Pyramide (Geometrie)

Begriff und Aufbau

Eine Pyramide ist in der Geometrie ein Polyeder, also ein geometrischer Körper. Sie besteht aus einem Polygon als Grundfläche und einer Spitze S, die nicht in der Ebene der Grundfläche liegt. Die Kanten des Polygons heißen Grundkanten; die Verbindungsstrecken von dessen Ecken zur Spitze heißen Seitenkanten. Die Oberfläche setzt sich aus der Grundfläche und dreieckigen Seitenflächen zusammen. Diese Dreiecke haben S gemeinsam und bilden zusammen die Mantelfläche.

Bei einer quadratischen Grundfläche heißt die Pyramide gerade quadratisch, wenn die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt des Quadrats liegt. Liegt sie nicht über diesem Mittelpunkt, ist sie schief. Allgemein heißt eine Pyramide regelmäßig, wenn ihre Grundfläche ein regelmäßiges Polygon ist, also gleich lange Kanten besitzt und alle Ecken auf einem Kreis mit Mittelpunkt C liegen. Ist C zugleich der Lotfußpunkt der Spitze auf der Grundebene, heißt die Pyramide gerade. Dann sind alle Seitenflächen kongruente gleichschenklige Dreiecke; alle übrigen Pyramiden heißen schief.

Allgemeine Eigenschaften und Volumen

Hat die Grundfläche n Ecken, den Flächeninhalt G und die Pyramide die Höhe h, so besitzt sie n + 1 Ecken, 2 · n Kanten und n + 1 Flächen. Ihr Volumen lautet

V = 1/3 · G · h.

Der Schwerpunkt C′ liegt auf der Strecke zwischen dem Mittelpunkt C der Grundfläche und der Spitze S. Er teilt diese Strecke im Verhältnis 1 : 3; sein Abstand von der Grundfläche beträgt daher s = h/4. Eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche (n = 3) heißt Tetraeder. Jede Pyramide ist bezüglich der Anordnung von Ecken, Kanten und Flächen selbstdual.

Die Volumenformel lässt sich elementargeometrisch begründen: Ein Würfel kann in drei kongruente quadratische Pyramiden zerlegt werden, deren Spitzen dieselbe Würfelecke sind. Außerdem haben zwei Pyramiden mit gleicher Höhe und gleich großen Grundflächen dasselbe Volumen; hierfür lassen sich das Prinzip von Cavalieri und die zentrische Streckung verwenden.

Mit Integralrechnung betrachtet man parallele, beliebig dünne Schichten im Abstand y von der Spitze. Für eine Grundfläche G und Höhe h gilt wegen der zentrischen Streckung A(y)/G = y²/h², also A(y) = (G/h²) · y². Damit folgt

V = ∫₀ʰ A(y) dy = ∫₀ʰ (G/h²) · y² dy = 1/3 · G · h.

Bei einem allgemeinen Tetraeder, das von den Vektoren a⃗, b⃗ und c⃗ aufgespannt wird, kann das Volumen auch über das Spatprodukt bestimmt werden:

V = 1/6 · |(a⃗ × b⃗) · c⃗|.

Jede beliebige polygonale Grundfläche lässt sich in Dreiecke und die entsprechende Pyramide damit in Tetraeder zerlegen. Sind die Eckkoordinaten bekannt, erhält man das Volumen als Summe der Tetraedervolumina.

Gerade regelmäßige Pyramiden

Für eine gerade regelmäßige Pyramide mit regelmäßigem n-Eck der Seitenlänge a als Grundfläche und Höhe h gilt

V = (n · a² · h/12) · cot(π/n).

Der Oberflächeninhalt ist

A = (n · a/4) · (a · cot(π/n) + √(4 · h² + a² · cot²(π/n))).

Die Steilkante, also die Seitenkante von der Spitze zu einer Grundecke, hat die Länge

l = √(h² + a²/(4 · sin²(π/n))).

Der Umkugelradius lautet rᵤ = h/2 + a²/(8 · h · sin²(π/n)); der Inkugelradius lautet rᵢ = (a · h)/(a + √(4 · h² · tan²(π/n) + a²)). Der Innenwinkel der regelmäßigen Grundfläche ist α = ((n − 2)/n) · 180°.

Für die gerade quadratische Pyramide (n = 4) vereinfachen sich wichtige Formeln zu V = a² · h/3, l = √(h² + a²/2), rᵤ = h/2 + a²/(4 · h) und rᵢ = (a · h)/(a + √(4 · h² + a²)). Sie hat 5 Ecken, 8 Kanten und 5 Flächen. Die Höhe einer gleichschenkligen Seitenfläche ist h′ = √(h² + a²/4), ihr Flächeninhalt ist (a/2) · √(h² + a²/4), und der gesamte Oberflächeninhalt ist A = a² + a · √(4 · h² + a²).

Die Winkel und Raumwinkel lassen sich mit Satz des Pythagoras, trigonometrischen Sätzen und Sätzen für den Arkustangens bestimmen. Für Raumwinkel wird der Satz von L’Huilier verwendet. An einer Grundecke treffen das regelmäßige n-Eck und zwei gleichschenklige Dreiecke zusammen; an der Spitze können die n Seitenflächen wegen der Rotationssymmetrie in n kongruente Teilwinkel zerlegt werden.

Spezialfälle verbinden regelmäßige Pyramiden mit platonischen Körpern: Für n = 3 und h = (a/3) · √6 entsteht ein regelmäßiges Tetraeder. Für n = 4 und h = (a/2) · √2 ist die quadratische Pyramide ein halbes reguläres Oktaeder. Sie besitzt vier gleichseitige Seitenflächen und ist der Johnson-Körper J₁. Für n = 5 und h = (a/10) · √(50 − 10 · √5) entsteht eine regelmäßige fünfseitige Pyramide als Teil eines Ikosaeders.

Größtes Volumen bei festem Oberflächeninhalt

Unter allen geraden quadratischen Pyramiden mit gegebenem Oberflächeninhalt A besitzt genau eine die größte Volumen. Für sie gilt

a = √A/2, h = √(A/2), also h = √2 · a.

Ihr maximales Volumen ist

V = 1/3 · a³ · √2 = (A · √A)/(12 · √2) = (√2/24) · A^(3/2).

Die Herleitung löst zunächst die Oberflächenformel nach h² auf und setzt sie in U(a) = 9 · V² = a⁴ · h² ein. Weil U′(a) = 18 · V(a) · V′(a) und V(a) > 0 ist, liegen lokale Extremstellen von V und U an denselben Stellen.

Allgemein hat unter geraden regelmäßigen Pyramiden mit regelmäßigem n-Eck als Grundfläche und festem A die voluminöseste Pyramide die Maße

a = √((A · tan(π/n))/n),

h = √((2 · A · cot(π/n))/n) = √(2 · A/π) · √((π/n) · cot(π/n)),

also h = √2 · cot(π/n) · a. Ihr maximales Volumen lautet

V = √((A³ · cot(π/n))/(72 · n)) = (A · √A)/(6 · √(2 · π)) · √((π/n) · cot(π/n)).

Bei gegebenem Volumen ergibt im Wesentlichen dieselbe Pyramide den kleinsten Oberflächeninhalt; von allen geraden regelmäßigen Pyramiden hat sie die größte Sphärizität. Wenn n gegen unendlich geht, sinkt a monoton gegen 0 und h steigt monoton gegen h_Kegel = √(2 · A/π). Der Quotient aus dem maximalen Pyramiden- und Kegelvolumen ist √((π/n) · cot(π/n)) und konvergiert gegen 1.

Kegel, Vermessung und verwandte Formen

Regelmäßige Pyramiden mit regelmäßiger n-eckiger Grundfläche können einen Kreiskegel annähern. Wird n immer größer, kann der Kreiskegel formal als regelmäßige Pyramide mit unendlich vielen Grundecken und Seitenlänge 0 aufgefasst werden. Hat das n-Eck den Umkreisradius rᵤ, so ist

V = (n · rᵤ² · h/6) · sin(2 · π/n).

Mit limₓ→₀ sin(x)/x = 1 folgt für den Kreiskegel

V_Kreiskegel = π · rᵤ² · h/3.

Für den Kegel mit größtem Volumen bei gegebenem Oberflächeninhalt A gilt r_Kegel = √(A/(4 · π)), h_Kegel = 2 · √2 · r_Kegel = √(2 · A/π) und V_Kegel = (A · √A)/(6 · √(2 · π)).

Bei großen Pyramidenbauwerken sind Basislängen meist direkt messbar, die Höhe aber nicht. Misst man im Abstand s von einer unteren Kante den Sehwinkel α zur Spitze, beträgt der waagerechte Abstand zur Spitze bei einer quadratischen Basis a/2 + s. Die Höhenbestimmung wird jedoch erschwert, weil die Spitze nicht genau über dem Grundflächenmittelpunkt liegen kann, Basiskanten durch abgebrochene Steine und Erosion unklar sind, Spitzen fehlen können und Seitenneigungen schwer feststellbar sind. Auch das Bezugsniveau der Basis und die Höhendifferenz des Beobachtungspunktes müssen festgelegt werden. Bei angenommener Basislänge 200 m und Höhe 140 m führt eine Höhenungenauigkeit von 10 cm zu etwa einer Bogenminute Unterschied beim Neigungswinkel: 54°27′44″ bei h = 140,0 m gegenüber 54°26′34″ bei h = 139,9 m. Bei abgetragenen Pyramiden muss die Spitze extrapoliert werden; die Chephren-Pyramide ist eine Ausnahme, weil im oberen Teil noch originale Decksteine vorhanden sind.

Verwandte Formen sind der Pyramidenstumpf, der parallel zur Grundfläche abgeschnitten ist, und die Doppelpyramide aus zwei spiegelsymmetrischen Pyramiden mit derselben Grundfläche. Eine Hyperpyramide verallgemeinert den Begriff auf n Dimensionen: Die beschriebene Pyramide ist dreidimensional, eine zweidimensionale Hyperpyramide ein Dreieck und eine vierdimensionale ein 5-Zell.