Arithmetik

Was ist Arithmetik?

Die Arithmetik (griechisch arithmós = „Zahl“) ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik. Sie umfasst das Rechnen mit Zahlen, vor allem den natürlichen Zahlen. Dazu gehören die vier Grundrechenarten – Addition (Zusammenzählen), Subtraktion (Abziehen), Multiplikation (Vervielfachen) und Division (Teilen) – sowie die zugehörigen Rechengesetze. Ebenfalls Teil der Arithmetik ist die Teilbarkeitslehre mit den Gesetzen der Teilbarkeit ganzer Zahlen und der Division mit Rest. Die Arithmetik kann als Teil der Algebra verstanden werden, etwa als „Lehre von den algebraischen Eigenschaften der Zahlen“, und leitet zur Zahlentheorie über, die sich mit den Eigenschaften der Zahlen beschäftigt. Die Arithmetik ist ein Kalkül.

Geschichte der Arithmetik

Als Wissenschaft wurde die Arithmetik im antiken Griechenland begründet. Aus der vorgriechischen Zeit sind von Ägyptern und Babyloniern nur empirische Regeln zur Lösung praktischer Aufgaben überliefert. Für die Pythagoreer machten die natürlichen Zahlen das Wesen der Dinge aus. In den Büchern VII–X von Euklids Elementen wurden die damals bekannten arithmetischen, algebraischen und zahlentheoretischen Ergebnisse erstmals zusammenfassend dargestellt. Nach dem Fall von Toledo (1085) gelangte die von den Arabern gesammelte griechische Mathematik, bereichert um die von den Indern eingeführte Zahl Null und das damit voll entwickelte Dezimalsystem, zurück ins Abendland; in der Renaissance fand eine Wiederbelebung der griechischen Mathematik statt.

Entstehung der Rechensymbole

Im 16. und 17. Jahrhundert wurde die Arithmetik vor allem durch eine zweckmäßige Zeichensprache für Zahlen und Operationen weiterentwickelt, wodurch Zusammenhänge auf einen Blick überschaubar wurden. François Viète (1540–1603) unterteilte die damals „Logistik“ genannte Rechenkunst in die logistica numerosa (die Arithmetik) und die logistica speciosa (aus der sich die Algebra entwickelte); er benutzte Buchstaben für Zahlengrößen sowie +, – und den Bruchstrich. William Oughtred (1574–1660) verwendete × als Multiplikationszeichen; der heute übliche Multiplikationspunkt (·) geht auf Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1711) zurück. John Johnson benutzte seit 1663 den Doppelpunkt (:) für die Division. Thomas Harriot (1560–1621) führte die Zeichen für „größer als“ (>) und „kleiner als“ (<) sowie kleine Buchstaben als Variablen ein. Robert Recorde (1510–1558) führte das Gleichheitszeichen (=) ein, und von René Descartes (1596–1650) stammt die Schreibweise für Quadrate. Leibniz nahm mit dem Versuch einer axiomatischen Begründung des Rechnens mit natürlichen Zahlen Gedanken der modernen Grundlagenforschung vorweg.

Gauß und Kronecker

Carl Friedrich Gauß (1777–1855) wird häufig mit dem Ausspruch zitiert: „Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik.“ Gauß bemerkte in der Vorrede seiner Untersuchungen über höhere Arithmetik, dass etwa die Theorie der Kreisteilung oder der regulären Polygone zwar nicht in die Arithmetik gehört, ihre Prinzipien aber einzig aus der höheren Arithmetik geschöpft werden müssen. Da sich die heutige Zahlentheorie weit darüber hinaus entwickelt hat, wird nur noch die elementare Zahlentheorie als arithmetische Zahlentheorie (= höhere Arithmetik nach Gauß) bezeichnet; die Bezeichnung „Arithmetik“ im eigentlichen Sinne ist dem Rechnen vorbehalten. Leopold Kronecker (1823–1891) wird der Ausspruch zugeschrieben: „Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.“

Inhalte der Arithmetik

Die Arithmetik umfasst vier zentrale Themenbereiche. Erstens die natürlichen Zahlen und ihre Schreibweise, mit Stichworten wie Kardinalzahl, Ordinalzahl, 0 oder 1 als kleinste natürliche Zahl, Peano-Axiome, Dezimalsystem, Stellenwertsystem, Zahlschriften und Zahlzeichen; die Frage nach der Grundlegung der natürlichen Zahlen führt in die Grundlagen der Mathematik, insbesondere die Mengenlehre. Zweitens die vier Grundrechenarten und Vergleiche von Zahlen, mit Begriffen wie Abgeschlossenheit, Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, neutrales und inverses Element, Umkehroperation und Distributivgesetz; ihre Verallgemeinerung führt in die Algebra. Drittens die Zahlbereichserweiterungen: die Zahl Null, ganze Zahlen, Gegenzahl, Betrag, Vorzeichen, Bruchzahlen, Kehrwert, rationale Zahlen und die Mächtigkeit der Zahlenmengen. Zahlenmengen wie die reellen Zahlen, die komplexen Zahlen oder die Quaternionen gehören nicht mehr zur Arithmetik. Viertens Teiler und Teilbarkeit, mit Begriffen wie größter gemeinsamer Teiler (ggT), kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV), Euklidischer Algorithmus, Primzahl, Sieb des Eratosthenes, Primzahlsieb von Sundaram, Primfaktorzerlegung, Fundamentalsatz der Arithmetik und die Mächtigkeit der Menge der Primzahlen; diese Verallgemeinerung führt in die Zahlentheorie.