Trigonometrischer Pythagoras

Grundidentität

Der trigonometrische Pythagoras ist die Identität

sin² α + cos² α = 1.

Dabei bedeutet sin² α genau (sin α)² und cos² α genau (cos α)². Die Identität ist ein häufig benutzter Satz der Trigonometrie. Sie beschreibt, dass die Quadrate von Sinus und Kosinus desselben Winkels zusammen immer 1 ergeben. Der Name hängt mit dem Satz des Pythagoras zusammen, weil die Beziehung geometrisch aus einem rechtwinkligen Dreieck hergeleitet werden kann.

Geometrische Herleitung

Ausgangspunkt ist der Satz des Pythagoras. In einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse c und Katheten a und b gilt:

a² + b² = c².

Wählt man den Winkel α so, dass a die Gegenkathete und b die Ankathete ist, dann gelten die Beziehungen:

a = sin α · c,

b = cos α · c.

Setzt man diese beiden Ausdrücke in den Satz des Pythagoras ein, erhält man:

(sin² α + cos² α) · c² = c².

Nach Division durch c² folgt:

sin² α + cos² α = 1.

Einheitskreis

Die Identität lässt sich am Einheitskreis veranschaulichen. Ein Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1. In der beschriebenen Skizze liegt ein rechtwinkliges Dreieck im Einheitskreis, dessen Hypotenuse die Länge 1 hat.

Für einen beliebigen Winkel α im Einheitskreis gilt der Satz des Pythagoras. Weil die Hypotenuse 1 ist, ergeben die Quadrate der beiden zugehörigen Katheten zusammen 1. Diese Katheten entsprechen den Werten sin α und cos α. Dadurch wird direkt sichtbar, warum sin² α + cos² α = 1 gilt.

Analytische Herleitung

Für stumpfe und überstumpfe Winkel ist eine rein geometrische Anschauung problematisch, weil dann mindestens eine Winkelfunktion negative Werte haben kann. In einem rechtwinkligen Dreieck wären „negative Seiten“ aber nicht anschaulich sinnvoll. Ein analytischer Beweis zeigt deshalb allgemeiner, dass der trigonometrische Pythagoras für beliebige reelle und komplexe Argumente α der verwendeten Winkelfunktionen gilt.

Mit der imaginären Einheit i und der dritten binomischen Formel wird faktorisiert:

cos²(α) + sin²(α) = cos²(α) − i² · sin²(α) = (cos(α) + i · sin(α)) · (cos(α) − i · sin(α)).

Da der Cosinus eine gerade Funktion und der Sinus eine ungerade Funktion ist, gilt:

cos(−α) = cos(α),

sin(−α) = −sin(α).

Mit der Eulerschen Formel folgt:

(cos(α) + i · sin(α)) · (cos(−α) + i · sin(−α)) = e^(iα) · e^(−iα) = e⁰ = 1.

Damit ist die Identität bewiesen.

Typische Anwendungen

Der trigonometrische Pythagoras wird häufig benutzt, um trigonometrische Terme umzuformen. Ein Beispiel ist der Zusammenhang zwischen Tangens und Kosinus:

tan² α + 1 = sin² α / cos² α + cos² α / cos² α = (sin² α + cos² α) / cos² α = 1 / cos² α.

Ein weiteres Beispiel sind Formeln für den Kosinus eines verdoppelten Winkels:

cos(2α) = cos² α − sin² α = 2cos² α − 1 = 1 − 2sin² α.

Diese Umformungen funktionieren, weil sin² α + cos² α durch 1 ersetzt werden kann.