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Kugel - Volumen - Oberfläche - Herleitung der Formeln - www.mathe-video.com - Tobias Gnad
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 31 Zeilen
- willkommen auf der Internetseite mathevide.com wir befassen uns mit der Kugel und mit dem Volumen und der Oberfläche die Herleitung der Formeln
- dieses Video und viele weitere kostenlose Lernmöglichkeiten gibt's auf mattevidecom zum Volumen der Kugel wir haben hier z.B einen Kegel im Zylinder
- hier und auch da dargestellt hier ist ein Zylinder auch hier dar stellt und eine Halbkugel auch hier dargestellt alle diese Körper haben die Höhe h = r
- und auch den gleichen Radius r also hier ist die Höhe gleich und auch dieser Radius ist gleich bei all diesen Körpern dann gilt für den Kegel im
- Zylinder als Volumen 1 dritt x R hoch 3 x PI warum gerade R hoch 3 eigentlich hätten wir ja ein dritt mal r² mal Pi mal H h ist aber wiederum gleich R daher
- kommen wir zu dem R hoch 3 das gleiche gilt jetzt beim R hoch 3 auch beim Zylinder V = R hoch 3*
- PI das Volumen für die Halbkugel kennen wir eben noch nicht jetzt passiert folgendes Wasser wird vom Zylinder in den Kegel und dann
- in den Halbkreis geschüttet also hier ist jetzt Wasser drin und hier vom Zylinder aus wird Wasser in den Kegel geschüttet was passiert hier ist das
- Wasser drin und hier fehlt ein Drittel zwei Drittel bleiben dieser Rest wird jetzt in die Halbkugel
- geschüttet was passiert die Halbkugel ist voll mit Wasser und im Zylinder ist kein Wasser mehr vorhanden was bedeutet das jetzt für das
- Volumen der ugel das Volumen der Halbkugel ist jetzt gerade das Volumen des Zylinders minus das Volumen des Kegels also gerad dieses
- Wasser was hier in der Halbkugel ist ist das was zuerst im Zylinder war und ein Drittel ist ja dann abgezwackt worden ist dann im Kegel und
- genau dieser Rest hat gereicht um die Halbkugel zu füllen setzen wir jetzt also die Formeln ein Volumen des Zylinders war R hoch 3 x PI
- das Volumen des Kegels ein dr R hoch 3 x PI es bleibt also für die Halbkugel 2 dr x R hoch 3 x PI übrig das stimmt auch mit der Anschauung
- überein wir haben gesehen 2 dritt hier im Zylinder hat gerade gereicht um die halkugel zu füllen wir haben aber jetzt hier erst
- die Halbkugel berechnet natürlich wollen wir die Kugel bestimmen Hal Kugel eben mal 2 und somit kommen wir zu 43 x R hoch 3 x
- PI jetzt geht's weiter mit der Oberfläche der Kugel wir haben hier einen Körper der setzt sich zusammen hier hab es mal beispielhaft hier
- dargestellt aus lauter einzelnen Zylindern lauter einzelnen Pyramiden lauter Pyramiden hier hier ist z.B die Grundfläche G1 das könnte ich jetzt
- weiter zeichnen lauter einzelne Pyramiden auch hier eine andere Grundfläche auch eine Pyramide wenn ich jetzt hier nicht nur
- vielleicht 50 einzelne Pyramiden hätte sondern 100.000 dann wird sich das immer mehr einer Kugel angleichen die Grundflächen werden immer kleiner und es
- sieht immer mehr so aus wie eine Kugel so und jetzt schauen wir uns das Volumen aller dieser Pyramiden an diese en sich ja zusammen also eine Pyramide
- hätte ja hier ein Drittel mal Grundfläche mal Radius wenn ich jetzt dann unendlich viele hätte würde ich das immer weiter addieren können und hier so
- darstellen lauter Summen von den einzelnen Pyramiden jetzt kann ich hier ein Drittel mal R
- ausklammern das bewirkt dass ein dritt mal R mal eben die ganzen Grundflächen hier multipliziert werden das sind hier also die ganzen Grundflächen und die
- Grundflächen der Pyramiden entspricht natürlich genau wiederum der Oberfläche der Kugel mal ein dritt mal
- R also da sind wir stehenblieben das Volumen aller Pyramiden ist eigentlich auch ein Drittel mal R mal der Oberfläche der
- Kugel das Volumen der Kugel K wir schon hatten wir vorher gezeigt mit 43 x R hoch 3 x PI und jetzt können wir das Volumen
- aller Pyramiden also hier das ein Drittel mal R mal die Oberfläche der Kugel das war das Volumen aller Pyramiden
- gleichsetzen mit der Oberfläche der Kugel also hier 43 x R hoch 3 x PI jetzt multipliziere ich mit 3 auf beiden Seiten eine Äquivalenzumformung führt
- hier zu dieser Gleichung ich teile im nächsten Schritt durch 3 und es bleibt übrig dass die
- Oberfläche der Kugel gleich ist mit 4 x R hoch 2* PI das war's ich wünsche viel Erfolg beim weiteren lernen auf matthevide.com
Zum Nachlesen
KugelFormeln ; Volumen einer Kugelkalotte, V K K = π h 2 3 ( 3 r − h ) {\displaystyle V_{\mathrm {KK} }={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)} {\displaystyle V_{\mathrm {KK} } …
VolumenVolumen-Berechnung ; senkrechter Kreiskegel, V = 1 3 π r 2 h {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h} {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\ ; Torus, V = 2 π 2 R r 2 …