Körper (Geometrie)

Grundidee und Bedeutung

Ein Körper ist in der Geometrie eine Figur im dreidimensionalen euklidischen Raum, die durch ihre Oberfläche beschrieben werden kann. Die Oberfläche kann aus flachen oder gekrümmten Flächenstücken bestehen. Wenn die Oberfläche nur aus ebenen Flächenstücken besteht, nennt man den Körper einen Polyeder.

Geometrische Körper sind wichtig, weil man an ihnen räumliche Formen beschreibt und berechnet. Für viele Körper gibt es Formeln für Volumen und Oberflächeninhalt. Der Begriff wird genauer als dreidimensionaler Körper verstanden, weil ähnliche Begriffe auch in höheren Dimensionen verwendet werden können.

Typische Beispiele sind Kugel, Pyramide, Würfel, Volltorus, Hohlzylinder, Kreiszylinder, Kegel und ein verknoteter Volltorus. Beim Würfel lassen sich grundlegende Bestandteile wie Ecke, Kante und Fläche besonders einfach erkennen.

Mathematische Definitionen

Geometrische Körper können unterschiedlich definiert werden. Wenn der dreidimensionale Raum als Menge von Punkten betrachtet wird, ist ein Körper eine Teilmenge dieser Punkte mit bestimmten Eigenschaften.

In der Stereometrie ist ein Körper eine beschränkte dreidimensionale Teilmenge des dreidimensionalen Raums, die allseitig von endlich vielen ebenen oder gekrümmten Flächenstücken begrenzt wird, einschließlich dieser Begrenzungsflächen. Beschränkt bedeutet: Es gibt eine ausreichend große Kugel, die die Menge vollständig umfasst. Die Vereinigung aller begrenzenden Flächenstücke bildet die Oberfläche des Körpers. Diese Oberfläche zerlegt den Raum in zwei getrennte Teilmengen; das Innere des Körpers ist dabei diejenige Teilmenge, die keine Gerade enthält.

In der geometrischen Modellierung ist ein Körper eine beschränkte und reguläre Teilmenge des dreidimensionalen Raums. Regulär bedeutet, dass die Menge gleich dem Abschluss ihres Inneren ist. Diese Bedingung sorgt dafür, dass ein Körper ein Kompaktum ist, seinen Rand umfasst und vollständig dreidimensional ist. Er enthält also keine Bereiche niedrigerer Dimension. Diese Eigenschaft nennt man Homogenität eines Körpers. Nach dieser Definition darf ein Körper auch aus mehreren nicht miteinander verbundenen Komponenten bestehen.

Auch die Oberfläche eines Körpers kann aus mehreren nicht zusammenhängenden Teilen bestehen. Wenn diesen Teilflächen jeweils eine Orientierung zugewiesen wird, kann ein Körper über seine Oberfläche beschrieben werden. Das nennt man Oberflächendarstellung oder boundary representation.

Wichtige Beispiele

Zu den bekanntesten geometrischen Körpern gehören die Platonischen Körper. Sie zeichnen sich durch kongruente, also deckungsgleiche, Flächeneigenschaften aus.

Die fünf Platonischen Körper sind: Tetraeder, auch Vierflächner, mit einer Oberfläche aus vier Dreiecken; Hexaeder, auch Sechsflächner, mit einer Oberfläche aus sechs Quadraten, also der Würfel; Oktaeder, auch Achtflächner, mit einer Oberfläche aus acht Dreiecken; Dodekaeder, auch Zwölfflächner, mit einer Oberfläche aus zwölf Fünfecken, genauer auch Pentagondodekaeder genannt; und Ikosaeder, auch Zwanzigflächner, mit einer Oberfläche aus zwanzig Dreiecken.

Weitere Beispiele für geometrische Körper sind Kugel, Zylinder, Kegel, Torus und Pyramide. Die Pyramide wird besonders erwähnt, weil das Tetraeder nur vier Seiten hat, während die gewöhnlich gemeinte Pyramide fünf Seiten besitzt.

Polyeder und regelmäßige Körper

Ein Polyeder ist ein geometrischer Körper, dessen Grenzflächen Polygone sind. Polygone sind ebene Vielecke. Zu den bekanntesten Polyedern gehören die regelmäßigen Polyeder. Das sind dreidimensionale Vielflächner, die von regelmäßigen Vielecken begrenzt werden, deren Kanten nur nach außen zeigen und die nicht unendlich groß sind.

Beispiele für solche Körper sind der Würfel, der Tetraeder und der sogenannte Fußballkörper. Es gibt mehrere wichtige Gruppen solcher Körper: die platonischen Körper, die mit sich selbst oder untereinander dual sind, die archimedischen Körper, die dazu dualen catalanischen Körper sowie die Johnson-Körper. Außerdem gehören Prismen und Antiprismen zu den wichtigen Polyederformen.

Eine besondere Frage ist, mit welchen regelmäßigen Polyedern eine lückenlose Raumfüllung möglich ist. Laut Artikel gibt es nur fünf regelmäßige Polyeder, mit denen allein eine solche Raumfüllung möglich ist: Würfel, dreieckiges Prisma, sechseckiges Prisma, verdrehter Doppelkeil und Oktaederstumpf.

Konvexe Körper und Rotationskörper

Ein geometrischer Körper heißt konvexer Körper, wenn er konvex ist. Konvex bedeutet hier, dass der Körper keine nach innen gerichteten Einbuchtungen hat; anschaulich liegt die Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten des Körpers vollständig im Körper. Alle regelmäßigen Polyeder sind konvex. Konvexe Körper können auch durch Normen abgeleitet werden, zum Beispiel durch p-Normen.

Rotationskörper sind Körper, deren Oberfläche durch die Rotation einer Kurve um eine bestimmte Achse entsteht. Jede Schnittfläche, die orthogonal, also rechtwinklig, zur Rotationsachse liegt, ist kreisförmig oder kreisringförmig. Zu den Rotationskörpern gehören Kugel, Zylinder, Kegel, Kegelstumpf, Torus und Rotationsellipsoid.

Die Kugel hat unter den Rotationskörpern eine Sonderstellung: Jede Gerade durch ihren Mittelpunkt kann als Rotationsachse dienen.

Darstellung und Anwendungen

Zur Veranschaulichung geometrischer Körper verwendet man Körpernetze, physische Körpermodelle sowie Software-Anwendungen für dynamische Raumgeometrie und CAD. Körpernetze zeigen, wie die Flächen eines Körpers in der Ebene angeordnet werden können.

Für viele Körper kennt die Geometrie Formeln zur Berechnung von Oberfläche und Volumen. Außerdem lassen sich Symmetrieeigenschaften einzelner Körper in der Gruppentheorie darstellen. Auch Kristalle können geometrisch beschrieben werden: Sie sind aus idealisierten Elementarzellen aufgebaut, die sich als geometrische Körper verstehen lassen.