Dehnung

Grundidee und Definition

Die Dehnung, Formelzeichen ε, beschreibt die relative Längenänderung eines Körpers bei einer Verformung unter Belastung. Eine Belastung kann zum Beispiel durch eingeprägte Kräfte oder durch eine Temperaturänderung entstehen. Wird der Körper länger, spricht man von positiver Dehnung, Streckung oder Längung. Wird er kürzer, spricht man von negativer Dehnung, Kontraktion oder Stauchung.

Definiert ist die Dehnung durch die Formel ε = Δℓ / ℓ₀. Dabei ist Δℓ die Längenänderung und ℓ₀ die ursprüngliche Länge. Die Dehnung hat die Dimension Zahl, sie besitzt also keine eigene Einheit. Häufig wird sie auch mit 100 % multipliziert und als Prozentzahl angegeben. Die Werte Δℓ und ℓ₀ werden üblicherweise direkt am Prüfkörper gemessen.

Einheiten und Materialverhalten

Im technischen Bereich wird Dehnung auch in Mikrometer pro Meter (µm/m) angegeben. Dafür werden, abgeleitet von Mikroepsilon, auch die Schreibweisen µeps, µε oder im Deutschen µD verwendet. Es gilt: 1 µm/m entspricht 0,0001 Prozent oder 1 · 10⁻⁶ ε. Eine Dehnung von 0,001 ε entspricht 1.000 µm/m. Eine 1-prozentige Dehnung entspricht 10.000 µm/m.

Für viele Werkstoffe ist die Dehnung in bestimmten Grenzen proportional zur wirkenden Spannung. Spannung ist dabei die mechanische Beanspruchung eines Materials. Dieser Zusammenhang wird im linear-elastischen Bereich durch das Hookesche Gesetz beschrieben. Das Verhältnis von Spannung zu Dehnung heißt Elastizitätsmodul. Es gibt an, wie steif ein Werkstoff ist.

Dehnung in mehreren Richtungen

Bei einer Längsdehnung entsteht durch Querkontraktion auch quer zur Kraftrichtung eine sekundäre Dehnung mit umgekehrtem Vorzeichen. Querkontraktion bedeutet, dass ein Körper bei Zug in Längsrichtung seitlich schmaler wird oder bei Druck seitlich breiter werden kann. Das Verhältnis aus Quer- und Längsdehnung heißt Poissonzahl.

In allgemeinen Belastungssituationen können Zug-, Druck- und Scherkräfte zusammen auftreten. Scherung bedeutet, dass sich Teile eines Körpers seitlich gegeneinander verschieben. Dadurch entstehen komplexe Dehnungen in allen drei Raumrichtungen. Der Dehnungszustand hängt außerdem vom gewählten Bezugssystem ab.

Die vollständige mathematische Beschreibung solcher Dehnungszustände erfolgt mit Tensoren. Der Verzerrungstensor ε und der Spannungstensor σ sind Grundlagen der Elastizitätstheorie fester Körper. Sie bilden auch das Grundgerüst für Computermodelle zur Verformungssimulation, zum Beispiel mit der Finite-Elemente-Methode. Grafisch lassen sich Spannungs-Dehnungs-Zusammenhänge mit Spannungs-Dehnungs-Diagrammen darstellen; die Abhängigkeit vom Bezugssystem kann mit Mohrschen Spannungs- beziehungsweise Dehnungskreisen ausgewertet werden.

Technische Dehnung

Von technischer Dehnung spricht man, wenn die Dehnung immer auf die Ausgangslänge ℓ₀ vor der ersten Krafteinleitung bezogen wird. Diese Methode ist besonders einfach, weil ℓ₀ eine Konstante bleibt. Die technische Dehnung wird auch Cauchy-Dehnung ε_C genannt.

Ein Nachteil ist, dass bei mehreren aufeinanderfolgenden Dehnungen die Summe der Teildehnungen nicht automatisch der Gesamtdehnung entspricht. Für zwei Längenänderungen Δℓ₁ und Δℓ₂ gilt für die technische Betrachtung: ε_C = (Δℓ₁ + Δℓ₂) / ℓ₀. Das ist nicht identisch mit ε_tot = ε₁ + ε₂ = Δℓ₁ / ℓ₀ + Δℓ₂ / ℓ₁ = Δℓ₁ / ℓ₀ + Δℓ₂ / (ℓ₀ + Δℓ₁).

Wenn die erste Längenänderung im Vergleich zur Ausgangslänge sehr klein ist, also Δℓ₁ ≪ ℓ₀, gilt näherungsweise ℓ₁ ≈ ℓ₀. Dann ist ε₂ ≈ Δℓ₂ / ℓ₀ und damit ε ≈ ε₁ + ε₂. Für kleine Dehnungen ist die technische Dehnung daher eine gute Näherung.

Logarithmische oder wahre Dehnung

Die logarithmische Dehnung wird auch „wahre“ Dehnung, Hencky-Dehnung oder ε_H genannt und mit ε' bezeichnet. Anders als die technische Dehnung bezieht sie sich jeweils auf die aktuelle Länge des Körpers. Sie berücksichtigt also, dass der Körper durch frühere Krafteinwirkungen bereits vorverformt sein kann.

Differenziell ist sie definiert durch dε' = dℓ / ℓ. Daraus folgt: ε' = ln(ℓ / ℓ₀) = ln(1 + ε) = ln(λ). Dabei bezeichnet λ die Hauptstreckungen in der jeweiligen Richtung.

Mathematisch ist die technische Dehnung eine Reihenentwicklung der Formel für die wahre Dehnung in eine Taylorreihe, bei der nach dem ersten Glied abgebrochen wird. Für kleine Dehnungen gilt deshalb der Zusammenhang ε' = ln(1 + ε) ≈ ε. In diesem Bereich liefern technische und logarithmische Dehnung nahezu gleiche Werte.

Nominelle Dehnung

Als nominelle Dehnung bezeichnet man die Dehnung, wenn die Messwerte Δℓ und ℓ₀ nicht direkt am Probekörper bestimmt werden. Stattdessen werden sie zwischen den Einspannklemmen der Prüfmaschine gemessen.

Diese Art der Dehnungsbestimmung wird bei Werkstoffen verwendet, die sich stärker verformen können als der Messbereich von Extensometern erlaubt. Ein Extensometer ist ein Messgerät zur Bestimmung von Längenänderungen am Prüfkörper.