Das Video kommt von YouTube: erst beim Abspielen verbindet sich die Seite mit YouTube (Google).
Vollständige Kurvendiskussion ganzrationale Funktion. Funktionsuntersuchung Polynom. Abitur Analysis
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 138 Zeilen
- hallo Leute in diesem Video wollen wir eine vollständige Kurvendiskussion durchführen mit einer ganz rationalen Funktion mit efunktion haben wir bereits
- eine vollständige Kurvendiskussion durchgeführt diesmal sind Polynomen dran die man auch ganz rationale Funktionen nennt und zwar werden wir Schritt für
- Schritt alle Punkte durchgehen definitions und Wertemenge werden wir uns anschauen dann gucken wir uns die standardsymetrinern dann die Grenzwerte
- dann kommen wir zum wichtigsten Punkt nämlich Nullstellen extremer und Wendepunkte und werden P den Grafen zeichnen und wir werden so vorgehen dass
- es erstmal ein Theorieteil gibt ein Schema von nach ihr vorgehen müsst und dann werden wir das anhand dieses Beispiels dann durchführen also es gibt
- eine Theorie und einen Praxisteil so dann fangen wir mal an mit der Definitionsmenge erst einmal was bedeutet Definitionsmenge was bedeutet
- Wertemenge Definitionsmenge sind alle Zahlen die man für X einsetzen darf und Wertemenge sind alle Zahlen die für Y herauskommen können also merkt euch das
- Gut Definitionsmenge steht für x und Wertemenge steht für Y in der Regel darf man für X auch jede Zahl einsetzen nur bei folgenden Funktionstypen müsst ihr
- aufpassen bei gebrochen rationalen Funktionen beispielsweise solchen Funktionen darf der Nenner nicht null werden das heißt man kann die Zahlen für
- die der Nenner Null wäre nicht einsetzen also in diesem Fall dürften wir für X jede Zahl einsetzen aber nicht die S also alle Zahlen außer s wären dann
- meine Definitionsmenge denn wenn wir für X 7 einsetzen dann wird der ner 0 was ein mathematischer Fehler ist bei Wurzelfunktion müsst ihr aufpassen dass
- unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die positiv sind oder ull das heißt hier darf man für X nur Zahlen einsetzen die größer oder gleich 1 sind
- bei Logarithmusfunktion darf in der klamme nur eine positive Zahl stehen hier ist auch null nicht erlaubt und auch keine
- negative Zahl das heißt hier darf man für X nur Zahlen einsetzen die größer sind als -3 aber in allen anderen Fällen bei e-Funktionen bei ganzraationalen
- Funktion bei Sinus oder cosinusfunktion darf man für X jede reelle Zahl tatsächlich einsetzen und das schreibt man so auf D steht für Definitionsmenge
- und R steht für alle reellen Zahlen also das bedeutet auf deutsch einfach man kann für X jede reelle
- Zahl einsetzen so die Wertemenge mache ich erst zum Schluss wenn ich die Grenzwerte und
- extreme behandelt habe und wir machen erstm weiter mit bei der Symmetrie gibt es zwei Formeln die wir uns gut merken müssen und zwar wenn F von-x = F vonx
- ist dann ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse und könnte beispielsweise so aussehen und wenn F von-x =- F vonx ist dann ist die
- Funktion punktsymetrisch zum Ursprung und könnte beispielsweise so aussehen wenn wieder die eine noch die andere Formel gilt dann hat die Funktion
- einfach keine standardsymmetrie bei ganz rationalen Funktionen also in dem Fall haben wir auch eine kann man auch diese Faustregel benutzen die hier steht und
- zwar wenn alle Hochzahlen gerade sind dann ist die Funktion Achsen symmetrisch zur yachse und wenn alle Hochzahlen ungerade sind dann ist sie Punkt
- symmetrisch zum Ursprung wenn die Hochzahlen gemischt sind also manchmal gerade manche ungerade sind dann hat die Funktion einfach keine ymmetrie und das
- gilt aber nur für ganz rationale Funktion bitte nicht bei efunktion oder so auf diese Fausregel zurückgreifen wir machen das mit der Formel weil wir sie
- immer brauchen und wenn ihr möchtet könnt ihr noch mal zur Kontrolle euch diese faustreel mit geraden und ungeraden Hochzahlen merken so und zwar
- haben wir die Funktion f vonx = -0,2x hoch 3 + 0,6x² + 0,8x wir brauchen f - x weil das in der
- Formel auftaucht F von-x bedeutet einfach nur dass man jedes x das man in der Funktion sieht einfach mit -x ersetzen muss das heißt wir machen
- -0,2 mal in Klammer - x hoch 3 + 0,6 x in k- x hoch 2 + 0,8 x in kl- X so was bedeutet das wir haben hier - x in Klammern hoch 3 das bedeutet dieses
- Minus taucht g=ich dreimal auf und hier vorne ist aber auch ein Minus das heißt wir haben vier Mal das Minuszeichen insgesamt ist das Ergebnis hier also
- positiv und wir haben 0,2 x hoch 3 und wir gehen nach diesem System weiter hier haben wir - x hoch 2 das heißt wir haben zweimal das Minus insgesamt das bedeutet
- das ergibt Plus und wir haben dann + 0,6 x hoch 2 und hier das ist hier relativ einfach weil wir keine hochzahne haben 0,8* -x ergibt einfach nur - 0,8 x so
- und schließlich brauchen wir auch - f von X - f vonx bedeutet dass man die Funktion f von X erstmal ganz normal
- aufschreibt und vor die ganze Funktion in Klammern vor die ganze Funktion ein Minus setzt das bedeutet - FX und jetzt muss man diese klammer auflösen damit
- wir ja die Funktion besser vergleichen können und mal -0,2x H 3 ergibt + 0,2x H 3 mal plus ergibt minus deshalb habe ich
- -0,6x² und wieder US mal plus ergibt minus das heißt ich habe - 0,8x so jetzt habe ich die Funktion f vonx hier ich habe f von-x
- hier und schließlich die Funktion - f von x und ich muss die jetzt miteinander vergleichen ich muss also schauen ob F vonx und F von-x gleich sind schauen wir
- uns das an und wir sehen die sind nicht gleich und zwar sehen wir hier steht -0,2 x hoch 3 aber hier 0,2x H 3 das ist natürlich ein Unterschied und damit gibt
- es keine Achsensymmetrie zur y-Achse wir sehen auch dass hier + 0,8x steht wäre das hier -0,80 steht die müssten aber eins zu ein identisch sein und weil sie
- es nicht sind ist es schon mal nicht achsensymmetrisch zu y AX für die Punktsymmetrie zum Ursprung müssen wir diese Formel überprüfen das heißt wir
- gucken uns F von-x an und - f von X die beiden Funktionen schauen wir uns an und gucken ob die gleich sind und wir sehen auch die beiden sind nicht gleich denn
- ich habe hier in der Mitte 0,6x² aber hier -0,6x² also sind auch die beiden Funktionen nicht identisch und daraus
- können wir folgende Schlussfolgerung ziehen F vonx hat keine standardsymmetrie so damit wäre Symmetrie fertig bei den Grenzwerten
- müssen wir auf folgendes achten und zwar haben wir es hier mit ganz rationalen Funktion zu tun und nehmen deshalb nur den Term mit der größten Hochzahl von
- von X alle anderen Terme spielen im Unendlichen überhaupt keine Rolle und folgende Sachen sollten wir uns auch merken unendlich hoch jede natürliche
- Zahl ist unendlich und minus unendlich hoch eine Gerade natürliche Zahl ist plus unendlich und minus unendlich Woch eine ungerade natürliche Zahl er gibt
- minus unendlich dann machen wir das mal anhand unses Beispiels wir schreiben auf limus für X gegen Unendlich von -0,2 x H 3 +
- 0,6x² + 0,8x = wir konzentrieren uns wie gesagt nur auf diesen dominanten term alle anderen Terme werden ignoriert die
- spielen im unentlichen überhaupt keine Rolle wir schreiben es natürlich trotzdem auf aber wir berücksichtigen das nicht und wir stellen uns jetzt hier
- bei dem dominanten term für X1 unendlich vor das heißt wir stellen uns vor dass da steht -0,2 mal unendlich hoch 3 und Rechnen
- unendlich hoch 3 ergibt wieder unendlich und -0,2 mal unendlich also min mal Plus ist minus ergibt min unendlich das ist unser Ergebnis für X gegen unentlichch
- die Funktion geht also runter ins Minus unentlichische dann machen wir das gleiche noch mal für X gegen minus
- unendlich wir schreiben wieder die ganze Funktion auf undon eren aber wieder nur auf den dominanten term und stellen uns für X
- ein minus unendlich vor das heißt wir haben -0,2 mal minus unendlich hoch 3 so minus unendlich hoch 3 bedeutet minus unendlich mal minus unendlich mal
- minusendlich und das ergibt wieder minus unendlich und minusendlich mal 0,2 da haben wir minus mal minus also haben wir plus
- unendlich das wäre das Ergebnis so wir wollen den bezeichnen was bedeutet das was wir hier haben gehen wir mal zum Grafen das
- bedeutet wenn wir für X unendlich haben das heißt wenn wir unendlich weit nach rechts gehen dann geht die Funktion auch unendlich weit runter das heißt wir
- werden ungefähr hier enden und umgekehrt wenn die Funktion zum minus unendlichen geht also in die Richtung geht also wenn der xwert zum
- minus nlichen geht dann geht die Funktion zum plus undendlich das heißt dain das heißt die Funktion kommt ungefähr von hier und wird dann rechts
- unten Enden also die Funktion könnte beispielsweise so aussehen so wie das genau detailliert aussieht wissen wir nicht deswegen
- machen wir jetzt unsere Kurvendiskussion weiter und kommen zum nächsten Punkt nämlich zu den Nullstellen um die Nullstellen zu berechnen gibt es eine
- wichtige Formel nämlich F vonx = 0 setzen und das wollen wir jetzt machen wir setzen jetzt unsere Funktion = 0 und machen dann - 0,2 x H 3 + 0,6
- x² + 0,8x = 0 bei solchen Gleichungen solltet ihr immer dafür sorgen dass vor eurem größten x am besten keine Zahl steht das heißt wir teilen durch
- -0,2 und haben x H 3 - 3x² - 4x = 0 weil wir sehen dass jeder term ein X hat können wir x ausklammern und erhalten x mal in Klammern x² - 3x -
- 4 = 0 wenn ihr Schwierigkeiten habt solche Gleichungen zu lösen solltet ihr euch das Video zu Gleichungen anschauen dann seid ihr Experten bei allen
- gleichungsangelegenheiten im Abi so wir konnten x ausklammern das bedeutet automatisch dass unser x1= 0 ist wir haben also bei 0 schon mal eine
- Nullstelle für die restlichen Nullstellen müssen wir auch das was in der Klammer steht separat = 0 setzen und erhalten deshalb als weitere
- Gleichung x² - 3x - 4 = 0 diese Gleichung lösen wir mit der pq Formel das was vor dem X steht ist unser P die Lose Zahl ist
- unser Q und das alles setz wir in die pq Formel ein also X2 3 X1 ist ja vergeben deswegen schreibe ich X2 3 ist - P Hal also
- -3 Hal +- Wurzel aus -3/ zum quadrat--4 Achtung unser Q selbst ist auch negativ deswegen machen wir
- --4 unter der Wurzel so dann erhalten wir 1,5 +- aus 6,25 wir erhalten also 1,5 +-
- 2,5 und einmal machen wir Plus und erhalten für die zweite Lösung 4 und dann machen wir Minus und erhalten für die dritte Lösung -1 das wären dann
- unsere drei Nullstellen als extra dazu können wir auch gerne den yachsenabschnitt machen das ist die Stelle an der die Funktion der
- funktionsgraf die Y-Achse schneidet so y Achsenabschnitt den berechnet man immer
- wenn man für x0 einsetzt also F von 0 und wir wissen ja bereits dass wir bei 0 eine Nullstelle haben deswegen wird der y Wert 0 sein aber trotzdem zeige ich
- euch wie man den berechnet das ist dann - 0,2* 0 hoch 3 + 0,6* 0² + 0,8 x 0 also insgesamt 0 das heißt
- wir haben ein y-xen Abschnitt bei 0 0 die Nullstellen unter y Achsenabschnitt nennt man zusammen achsenabschnitte oder Schnittpunkte mit
- den Koordinatenachsen und wir wollen die Funktion ja zeichnen tragen wir diese Punkte also ein wir haben auf jeden Fall
- bei -1 eine Nullstelle das Markieren wir wir haben bei 0 eine Nullstelle das en wir auch und bei 4 haben wir auch eine Nullstelle das heißt die Funktion wird
- durch diese Nullstellen gehen den yachsenabschnitt brauchen wir nicht extra Markieren der ist nämlich hier so nachdem wir die Nullstellen
- gemacht haben kommen wir zu den Extrempunkten und zwar muss man für die Extrempunkte diese drei Schritte Anwenden der erste Schritt den nennt man
- auch notwendige Bedingung bedeutet dass man die erste Ableitung g=ich 0 setzt und so erhält man die x-Werte von den Extrempunkten im zweiten Schritt will
- man von den x-werten auch die y Werte kennen deswegen setzt man das x in F von X ein und hat dann die y Werte den dritten Schritt nennt man hinreichende
- Bedingung man setzt das x in die zweite Ableitung ein und wenn die zweite Ableitung negativ ist haben wir einen Hochpunkt also könnte so ein Punkt dann
- sein wenn die zweite Ableitung positive ist haben wir einen Tiefpunkt das heißt es könnte sich um so einen Punkt handeln und wenn die zweite Ableitung Null ist
- könnte es sich um ein Sattelpunkt Handeln dafür müsste auch die dritte Ableitung ungleich Null sein und Sattelpunkt ist beispielsweise dieser
- Punkt ja dann wollen wir mal die Funktion auf Extrempunkte untersuchen wie wir sehen müssen wir die Funktion erstmal zweimal ableiten F von X kennen
- wir bereits schreiben wir die gerne noch mal auf die erste Ableitung bilden wir indem wir immer die Zahl vor dem X mit der
- Zahl über dem X multiplizieren und die Hochzahl um ein reduzieren und das machen wir weiter die zweite Ableitung brauche ich auch und
- erhalte -1,2x + 1,2 so dann wollen wir mal den ersten
- Schritt durchführen nämlich die erste Ableitung g=ich 0 setzen das mache ich mal hier der erste Schritt -0,6 x² + 1,2x + 0,8 setze ich = 0 wieder teile
- ich durch die Zahl vor dem größten x damit die Gleichung etwas angenehmer wird und erhalte x² - 2x - 43 = 0 wieder weiß ich dass
- ich die pq Formel machen werde -2 ist dabei mein P und -43 ist dabei mein Q und dann fangen wir mal an X1 2 ist dann - P Hal also
- -2/ +- wel aus P qurat also -2/ qur- Q also -4 auch hier noch mal aufpassen euer Q ist negativ das heißt wenn ihr Q macht
- macht ihr -43 und min ergt plus das kann man so schon in den Taschenrechner eingeben einmal mit plus einmal mit minus und wir
- erhalten für X1 etwa 2,53 ich schunde mal auf die zweite nachmalstelle und wir erhalten für X2 etwa
- -0,53 so das sind meine beiden x-Werte aber ein Punkt hat ja auch ein ywert deswegen wollen wir im zweiten Schritt uns die ywererte anschauen das machen
- wir jetzt und zwar machen wir äh setzen wir dann unsere x-Werte in die Ausgangsfunktion in F von X ein also ich mache f von
- 2,53 das bedeutet -0,2* 2,53 hoch 3 + 0,6 x 2,53 zum qur + 0,8 x 2,53 das ergibt in etwa ich habe es mit
- der exakten Lösung eingesetzt also nicht mit dem gerundeten Wert ich komme auf Y WT 2,63 das ist also mein Y1
- das Markieren wir mal jetzt wollen wir auch den anderen x-Wert einsetzen also F von
- -0,53 das ist dann -0,2 x in KL -0,53 hoch 3 + 0,6 x -0,53 Z quadr + 0,8 x
- -0,53 achtung wenn ihr für X eine negative Zahl einsetzt dann bitte in Klammern wir kommen insgesamt als Lösung auf etwa
- -0,23 das heißt mein zweiter y Wert ist -0,23 damit habe ich die kompletten Punkte herausgefunden ich weiß nur nicht ob es Hochpunkte sind oder Tiefpunkte
- und dafür nehmen wir den dritten Schritt also im dritten Schritt setzen wir unsere x-Werte in die zweite Ableitung ein die zweite Ableitung von
- 2,53 das ist dann -1,2* 2,53 + 1,2 das ist
- -1,84 das ist negativ das heißt insgesamt habe ich einen Hochpunkt der x-Wert davon ist 2,53 den y hatte ich ja schon
- 2,63 das hier ist mein endgültiger Hochpunkt und den markieren wir mal jetzt setzen wir in die zweite Ableitung auch -0,53 ein das ist
- -1,2* -0,53 + 1,2 und das ergibt etwa 1,84 achtung das ist positiv
- das bedeutet ihr habt einen Tiefpunkt x WT ist -0,53 und Y Wert ist -0,23 so damit hätten wir die hoch und
- tiefpunktberechnung erledigt wir wollen jetzt diese Werte in den Grafen einsetzen so die Nullstellen sind schon bereits eingesetzt dann kommen wir mal
- zum Hochpunkt wir haben einen bei 2,53 und Y ist 2,63 das heißt ungefähr hier müsst ihr euch vorstellen habt ihr einen Hochpunkt ihr könnt einen
- Hochpunkt beispielsweise so markieren dann wisst ihr dass ihr dort ein Hochpunkt habt und bei -0,53 und -0,23 das heißt in etwa hier
- habt ihr einen Tiefpunkt so jetzt fehlen uns noch die Wendepunkte für die Wendepunkte beachten wir folgendes und zwar der erste Schritt wieder die
- notwendige Bedingung diesmal besagt sie dass man die zweite Ableitung g=ich 0 setzen muss und so erhält man die xwerte dann muss man diese x-Werte in die
- Ausgangsfunktion F von X einsetzen und erhält die y Werte im dritten Schritt der hinreichenden Bedingung beachten wir folgendes unsere x-Werte setzen wir in
- die dritte Ableitung ein wenn sie nicht Null ist dann haben wir einen Wendepunkt das heißt die Funktion könnte von einer Rechtskurve in eine Linkskurve übergehen
- könnte allerdings auch von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergehen da unterscheiden wir jetzt nicht zwischen den beiden das brauchen wir
- nicht wichtig ist ist es nicht null haben wir ein Wendepunkt ist es null können wir erstmal keine Aussage treffen ja für die Wendepunkte brauchen
- wir die zweite und die dritte Ableitung das heißt zunächst einmal wollen wir sie bilden F vonx schreibe ich noch mal auf das ist -0,2x H 3 +
- 0,6x² +0 ,8x die zweite Ableitung hatten wir bereits das schreibe ich noch mal auf -1,2x + 1,2 und die dritte Ableitung
- bilden wir jetzt eine Zahl mal x abgeleitet er gibt immer die Zahl und lose Zahlen abgeleitet ergeben 0 so meine dritte Ableitung ist also
- -1,2 so um die Wendepunkte zu berechnen setze ich jetzt die zweite Ableitung g= 0 also -1
- 2x + 1,2 setz wir g=ich 0 ich mache jetzt + 1,2x und erhalte 1,2 = 1,2x dann teile ich durch 1,2 und erhalte für x =
- 1 so jetzt wähen wir die y Werte also der y WT von diesem x-Wert dafür setze ich die 1 in die Ausgangsfunktion ein also F von1 brauche ich das ist dann -
- 0,2 x 1 hoch 3 + 0,6 X 1² + 0,8 mal 1 und ich erhalte als y Wert 1,2 das bedeutet mein y ist
- 1,2 so dann kommen wir mal zum letzten Schritt zur hinreichenden Bedingung dafür setze ich die ein in die dritte Ableitung ein und die dritte Ableitung
- ist bei dieser Aufgabe nun mal immer -1, 2 man kann hier für X nichts einsetzen also hauptsache das hier ist nicht null darauf kommt es an das heißt insgesamt
- haben wir einen Wendepunkt mit dem x-Wert 1 und dem ywert 1,2 so auch diesen Wendepunkt markieren wir und tragen das
- hier ein also einen Wendepunkt könnt ihr beispielsweise mit einem Kringel markieren dann wisst ihr dass ihr dort die Krümmung ändern
- so jetzt wissen wir alles was wir die über die Funktion wissen müssen wir kommen von hier müssen an diesen Stellen die x-Achse schneiden bitte nicht an
- anderen Stellen hier müssen wir einen Tiefpunkt einbauen hier einen Hochpunkt und an dieser Stelle müssen wir unsere Krümmung wechseln das heißt wir können
- nur so etwas zeichnen so bis hierin habe ich eine Linkskurve ab hier gehe ich in eine Rechtskurve über und zeichne die
- Funktion das mache ich jetzt für euch so ist hier Linkskurve jetzt gehe ich eine Rechtskurve über und bin damit
- fertig also so in etwa sieht die Funktion f aus wir können über Monotonie folgendes sagen dass die Funktion bis
- -0,53 strengmoton fallest und von 0,53 bis 2,53 ist die Funktion strengmonoton steigend und danach wieder strengmonoton fallend wir haben bis x =
- 1 eine Linkskurve und ab x = 1 eine Rechtskurve und für die wertemäe sollten wir beachten dass auf der Y-Achse alle Werte tatsächlich getroffen werden für
- jedes y gibt es ein X es gibt kein y WT x das heißt unsere Wertemenge besteht aus allen reellen Zahl also wir kriegen für Y auch jede reelle Zahl raus ich
- hoffe dass ihr diese Kurvendiskussion gut verstanden habt und wir sehen uns dann im nächsten Video
Zum Nachlesen
KurvendiskussionUnter Kurvendiskussion versteht man in der Mathematik die Untersuchung des Graphen einer Funktion auf dessen geometrische Eigenschaften, wie zum Beispiel …
Ganzrationale FunktionEine ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion ist in der Mathematik eine Funktion, die als Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten …
Kubische FunktionIn der Mathematik versteht man unter einer kubischen Funktion eine ganzrationale Funktion 3. Grades, also eine Funktion auf den reellen Zahlen, …
Rationale FunktionEine rationale Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, die als Quotient zweier Polynomfunktionen darstellbar ist. Sie kann also geschrieben werden als.