Polynomring

Grundidee und Aufbau

Ein Polynomring R[X] fasst alle Polynome mit Koeffizienten aus einem kommutativen Ring R mit 1 und einer Unbestimmten X zusammen. Er ist wichtig, weil er Polynome nicht nur als Rechenausdrücke, sondern als Elemente eines Rings behandelt. Davon sind Polynomfunktionen zu unterscheiden: Verschiedene Polynome können dieselbe Funktion bestimmen.

Formal ist R[X] die Menge R^(ℕ₀) aller Folgen (aᵢ), deren Einträge in R liegen und bei denen fast alle Einträge 0 sind. Addition erfolgt komponentenweise. Bei der Multiplikation wird der Koeffizient zu Xᵏ durch Faltung berechnet: (aᵢ)·(bᵢ) = (Σ_{i+j=k} aᵢbⱼ)ₖ. Dabei ist 1=(1,0,0,…) und X=(0,1,0,…). Es gilt Xᵏ=(0,…,0,1,0,…) mit der 1 an der (k+1)-ten Stelle.

Jedes Element besitzt genau eine Darstellung f=a₀+a₁X+…+aₙXⁿ=Σᵢ₌₀ⁿaᵢXⁱ. Die Zahlen oder Ringelemente aᵢ heißen Koeffizienten.

Mehrere Veränderliche und rationale Funktionen

Polynomringe in mehreren Unbestimmten werden rekursiv definiert durch R[X₁,…,Xₙ]:=R[X₁,…,Xₙ₋₁][Xₙ]. Man betrachtet also Polynome in Xₙ, deren Koeffizienten selbst Polynome in den vorherigen Variablen sind. Jedes Polynom lässt sich eindeutig als Σ_{k=(k₁,…,kₙ)∈ℕ₀ⁿ} aₖX₁ᵏ¹…Xₙᵏⁿ schreiben.

Ist K ein Körper, so heißt der Quotientenkörper von K[X] K(X); er ist der rationale Funktionenkörper. Entsprechend ist K(X₁,…,Xₙ) der Quotientenkörper von K[X₁,…,Xₙ].

Rechnen und Grad

Für f=Σᵢ₌₀ᵐfᵢXⁱ und g=Σᵢ₌₀ⁿgᵢXⁱ gilt f+g=Σₖ₌₀^max(m,n)(fₖ+gₖ)Xᵏ und f·g=Σₖ₌₀^(m+n)(Σ_{i+j=k}fᵢgⱼ)Xᵏ. Der Polynomring ist außerdem ein R-Modul und damit eine kommutative assoziative Algebra über R.

Der Grad eines von 0 verschiedenen Polynoms f ist deg(f)=max{k∈ℕ₀ | aₖ≠0}; für das Nullpolynom gilt deg(0)=−∞. Der Koeffizient a_{deg(f)} heißt Leitkoeffizient. Es gelten deg(f·g)≤deg(f)+deg(g) und deg(f+g)≤max{deg(f),deg(g)}. Gleichheit bei Produkten gilt, wenn die Leitkoeffizienten keine Nullteiler sind.

Über einem Körper sind die Einheiten von R[X] genau die von 0 verschiedenen konstanten Polynome. Außerdem ist R[X] dann ein euklidischer Ring: Eine Division mit Rest ist möglich, wobei der Rest kleineren Grad als der Divisor hat. Beispiel: Über ℤ haben 1+2X und 1+3X jeweils Grad 1; ihr Produkt 1+5X+6X² hat Grad 2. Über ℤ/6ℤ wird daraus 1+5X, also Grad 1, weil 6X²=0 ist.

Bei mehreren Variablen ist der Totalgrad eines Monoms a_{k₁,…,kₙ}X₁ᵏ¹…Xₙᵏⁿ die Summe k₁+…+kₙ. Der Grad eines Polynoms ist der größte Totalgrad seiner nichtverschwindenden Monome. Eine Summe von Monomen gleichen Totalgrads heißt homogenes Polynom; der Gradsatz gilt auch in mehreren Veränderlichen.

Strukturelle Eigenschaften und Einsetzen

Ist R nullteilerfrei, dann auch R[X]. Ist R faktoriell, dann auch R[X] (Lemma von Gauß). R ist genau dann ein Körper, wenn R[X] euklidisch und damit ein Hauptidealring ist. Für noethersches R gilt dim(R[X])=dim(R)+1; außerdem ist R[X₁,…,Xₙ] noethersch (Hilbertscher Basissatz).

Für einen Integritätsring R hat jedes nichtverschwindende f∈R[X] höchstens deg(f) Nullstellen. Bei Ringen, die keine Integritätsringe sind, gilt dies im Allgemeinen nicht. Ein Polynom f=aₙXⁿ+…+a₀ ist genau dann invertierbar, wenn a₀ invertierbar und alle übrigen Koeffizienten nilpotent sind. Über einem Integritätsring sind daher genau die konstanten Polynome mit einer Einheit als konstantem Koeffizienten invertierbar.

Ein Ringhomomorphismus φ:A→B lässt sich durch Anwenden auf alle Koeffizienten zu einem Homomorphismus A[X]→B[X] erweitern. Allgemeiner gibt es zu φ:R→S und s∈S genau einen Homomorphismus Φ:R[X]→S mit Φ(X)=s und Φ|R=φ. Er wertet ein Polynom aus: Φ(a₀+a₁X+…+aₙXⁿ)=a₀+a₁s+…+aₙsⁿ. Diese universelle Eigenschaft bestimmt R[X] bis auf Isomorphie eindeutig.

Polynomfunktionen und Nullstellenbeispiele

Ein Polynom f=a₀+a₁X+…+aₙXⁿ bestimmt die Polynomfunktion f_R:R→R, x↦a₀+a₁x+…+aₙxⁿ. Die Zuordnung vom Polynom zu seiner Funktion muss nicht injektiv sein: In ℤ/2ℤ[X] ist X²+X nicht das Nullpolynom, bestimmt aber die Nullfunktion.

Allgemein gilt in dem endlichen Körper 𝔽_q für jedes x∈𝔽_q: x^q=x. Deshalb bestimmt X^q−X=∏_{a∈𝔽_q}(X−a) die Nullfunktion auf 𝔽_q, obwohl es kein Nullpolynom ist. Ist q prim, entspricht dies dem kleinen fermatschen Satz.

Bei Polynomen mit zwei Veränderlichen können Nullstellenmengen endlich oder unendlich sein. ((X−2)(X−3))²+Y² in ℝ[X,Y] hat genau die Nullstellen (2,0) und (3,0). X²+Y²−1 hat als Nullstellen den Einheitskreis, während Y−X² die Normalparabel als Nullstellenmenge besitzt. Solche Nullstellenmengen polynomialer Gleichungen sind Gegenstand der algebraischen Geometrie.

Jedes f∈ℂ[X] vom Grad n hat genau n komplexe Nullstellen, wenn Vielfachheiten mitgezählt werden. Eine Nullstelle z ist k-fach, wenn (X−z)^k ein Teiler von f ist, aber (X−z)^(k+1) nicht. Dies gilt auch für reelle Polynome, wenn sie als komplexe Polynome betrachtet werden. So hat X²+1 die Nullstellen i und −i, und X²+1=(X+i)(X−i).