenblickswerte von Spannung und Strom gilt:

P = p̄ = (1/T) ∫ u·i dt.

Mit u = R·i ergibt sich P = (1/T) ∫ u²/R dt. Setzt man diese Leistung gleich der Gleichstromleistung P₋ = U₋²/R, erhält man U_eff = U₋ = √[(1/T) ∫ u² dt].

Anwendung und Berechnung

In der Wechselstromtechnik werden Nenngrößen üblicherweise als Effektivwerte angegeben. Die bei Hausanschlüssen in Mitteleuropa übliche Angabe 230 V bezeichnet beispielsweise den Effektivwert der Netzspannung. Bei ohmschen Verbrauchern können mit Effektivwerten von Spannung und Strom viele Formeln der Gleichstromtechnik auch für Wechselstrom verwendet werden.

Der Effektivwert ist besonders für die Erwärmung elektrischer Leiter wichtig. Viele Netzgeräte enthalten nichtlineare Bauteile wie Dioden oder Schaltnetzteile. Deshalb kann ihre Stromaufnahme auch bei sinusförmiger Eingangsspannung verzerrt und nicht sinusförmig sein. Anteile, die nicht zur Energieübertragung beitragen, können trotzdem den Effektivwert und damit die Stromwärmeverluste erhöhen. Leiterquerschnitte müssen daher anhand des maximalen Effektivwertes des Stroms dimensioniert werden. Der für reine Sinusgrößen geltende Zusammenhang î = √2·I_eff darf auf solche verzerrten Ströme nicht übertragen werden.

Ist der Signalverlauf nicht als Funktion bekannt, lässt sich der Effektivwert aus n abgetasteten Momentanwerten uᵢ näherungsweise berechnen. Für unterschiedlich lange Zeitabschnitte Δtᵢ mit T = ΣΔtᵢ gilt:

U_eff ≈ √[(1/T) Σ(uᵢ²·Δtᵢ)].

Bei konstanten Abständen Δt und T = n·Δt vereinfacht sich dies zu:

U_eff ≈ √[(1/n) Σuᵢ²].

Digitale Messgeräte und digitale Oszilloskope verwenden dieses Verfahren. Für mittlere Frequenzen bis zu einigen 100 MHz wird das Signal möglichst hochfrequent abgetastet, damit seine Kurvenform gut erfasst wird.

Typische Signalformen

Bei einer sinusförmigen Spannung u = û·sin(ωt) gilt sin²x = ½(1 − cos(2x)). Das Quadrat der Sinusschwingung enthält damit einen Gleichanteil von ½ und einen Wechselanteil mit der Amplitude ½ und doppelter Frequenz. Bei der Mittelwertbildung über eine Periode fällt der Wechselanteil weg. Daher ist der Mittelwert von sin²(ωt) gleich ½ und es folgt:

U_eff = û/√2,

umgekehrt also û = √2·U_eff.

Bei einer Netzspannung mit U_eff = 230 V beträgt die Amplitude ungefähr 325 V. Dieser einfache Zusammenhang gilt nur für eine Sinusform.

Bei einer pulsdauermodulierten Gleichspannung wird die Spannung innerhalb einer festen Periodendauer T nur während der Einschaltzeit τ eingeschaltet. Der Quotient τ/T heißt Tastgrad. Fließt während der Einschaltphase der Strom I₀, dann gilt für den mittleren Strom:

I₋ = I₀·(τ/T).

Der Effektivwert lautet dagegen:

I_eff = |I₀|·√(τ/T).

Damit ist I_eff > |I₋|. Leitungen erwärmen sich wegen ihres Kupferwiderstands und Spannungsquellen wegen ihres Innenwiderstands daher stärker als bei einem kontinuierlichen Strom mit gleicher mittlerer Leistungsentnahme. Ein solcher gepulster Strom ist eine Mischgröße. Für Dreieck- und Rechtecksignale wird der Zusammenhang zwischen Gleichrichtwert und Effektivwert durch den jeweiligen Formfaktor beschrieben.

Messverfahren und Mischgrößen

Einfache Wechselspannungsmessgeräte erfassen häufig nicht unmittelbar den Effektivwert, sondern den Gleichrichtwert, also den Mittelwert des Betrages der Spannung. Ihre Anzeige wird mithilfe des Formfaktors für eine Sinusspannung auf Effektivwerte geeicht. Da der Formfaktor von der Kurvenform abhängt, zeigen solche Geräte nur bei Signalen mit dem Formfaktor einer Sinusspannung richtig an. Geräte, die den Effektivwert tatsächlich nach seiner Definition bestimmen, werden als Echteffektivwert- oder True-RMS-Messgeräte bezeichnet.

Ein Dreheisenmesswerk nutzt aus, dass die Anziehungskraft auf ein weichmagnetisches Eisenteil in einer Spule quadratisch vom Spulenstrom abhängt. Die träge Masse aus Eisenteil und Zeiger übernimmt die Mittelwertbildung; häufig kommt eine Luftdämpfung hinzu. Je nach Spulenauslegung misst das Instrument Spannung oder Strom. Sein Widerstand ist geringer als bei entsprechenden elektronischen Geräten, was bei der Strommessung vorteilhaft und bei der Spannungsmessung häufig nachteilig ist. Dreheiseninstrumente eignen sich nur für einen begrenzten niedrigen Frequenzbereich, oft beispielsweise nur für die Netzfrequenz von 50 Hz.

Thermoumformer verwirklichen die Definition besonders unmittelbar: Der Messstrom erwärmt einen Widerstand grundsätzlich proportional zum Quadrat seines Effektivwertes. Gemessen wird die Temperaturerhöhung; kalibriert wird mit einem Gleichstrom, der dieselbe Temperaturänderung hervorruft. Dieses thermische Verfahren funktioniert bis zu einigen Gigahertz. Auch Hitzdrahtinstrumente zeigen den Effektivwert an.

Für niedrigere Frequenzen bis etwa 1 MHz werden integrierte analoge RMS-Umformer eingesetzt, die Fehlergrenzen unter 0,2 % erreichen. Eine verbreitete Schaltung bildet zunächst einen Strom I₁ proportional zu |Uₑ|. Ein Quadrierer und Dividierer erzeugt I₂ = I₁²/I₃. Nach Glättung wird der Mittelwert zurückgeführt, sodass am Ausgang Iₐ = √(Mittelwert von I₁²) und damit ein zum Effektivwert des Eingangssignals proportionaler Strom entsteht. Das Eingangssignal darf Gleich- und Wechselanteile enthalten.

Eine Mischspannung besteht aus Gleich- und Wechselanteil:

u_Misch = U₋ + u∼.

Für ihren Effektivwert gilt:

U_eff = √(U₋² + U∼²),

wobei U∼ der Effektivwert des Wechselanteils ist. Messgeräte können entweder die gesamte Mischspannung als AC+DC oder nur den Wechselanteil als AC erfassen; manche Multimeter und Oszilloskope sind mithilfe eines Koppelkondensators umschaltbar. Den Gleichanteil allein misst man im Gleichspannungsbereich, sofern das Gerät die nötige Mittelwertbildung bewältigt. Bei niedrigen Frequenzen ist dies oft nicht der Fall. Entsprechendes gilt für Mischströme.

Aussagekraft und Grenzen

Der Effektivwert beschreibt ausschließlich den mittleren Energieumsatz beziehungsweise Auswirkungen im Sinne einer physikalischen Leistung. Ein stromdurchflossener Widerstand besitzt meist genügend thermische Trägheit, sodass sich bei einem stationären Strom eine gleichbleibende Temperaturdifferenz einstellt. Das gilt auch bei Wechselstrom und bei beliebigen Signalformen.

Über die momentanen Auswirkungen einer veränderlichen Größe sagt der Effektivwert jedoch nichts aus. Leistungs-, Strom- oder Spannungsspitzen in periodischen oder aperiodischen Verläufen können andere physikalische, chemische oder biologische Wirkungen haben, die der Effektivwert nicht erfasst.

Bei schnellen Reaktionen muss deshalb der Scheitelwert betrachtet werden. Das gilt beispielsweise für die Spannungsfestigkeit von Kondensatoren an Wechselspannung. Auch das Verhalten eines trägen Systems mit Reibungsverlusten oder bei niedrigen Frequenzen lässt sich durch den Effektivwert nicht ausreichend beschreiben. Bei impulsförmigen Größen, besonders bei ungewöhnlichen Impulsformen, ist der Effektivwert außerdem kein geeignetes Kriterium, um die Gefährlichkeit einer Körperdurchströmung zu beurteilen.