Quotientenregel

Definition und Voraussetzungen

Die Quotientenregel ist eine grundlegende Ableitungsregel. Sie berechnet die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen aus deren einzelnen Ableitungen. In Kurzschreibweise gilt:

( u/v )′ = (u′·v − u·v′)/v².

Genauer: Sind u(x) und v(x) auf einem Intervall D reell- oder komplexwertige Funktionen, die an einer Stelle x₀ ∈ D differenzierbar sind, und gilt v(x₀) ≠ 0, dann ist auch

f(x) := u(x)/v(x)

an x₀ differenzierbar. Ihre Ableitung lautet

f′(x₀) = [u′(x₀)·v(x₀) − u(x₀)·v′(x₀)]/[v(x₀)]².

Die Bedingung v(x₀) ≠ 0 ist notwendig, weil der Quotient bei einem Nennerwert von null nicht definiert ist. Beim Anwenden der Regel wird also die Ableitung des Zählers mit dem ursprünglichen Nenner multipliziert; davon wird das Produkt aus ursprünglichem Zähler und Ableitung des Nenners abgezogen. Der Nenner des Ergebnisses ist das Quadrat des ursprünglichen Nenners.

Anwendungsbeispiele

Für

f(x) = (x² − 1)/(2 − 3x)

setzt man u(x) = x² − 1 und v(x) = 2 − 3x. Dann sind u′(x) = 2x und v′(x) = −3. Für x ≠ 2/3 ergibt die Quotientenregel:

f′(x) = [2x·(2 − 3x) − (x² − 1)·(−3)]/(2 − 3x)² = (−3x² + 4x − 3)/(2 − 3x)².

Auch die Ableitung des Tangens folgt aus der Quotientendarstellung

tan(x) = sin(x)/cos(x).

Mit sin′(x) = cos(x) und cos′(x) = −sin(x) erhält man für alle Stellen mit cos(x) ≠ 0:

tan′(x) = [cos(x)·cos(x) − sin(x)·(−sin(x))]/cos²(x) = [cos²(x) + sin²(x)]/cos²(x) = 1/cos²(x).

Herleitung über Änderungen

Wächst x um Δx, so ändern sich u und v um Δu beziehungsweise Δv. Die Änderung des Quotienten ist

(u + Δu)/(v + Δv) − u/v.

Nach Bildung eines gemeinsamen Nenners und Vereinfachung ergibt sich

[Δu·v − u·Δv]/[v² + Δv·v].

Teilt man diesen Ausdruck durch Δx, erhält man den Differenzenquotienten des Quotienten:

[(Δu/Δx)·v − u·(Δv/Δx)]/[v² + Δv·v].

Beim Grenzübergang Δx → 0 gehen Δu/Δx und Δv/Δx in die Ableitungen u′ und v′ über. Zugleich geht Δv gegen null, sodass der Nenner gegen v² strebt. Daraus folgt

( u/v )′ = (u′·v − u·v′)/v².

Beweis mit dem Differenzenquotienten

Ist v an x₀ differenzierbar, dann ist v dort auch stetig. Aus v(x₀) ≠ 0 folgt deshalb, dass es eine Umgebung U von x₀ gibt, in der v(x) nirgends null ist. Der Differenzenquotient von f(x) = u(x)/v(x) ist dort wohldefiniert:

1/(x − x₀) · [u(x)/v(x) − u(x₀)/v(x₀)].

Durch Zusammenfassen der Brüche sowie Addition und Subtraktion von u(x₀)v(x₀) im Zähler lässt er sich schreiben als

1/[v(x)v(x₀)] · {[(u(x) − u(x₀))/(x − x₀)]·v(x₀) − u(x₀)·[(v(x) − v(x₀))/(x − x₀)]}.

Für x → x₀ streben die beiden Differenzenquotienten gegen u′(x₀) beziehungsweise v′(x₀). Wegen der Stetigkeit von v strebt v(x)v(x₀) gegen [v(x₀)]². Damit ergibt sich genau

f′(x₀) = [u′(x₀)·v(x₀) − u(x₀)·v′(x₀)]/[v(x₀)]².

Beweis mit Produkt- und Kehrwertregel

Ein Quotient lässt sich als Produkt mit einer Kehrwertfunktion schreiben:

f(x) = u(x)/v(x) = u(x)·[1/v(x)].

Nach der Produktregel gilt

f′(x) = u′(x)·1/v(x) + u(x)·(1/v(x))′.

Die Kehrwertregel liefert

(1/v(x))′ = −v′(x)/v²(x).

Einsetzen und Zusammenfassen auf den gemeinsamen Nenner v²(x) ergibt

f′(x) = u′(x)/v(x) − u(x)·v′(x)/v²(x) = [u′(x)·v(x) − u(x)·v′(x)]/v²(x).

Damit folgt die Quotientenregel unmittelbar aus der Produktregel und der Regel für die Ableitung des Kehrwerts.