Polyeder – einfach erklärt

Grundidee und Eigenschaften

Ein Polyeder, auch Vielflächner oder Vielflach, ist ein dreidimensionaler Körper, der ausschließlich von ebenen Flächen begrenzt wird. Das zweidimensionale Analogon ist das Polygon. Beispiele sind der Würfel als beschränktes Polyeder und ein Oktant eines dreidimensionalen Koordinatensystems als unbeschränktes Polyeder.

Weil die Begrenzungsflächen eben sind, haben Polyeder nur geradlinige Kanten: Ebene Flächen schneiden sich als Teilmengen von Ebenen in Geraden. Wichtige Eigenschaften beschreiben einerseits die Topologie, also die Struktur des Körpers: Anzahl und Art der Seitenflächen, ihre Lage zueinander, Anzahl und Länge der Kanten, Anzahl der Ecken sowie die Anzahl der Flächen oder Kanten, die in jeder Ecke zusammentreffen. Andererseits betrachtet man Größen wie Volumen, Oberflächeninhalt und Gesamtlänge der Kanten. Ein Volumen ist angegeben, wenn jede Fläche eine eindeutige Orientierung hat.

Manche Polyeder besitzen Symmetrien, zum Beispiel Drehsymmetrie, Achsensymmetrie oder Punktsymmetrie. Die platonischen Körper definieren außerdem Symmetriegruppen: die Tetraedergruppe, die Oktaedergruppe und die Ikosaedergruppe.

Konstruktion und Grundformen

Polyeder können auf zwei grundlegende Arten konstruiert werden: aus Eckpunkten oder aus Flächen. Bei der Konstruktion aus Eckpunkten verbindet man mindestens vier Punkte, die nicht alle in einer Ebene liegen, durch Kanten. Drei Punkte spannen jeweils eine Ebene auf, daher entstehen mindestens Dreiecksflächen. Wenn vier oder mehr Punkte passend in einer Ebene liegen, können auch Vierecke oder Mehrecke als Begrenzungsflächen entstehen.

Bei der Konstruktion aus Flächen wird der Raum durch mindestens vier Ebenen geteilt. Die Zahl dieser Ebenen entspricht der Anzahl der Flächen F des Polyeders. Schnittpunkte zweier Ebenen bilden Kanten, deren Anzahl mit K bezeichnet wird. Schnittpunkte dreier oder mehrerer Ebenen bilden Eckpunkte, deren Anzahl E heißt. Wenn sich in einer Ecke mehr als drei Ebenen beziehungsweise Flächen treffen sollen, müssen mehr als drei Ebenen passend in einem Punkt zusammenlaufen.

Die in der Schulmathematik und im Alltag üblichen Polyeder sind dreidimensional und beschränkt. In der Topologie heißt das: Sie sind kompakte Teilmengen des dreidimensionalen euklidischen Raums. Ein Polyeder heißt dreidimensional, wenn es nicht vollständig in einer Ebene liegt. Es heißt beschränkt, wenn es eine Kugel gibt, in der es vollständig enthalten ist. Unbeschränkte Polyeder mit nur einer Ecke heißen Polyederkegel; dazu gehören etwa Trieder.

Wichtige Klassen

Ein Polyeder heißt konvex, wenn für je zwei Punkte des Polyeders die Verbindungsstrecke vollständig im Polyeder liegt. Ein Dodekaeder kann ein Beispiel für ein konvexes Polyeder sein; ein toroidales Polyeder ist ein Beispiel für ein nicht-konvexes Polyeder.

Polyeder lassen sich nach Regelmäßigkeiten einteilen. Wichtige Kriterien sind: Alle Seitenflächen sind regelmäßige Vielecke; alle Seitenflächen sind kongruent, also deckungsgleich; alle Ecken sind gleichartig, das heißt, jede Ecke kann durch Drehung oder Spiegelung mit jeder anderen zur Deckung gebracht werden; alle Winkel zwischen benachbarten Flächen, die Diederwinkel, sind gleich. Zu den genannten Klassen gehören 5 platonische Körper, 4 Kepler-Poinsot-Körper, zusammen 9 reguläre Polyeder, 13 archimedische Körper, 13 catalanische Körper und 92 Johnson-Körper. Außerdem gibt es unendlich viele reguläre Prismen geeigneter Höhe, reguläre Antiprismen geeigneter Höhe, reguläre Doppelpyramiden geeigneter Höhe und reguläre Trapezoeder geeigneter Höhe.

Orthogonale Polyeder haben Flächen, die sich im rechten Winkel treffen. Ihre Kanten verlaufen parallel zu den Achsen eines kartesischen Koordinatensystems. Mit Ausnahme des Quaders sind orthogonale Polyeder nicht konvex. Sie werden in der algorithmischen Geometrie genutzt, weil ihre eingeschränkte Struktur bei sonst schwierigen Problemen hilfreich sein kann, etwa beim Entfalten der Polyederflächen in ein polygonales Netz.

Chirale Polyeder stimmen topologisch nicht mit ihrem Spiegelbild überein. Sie besitzen Händigkeit: Es gibt eine rechtshändige und eine linkshändige Variante, die durch Spiegelung aufeinander abgebildet werden können. Beispiele sind der abgeschrägte Würfel und das schiefe Dekaeder. Apeiroeder sind unbeschränkte Polyeder mit sich wiederholenden Strukturen.

Euler-Satz und Zählregeln

Für konvexe und beschränkte Polyeder gilt der eulersche Polyedersatz: E - K + F = 2. Dabei ist E die Anzahl der Ecken, K die Anzahl der Kanten und F die Anzahl der Flächen.

Für zusammenhängende Polyeder gilt allgemeiner E - K + F = χ, wobei χ die Euler-Charakteristik ist. Für einen Torus ist χ = 0. Das im Artikel genannte toroidale Polyeder hat 24 Ecken, 72 Kanten und 48 Flächen, also E - K + F = 24 - 72 + 48 = 0.

Für alle Polyeder ist die Anzahl der Flächen mit ungerader Eckenanzahl gerade. Der Grund ist, dass die Summe der Kantenanzahlen aller Seitenflächen gerade ist, weil jede Kante dabei zweimal gezählt wird. Ebenso ist die Anzahl der Ecken, an denen eine ungerade Anzahl von Flächen zusammentrifft, gerade, weil auch hier die Summe der an Ecken zusammentreffenden Kanten die doppelte Kantenanzahl ergibt.

Für jedes konvexe Polyeder gilt 2 · K ≥ 3 · F, weil jede Fläche an mindestens 3 Kanten liegt und jede Kante genau 2 Flächen begrenzt. Zusammen mit E - K + F = 2 folgt E ≥ F/2 + 2 = ⌊(F + 5)/2⌋. Außerdem gilt 2 · K ≥ 3 · E, weil in jeder Ecke mindestens 3 Kanten zusammentreffen und jede Kante genau 2 Ecken hat. Daraus folgt E ≤ 2 · F - 4. Ein konvexes Polyeder mit F Flächen hat also mindestens ⌊(F + 5)/2⌋ und höchstens 2 · F - 4 Ecken. Entsprechend hat ein Polyeder mit E Ecken mindestens ⌊(E + 5)/2⌋ und höchstens 2 · E - 4 Flächen.

Benennung, Beispiele und Dualität

Polyeder werden nur ausnahmsweise nach der Anzahl ihrer Flächen klassifiziert; meist ist die Form oder Konstruktion wichtiger. Ein Tetraeder ist eindeutig. Ein Pentaeder ist eine fünfseitige Pyramide oder ein dreiseitiges Prisma. Bei Hexaedern gibt es bereits 7 konvexe und 4 konkave Polyeder. Bei Oktaedern gibt es 257 konvexe Polyeder und zusätzlich eine größere Zahl konkaver Polyeder. Bei Dodekaedern gibt es mehr als 6 Millionen konvexe Polyeder; bei Tetradekaedern wird schon die Milliarde erreicht. Namen mit „-dekaeder“ bedeuten nicht zwingend, dass der Körper 12 Flächen hat: Ein ausgehöhltes Dodekaeder hat 20 Flächen, ein Rhombenikosidodekaeder 62 Flächen.

Für jedes konvexe Polyeder P gibt es ein duales Polyeder P'. Dabei entspricht jeder Ecke von P genau eine Fläche von P', und zwei Flächen von P' grenzen genau dann aneinander, wenn die entsprechenden Ecken von P durch eine Kante verbunden sind. Umgekehrt entsprechen die Ecken von P' den Flächen von P, und auch die Kanten sind bijektiv zugeordnet. Das Dual des Würfels ist der Oktaeder, und das Dual des Oktaeders ist wieder der Würfel. Duale Polyeder treten paarweise auf, und das Dual des Duals ist wieder das ursprüngliche Polyeder: (P')' = P. Selbst-duale Polyeder sind mit ihrem Dual kongruent, zum Beispiel das Tetraeder, die quadratische Pyramide und alle regelmäßigen Pyramiden. Das Dual eines platonischen Körpers ist wieder ein platonischer Körper; jeder der 13 archimedischen Körper ist dual zu einem der 13 catalanischen Körper und umgekehrt.

Im Alltag erscheinen Polyeder zum Beispiel als Schränke, Pyramiden, Häuser, Kristalle, Spielwürfel und geodätische Kuppeln. Keine Polyeder sind Kugeln, Kegel, Flaschen und Tortenstücke, weil sie gekrümmte Randflächen besitzen.

Verallgemeinerungen

Das Prinzip, Raum durch ebene Flächen zu begrenzen, lässt sich auf mehr als drei Dimensionen übertragen. Solche Körper heißen reguläre Polytope. Der Begriff „Polyeder“ wird teilweise auch für nicht notwendigerweise dreidimensionale Räume verwendet.

In der Topologie nennt man eine Teilmenge des ℝⁿ ein Polyeder, wenn sie triangulierbar ist, also als Vereinigung der Simplexe eines simplizialen Komplexes K ⊆ 2^ℝⁿ gebildet werden kann. Ein Simplex ist die höherdimensionale Verallgemeinerung von Punkt, Strecke, Dreieck oder Tetraeder. Das homöomorphe Bild eines solchen allgemeinen Polyeders heißt krummes Polyeder; die Bilder der beteiligten Simplexe heißen krumme Simplexe.

In der linearen Optimierung ist ein konvexes Polyeder im ℝⁿ der Schnitt von endlich vielen Halbräumen. Nach dieser Definition muss ein Polyeder nicht beschränkt sein. Ein beschränktes nichtleeres Polyeder heißt dann Polytop. Nach dem Zerlegungssatz für konvexe Polyeder ist eine Teilmenge des ℝⁿ genau dann ein Polyeder, wenn sie als Summe eines konvexen Polytops und eines konvexen polyedrischen Kegels dargestellt werden kann.