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Messunsicherheit
Zu einem Messergebnis als Näherungswert für den wahren Wert einer Messgröße gehört die Angabe einer Messunsicherheit. Diese grenzt einen Wertebereich ein, …
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Grundidee der Messunsicherheit
Ein Messergebnis ist ein Näherungswert für den wahren Wert einer Messgröße. Deshalb gehört zu ihm eine Messunsicherheit: Sie grenzt einen Wertebereich ein, in dem der wahre Wert mit einer anzugebenden Wahrscheinlichkeit liegt. Üblich sind Bereiche von ungefähr 68 % und ungefähr 95 %. Der als Ergebnis verwendete Schätzwert oder Einzelmesswert soll vorher um bekannte systematische Abweichungen korrigiert sein.
Die Messunsicherheit ist stets positiv und wird ohne Vorzeichen angegeben; auch sie ist ein Schätzwert. Kurz heißt sie oft Unsicherheit. Der früher verwendete Begriff Fehler ist nicht gleichbedeutend mit Messunsicherheit. Meist wird eine Normalverteilung angenommen. Dann liegt der Unsicherheitsbereich symmetrisch um den Schätzwert. Angegeben wird sie meist als Standardunsicherheit u oder als erweiterte Unsicherheit 2u.
Komponenten bestimmen
Nach ISO/IEC Guide 98-3, dem GUM, entsteht die Messunsicherheit durch die Kombination einzelner Unsicherheitsbeiträge der Eingangsgrößen einer Messung.
- Typ A wird durch die statistische Auswertung mehrerer statistisch unabhängiger Werte einer Messwiederholung bestimmt.
- Typ B wird ohne statistische Auswertung der aktuellen Messreihe bestimmt, zum Beispiel aus einem Kalibrierschein, der Genauigkeitsklasse eines Messgeräts, persönlichen Erfahrungen oder früheren Messungen. Auch eine Fehlergrenze kann verwendet werden; dabei wird eine Rechteckverteilung und damit eine A-priori-Verteilung angenommen.
Beide Arten beruhen auf Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Bei Typ A wird die Varianz durch Wiederholungsmessungen ermittelt, bei Typ B aus anderen Quellen. Typ A folgt der frequentistischen, Typ B der bayesschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation; Typ B beruht auf der Bayes-Laplace-Theorie.
Ringversuche nutzen
Bei einem Ringversuch untersuchen mehrere Labore idealerweise identische Proben mit demselben Messverfahren. Wichtige Ergebnisse sind die Wiederholstandardabweichung s_r als mittlere Streuung innerhalb der Labore und die Standardabweichung zwischen den Laboren s_L.
Diese beiden Standardabweichungen enthalten alle oder zumindest die meisten Unsicherheitskomponenten, die nach ISO/IEC Guide 98-3 einzeln berücksichtigt werden müssten. Das schließt Komponenten ein, die ein einzelnes Labor nicht durch Mehrfachmessungen erfassen kann. Sind die Bedingungen der ISO 21748 erfüllt, gilt im einfachsten Fall:
u = s_R = √(s_L² + s_r²)
Dabei ist s_R die Vergleichstandardabweichung. Gegebenenfalls müssen weitere Komponenten, etwa Probenahme, Probevorbereitung oder die Heterogenität der Probe, einbezogen werden. Ringversuchsdaten können vom Wert der Messgröße abhängen.
Bedeutung in Wissenschaft und Technik
Messunsicherheiten sollen Messergebnisse objektivierbar machen, indem sie angeben, in welchem Intervall der wahre Wert zu erwarten ist. Früher wurde dies als Konfidenzintervall beschrieben, dessen Größe vom Vertrauensniveau abhängt. Da die klassische Fehlerrechnung um unbekannte systematische Messabweichungen ergänzt werden muss, lässt sich der Messunsicherheit jedoch nicht auf dieselbe Weise eine Wahrscheinlichkeit zuordnen wie rein statistischen Abweichungen.
Sie sollen außerdem ein widerspruchsfreies Netz physikalischer Konstanten ermöglichen: Wird aus bekannten Konstanten mithilfe einer Verknüpfungsfunktion eine weitere bereits bekannte Konstante berechnet, muss die aus der Unsicherheitsfortpflanzung erhaltene Messunsicherheit den wahren Wert dieser Konstanten lokalisieren. Dies heißt „Rückverfolgbarkeit der wahren Werte“.
Schließlich dienen Messunsicherheiten dazu, Theorie und Experiment objektiv zu vergleichen. Sie können verwendet werden, um eine neue Theorie zu verwerfen oder zu bestätigen.
Unsicherheit angeben und schreiben
Die erweiterte Unsicherheit lautet U = k · u. Der Erweiterungsfaktor k bestimmt die Wahrscheinlichkeit, mit der der zugehörige Bereich den wahren Wert enthält. Vorzugsweise wird k = 2 verwendet; dies entspricht ungefähr 95 %. Bei k = 3 beträgt sie ungefähr 99,7 %. Für k = 1 spricht man von der Standardunsicherheit; die Wahrscheinlichkeit beträgt dann ungefähr 68 %.
Beispiel: Für l = 23,478 2 m und u = 0,003 2 m kann geschrieben werden: l = (23,478 2 ± 0,003 2) m. Der Bereich reicht dann von 23,475 0 m bis 23,481 4 m. Die ±-Schreibweise soll möglichst vermieden werden, wenn nicht deutlich ist, welche Unsicherheitskenngröße oder welcher Erweiterungsfaktor gemeint ist. Sie wird außerdem auch für Vertrauensbereiche und Toleranzen benutzt.
Bei unterschiedlich großen Abweichungen nach oben und unten, etwa auf einer logarithmischen Werteskala, ist eine Schreibweise wie l = (23,478 1⁺⁰,⁰⁰³³₋⁰,⁰⁰³¹) m möglich. Weitere Formen sind l = 23,478 2(0,003 2) m und für die Standardunsicherheit die Kurzschreibweise l = 23,478 2(3 2) m. In der Klammer steht dabei der Zahlenwert der Standardunsicherheit in Einheiten des Stellenwerts der letzten angegebenen Ziffer.
Grenzen der Fehlerrechnung und exakte Werte
Die klassische Gauß’sche Fehlerrechnung behandelt nur zufällige Abweichungen. Gauß wies jedoch bereits auf unbekannte systematische Messabweichungen hin: Sie entstehen durch zeitlich konstante, nach Betrag und Vorzeichen unbekannte Störgrößen, liegen meist in einer ähnlichen Größenordnung wie zufällige Abweichungen und müssen durch Intervalle eingegrenzt werden. Der heutige Mainstream der Metrologie behandelt das Schätzen der Messunsicherheit als einheitlich anzuwendende technische Vorschrift. In Deutschland wird im gesetzlichen Messwesen und Kalibrierdienst die Festlegung nach DIN empfohlen. DIN V ENV 13005 wurde zurückgezogen; empfohlen wird ISO/IEC Guide 98-3:2008-09 „Messunsicherheit – Teil 3: Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit beim Messen“.
Exakte Werte haben im metrologischen Zusammenhang weder Messunsicherheit noch systematische Abweichung. Dazu zählen grundsätzlich die zeitlich konstante Anzahl zählbarer Elemente und mathematisch definierte Zahlen wie π. Werte können auch konventionell exakt festgelegt sein: Ein Kilometer ist exakt 1000 Meter, ein Inch exakt 2,54 cm. Seit der SI-Reform von 2019 sind die SI-Einheiten über festgelegte Zahlenwerte fundamentaler Naturkonstanten definiert; daher ist beispielsweise der Zahlenwert der Planck-Konstante h in SI-Einheiten exakt. Exaktheit hängt nicht von einer endlichen oder periodischen Dezimaldarstellung ab; daher ist auch ℏ = h/(2π) exakt.
