Kugel

Begriff und Darstellung

In der Geometrie kann „Kugel“ sowohl die Kugelfläche als auch den Kugelkörper bezeichnen. Die Kugelfläche, auch Sphäre oder Kugeloberfläche, ist die Menge aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, die von einem festen Punkt denselben Abstand r haben. Dieser Punkt heißt Mittelpunkt oder Zentrum, r heißt Radius. Die Fläche entsteht auch, wenn eine Kreislinie um einen ihrer Durchmesser gedreht wird. Sie ist eine Rotationsfläche und eine spezielle Fläche zweiter Ordnung.

Die Kugelfläche trennt den Raum in zwei offene Bereiche. Der konvexe Bereich ist das Innere. Kugelfläche und Inneres zusammen bilden den Kugelkörper, die Vollkugel oder den Ball.

Für den Mittelpunkt (x_M, y_M, z_M) gilt für alle Punkte (x, y, z) der Oberfläche: (x−x_M)²+(y−y_M)²+(z−z_M)²=r². In Vektorschreibweise lautet dieselbe Bedingung |x⃗−m⃗|=r. Beim Kugelkörper steht entsprechend |x⃗−m⃗|≤r.

Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt im Ursprung lässt sich durch Kugelkoordinaten parametrisieren: x=r·sin θ·cos φ, y=r·sin θ·sin φ, z=r·cos θ, mit 0≤θ≤π und 0≤φ<2π.

Schnitte und Kurven

Der Schnitt einer Ebene mit einer Kugel ist ein Kreis, ein einzelner Punkt oder leer. Verläuft die Ebene durch den Mittelpunkt, heißt der Schnittkreis Großkreis, andernfalls Kleinkreis. Die beiden Teile, die durch einen ebenen Schnitt entstehen, heißen Kugelabschnitte oder Kugelsegmente; bei einem Großkreis entstehen zwei Halbkugeln oder Hemisphären. Der gekrümmte Oberflächenteil eines Segments heißt Kugelkappe, Kugelhaube oder Kugelkalotte.

Ein Kugelsegment bildet zusammen mit dem Kegel, dessen Grundfläche der Schnittkreis und dessen Spitze der Kugelmittelpunkt ist, einen Kugelsektor. Zwei parallele Schnittebenen begrenzen eine Kugelschicht; ihre gekrümmte Oberfläche ist die Kugelzone. Zwei sich schneidende Ebenen können ein Kugelzweieck begrenzen. Entfernt man aus einer größeren Vollkugel eine kleinere konzentrische Kugel, entsteht eine Kugelschale oder Hohlkugel.

Auch Schnitte mit Zylindern, Kegeln und anderen Quadriken erzeugen Kurven. Eine Rotationsfläche, deren Achse durch den Kugelmittelpunkt geht, schneidet die Kugel – sofern der Schnitt nicht leer ist – in Kreisen und/oder Punkten. Beispielsweise kann ein Zylinder zwei Schnittkreise oder bei passender Größe einen Berührkreis liefern.

Clelia-Kurven entstehen bei der Parametrisierung x⃗=(r cos θ cos φ, r cos θ sin φ, r sin θ)ᵀ durch die Bedingung φ=cθ mit c>0. Spezialfälle sind die vivianische Kurve bei c=1 und Kugelspiralen bei c>2. Eine Loxodrome schneidet alle Meridiane unter demselben Winkel. Sie windet sich spiralartig um die Pole, erreicht sie aber nicht, und ist keine Kugelspirale in diesem Sinn.

Wichtige Formeln und Herleitungen

Für Radius r und Durchmesser d gelten: • d=2r • Großkreisumfang U=2πr=πd • Volumen V=4/3·πr³=1/6·πd³ • Oberfläche A_O=4πr²=πd² • Projektionsfläche beziehungsweise Kugelquerschnitt A_PF=πr²=1/4·πd²

Für eine Kugelkalotte der Höhe h gelten V_KK=πh²(3r−h)/3 und A_KK=2πrh. Auch die Mantelfläche einer Kugelschicht der Höhe h ist A_KS=2πrh. Das Trägheitsmoment um eine Achse durch den Mittelpunkt beträgt bei einer Vollkugel J=2/5·mr² und bei einer Sphäre J=2/3·mr².

Archimedes’ Volumenherleitung vergleicht eine Halbkugel mit einem Zylinder vom Radius r und der Höhe r, aus dem ein gleich hoher Kegel mit Grundradius r entfernt wurde. In der Höhe h besitzen beide Körper nach dem Satz des Pythagoras dieselbe Schnittfläche π(r²−h²). Nach dem Prinzip von Cavalieri haben sie daher dasselbe Volumen. Es folgt V_Halbkugel=πr³−1/3·πr³=2/3·πr³ und damit V_Kugel=4/3·πr³.

Mit Integralrechnung erhält man im Abstand x vom Mittelpunkt den Schnittkreisradius s=√(r²−x²) und die Fläche A_x=π(r²−x²). Deshalb gilt V=∫ von −r bis r π(r²−x²) dx=4/3·πr³. Die entsprechende Integration von r−h bis r liefert für ein Kugelsegment V_KS=πh²(3r−h)/3. In Kugelkoordinaten lautet das Volumenelement dV=r²sin θ·dr·dφ·dθ; die Integration über 0≤r≤R, 0≤θ≤π und 0≤φ≤2π ergibt ebenfalls 4/3·πR³.

Die Oberfläche ist der zweidimensionale Rand der Kugel und hat den Inhalt A_O=4πr². Sie ist damit genauso groß wie die Mantelfläche des die Kugel umhüllenden Zylinders. Die Formel folgt beispielsweise aus V=⅓A_Or und V=4/3·πr³. Ebenso ergibt sie sich durch Ableiten des Volumens: A_O=dV/dr=4πr². In Kugelkoordinaten ist das Flächenelement dA=r²sin θ·dθ·dφ; seine Integration über die gesamte Oberfläche liefert wieder 4πr².

Geometrische Eigenschaften

Eine Kugel besitzt unendlich viele Symmetrieebenen: alle Ebenen durch ihren Mittelpunkt. Sie ist um jede Achse durch den Mittelpunkt bei jedem Drehwinkel drehsymmetrisch und außerdem punktsymmetrisch zum Mittelpunkt. Sie hat weder Kanten noch Ecken.

Die gaußsche Krümmung der Oberfläche beträgt überall 1/r². Deshalb lässt sich eine Kugeloberfläche nicht verzerrungsfrei in die Ebene ausbreiten, was für Karten der Erde wichtig ist. Die kürzeste Verbindung zweier Oberflächenpunkte, eine Geodäte, liegt auf einem Großkreis. Auf der Erde sind Längenkreise Großkreise; unter den Breitenkreisen gilt dies nur für den Äquator.

Durch stereografische Projektion lässt sich die Kugel bis auf einen Pol bijektiv, also eindeutig in beide Richtungen, auf die Ebene abbilden. In der Funktionentheorie entsteht so die riemannsche Zahlenkugel, eine kompakte riemannsche Fläche vom Geschlecht 0.

Unter allen Körpern mit gleichem Volumen besitzt die Kugel die kleinste Oberfläche; bei gegebener Oberfläche schließt sie das größte Volumen ein. Daher sind etwa Seifenblasen und Wassertropfen ohne Berücksichtigung der Gravitation kugelförmig. Planeten sind näherungsweise Kugeln; natürliche Kugeln erreichen die mathematische Idealform jedoch nur näherungsweise.

Ein umbeschriebener Zylinder mit Radius r und Höhe 2r hat gegenüber der Kugel das Volumenverhältnis V_K:V_Z=2:3. Eine Kugel entsteht außerdem als Rotationskörper, wenn eine Halbkreisfläche um ihren Durchmesser gedreht wird. Wird stattdessen eine Ellipse um eine Achse gedreht, entsteht ein Rotationsellipsoid oder Sphäroid.

Verallgemeinerungen und Kugelpackung

Im n-dimensionalen euklidischen Raum ist eine n-dimensionale Kugel die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt höchstens r beträgt. Ihr Rand besteht aus den Punkten mit Abstand genau r und heißt (n−1)-dimensionale Sphäre. Eine Einheitskugel hat Mittelpunkt im Ursprung und Radius 1. So ist die dreidimensionale Kugel die gewöhnliche Vollkugel mit einer 2-Sphäre als Oberfläche; in zwei Dimensionen erhält man eine Kreisfläche mit einer 1-Sphäre als Rand, in einer Dimension eine Strecke mit ihren beiden Endpunkten als 0-Sphäre. Die Bezeichnungen Kugel und Sphäre werden allerdings nicht von allen Autoren einheitlich verwendet.

Das n-dimensionale Volumen lautet V_n(r)=rⁿ·π^(n/2)/Γ(n/2+1), wobei Γ die Gammafunktion, eine kontinuierliche Erweiterung der Fakultät, ist. Damit ist V_n(r) proportional zu rⁿ. Der Inhalt der Oberfläche folgt durch Ableitung: O_n(r)=n·r^(n−1)·π^(n/2)/Γ(n/2+1)=2r^(n−1)·π^(n/2)/Γ(n/2).

In einem metrischen Raum (X,d), also einem Raum mit einem Abstandsbegriff, ist die offene Kugel B(a,r)={x∈X | d(a,x)<r}; die abgeschlossene Kugel ist B̄(a,r)={x∈X | d(a,x)≤r}. Die Schreibweisen unterscheiden sich je nach Autor.

Bei der dichtesten Packung gleich großer Kugeln beträgt die Packungsdichte π/(3√2)≈0,74048≈74 %. Rund 26 % des Gesamtraums bleiben leer. Die Kugeln können in hexagonalen Schichten angeordnet werden: Jede Kugel berührt sechs Nachbarn derselben Schicht sowie jeweils drei Kugeln darüber und darunter. Eine zweite Beschreibung verwendet tetragonale, also quadratische Schichten; dabei berührt jede Kugel vier Nachbarn in ihrer Schicht und jeweils vier in den angrenzenden Schichten.

Anwendungsbeispiele

Erde, Mond und Mars sind näherungsweise kugelförmig. Für die Erde gelten ein mittlerer Durchmesser von 12 742 km, r=6371 km und eine Masse von etwa 5,9724·10²⁴ kg. Daraus folgen V≈1,0832·10¹² km³, eine mittlere Dichte von etwa 5514 kg/m³ und A≈5,101·10⁸ km².

Der Mond hat einen mittleren Durchmesser von 3474 km, r=1737 km und eine Masse von etwa 7,346·10²² kg. Sein Volumen beträgt ungefähr 2,1958·10¹⁰ km³ oder 2,0 % des Erdvolumens, seine mittlere Dichte etwa 3345 kg/m³ und seine Oberfläche ungefähr 3,793·10⁷ km² beziehungsweise 7,4 % der Erdoberfläche. Für den Mars gelten ein mittlerer Durchmesser von 6780 km, r=3390 km und eine Masse von etwa 6,417·10²³ kg. Er besitzt V≈1,6318·10¹¹ km³, etwa 15,1 % des Erdvolumens, eine mittlere Dichte von ungefähr 3933 kg/m³ und A≈1,448·10⁸ km², etwa 28,4 % der Erdoberfläche.

Ein Fußball mit ungefähr 68 cm Umfang hat den Radius r=68 cm/(2π)≈10,8 cm. Bei einer Masse von etwa 410 g ergeben sich V≈5,28·10³ cm³=5,28·10⁻³ m³ und eine mittlere Dichte von ungefähr 78 kg/m³. Andere Bälle können trotz ähnlicher Form sehr unterschiedliche mittlere Dichten besitzen: Im Artikel reichen die Vergleichswerte von etwa 56 kg/m³ beim Volleyball bis 1735 kg/m³ bei der Billardkugel.